Université Louis Lumière Lyon 2 Faculté de Géographie, Histoire de l’Art, Tourisme

ibid., pp. 273-274. C’est dire la convergence de vues qui était la leur à l’époque. C’est montrer également combien les modèles différentiels de régulation pouvaient encore fortement inspirer les esprits.

4 Pour cette présentation simplifiée du modèle de Goodwin, nous nous sommes appuyé sur [Bignone, F. A., 1992].

5 Kauffman citant son ami Goodwin de mémoire : “those autocatalytic sets are absolutely natural models of functional integration”, [Kauffman, S., 1995], p. 274.

6 Pour ces indications, voir [Lindenmayer, A., 1973], p. 679.

1 “The implication of the computer analogy is that the cell computes its own state, looks at the DNA program for further instructions, and then changes state accordingly. This is not in fact what a cell does, although formal analogy can be made between the biochemical behavior of a cell and the operations of the automaton following a program. It may seem elementary to insist that all the operations of the automaton must at some point be interpreted in biochemical and physiological terms, when discussing such a process as epigenesis [Epigenesis is meant to include both morphogenesjs and differentiation, for further explanation, see, e. g., Waddington : Concepts and theories of growth, development, differentiation and morphogenesis, Towards a Theoretical Biology, vol. 3, Edinburgh University Press, pp. 177-197] but I have been somewhat dismayed at the amount of confusion that has arisen because of the failure of those using the computer analogy to illustrate the operation of algorithmic instructions at the biochemical level”, extrait de B. C. Goodwin “Biological Stability” in Towards a Theoretical Biology, vol. 3, Edinburgh University Press, pp. 1-17, cité par [Lindenmayer, A., 1973], p. 679.

2 Mary B. Hesse insistait sur le rôle heuristique des modèles mécaniques par cette voie-là. Voir [Hesse, M. B., 1966, 1970], p. 8 : “Let us call this third set of properties the neutral analogy. If gases are really like collections of billiard balls, except in regard to the known negative analogy, then from our knowledge of the mechanics of billiard balls we may be able to make new predictions about the expected behavior of gases. Of course, the predictions may be wrong, but then we shall be led to conclude that we have the wrong model”. En ce sens, Goodwin ne croit ici qu’à l’impact négatif de cette part non maîtrisée de l’analogie.

3 “In fact, the concept of finite automaton is general enough to give it the desired interpretation in biochemical and cell-physiological terms, one needs only to elaborate it somewhat”, [Lindenmayer, A., 1973], p. 679.

1 Dont nous avons proposé ici une traduction partielle et adaptée : voir [Lindenmayer, A., 1973], p. 679.

2 “… all of these controls can be expressed as either turning on and off the genes, or as affecting the activities of the enzymes and thus the appearance of their products”, [Lindenmayer, A., 1973], p. 680.

3 “informational macromolecules”, [Lindenmayer, A., 1973], p. 680.

4 “transformation rule”, [Lindenmayer, A., 1973], p. 680.

5 Voir [Lindenmayer, A., 1973], p. 680, note 3.

1 “It can be seen that both the next-state and the output functions can in principle be constructed for a given population of cells, thus the cells can be validly represented by finite automata. I cannot agree, therefore with Goodwin’s objections. What he calls the ‘DNA program’ is the set of production rules we introduced, and according to our short discussion above it can be said in a completely natural way that the next state of a cell is computed by using these production rules”, [Lindenmayer, A., 1973], p. 681.

1 Voir [Lindenmayer, A., 1973], p. 690.

2 [Lindenmayer, A., 1973], p. 682.

3 [Lindenmayer, A., 1973], p. 682.

4 Il se peut également que ce soit un des linguistes d’Utrecht…

5 Voir [Herman, G. T., 2003] pour les indications biographiques.

6 Voir [Lindenmayer, A., 1971], [Lindenmayer, A., 1973] et [Lindenmayer, A., 1975].

1 Dans [Lindenmayer, A., 1971], p. 477, Lindenmayer les remercie tous de l’aide qu’ils lui ont fourni pour l’« aspect mathématique ».

2 Pour des précisions au sujet du modélisme de Chomsky, nous renvoyons à notre annexe C.

1 Ce qui ne veut pas dire que Lindenmayer a emprunté à Chomsky.

2 “Just as the theoretical linguists are concerned with production rules or transformation rules by which certain types of words or sentences can be generated, so are we concerned with finding developmental instructions with which known kinds of organisms can be generated. Thus we shall consider the generating constructs of linguists, called grammars, in relation to our systems. It is very helpful, furthermore, that an ordering relation exists already with respect to abstract grammars and languages (the Chomsky hierarchy of grammars), which we can utilize to provide us with an ordering of developmental generating systems and languages, giving us a measure of complexity in distinguishing primitive vs. advanced characters, whereas non such measure has been available before to biologists”, [Lindemayer, A., 1971], p. 456.

1 [Lindenmayer, A., 1971], p. 457.

2 Voir [Lindenmayer, A., 1975], p. 9.

3 Dans sa thèse de doctorat de 1925, Heyting, mettant en œuvre quelques unes des idées générales de Brouwer, avait en effet proposé la première axiomatique intuitionniste pour la géométrie projective avant d’étendre par la suite ses suggestions à l’algèbre (en 1941) puis aux espaces de Hilbert dans les années 1950. Heyting avait alors été assistant à l’Université d’Amsterdam en 1936, puis professeur en 1948, jusqu’à sa retraite en 1968. En septembre 1930, au symposium de Königsberg sur la Connaissance (Erkenntnis), Heyting avait représenté le front intuitionniste face à Carnap qui incarnait déjà le front logiciste et à von Neumann qui soutenait une position formaliste. Pour ces informations, nous nous sommes notamment appuyé sur le site d’histoire des mathématiques de l’Université Ecossaise de Saint-Andrews accessible à l’adresse http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians.

4 Dirk van Dalen est né à Amsterdam en 1932. Il fait des études de mathématiques à l’Université d’Amsterdam et, en 1963, sous la direction du professeur Arendt Heyting, ancien élève de Brouwer (voir note supra), il soutient une thèse de géométrie projective du plan où il adopte l’approche délibérément intuitionniste de Heyting. Entre 1964 et 1966, c’est au MIT que l’on retrouve van Dalen. En 1967, ce dernier revient en Hollande et est nommé lecteur à l’Université d’Utrecht où, en 1969, il fait la connaissance de Lindenmayer avant qu’il y devienne professeur en 1979, jusqu’à sa retraite en 1993.

5 Grzegorz Rozenberg est né en Pologne au milieu des années 40. En 1965, il est ingénieur diplômé en informatique de l’Université Technique de Varsovie. Il soutient son doctorat en mathématiques en 1968 auprès de l’Académie des Sciences de Pologne où, par la suite, il exercera quelques temps comme professeur assistant. En 1969, on le retrouve à l’Université d’Utrecht aux côtés du lecteur en mathématiques qu’est alors van Dalen. C’est précisément là qu’il a l’opportunité de rejoindre Lindenmayer. Il cosignera quelques articles avec lui. Il sera par la suite professeur assistant à l’Université d’Etat de New York (Buffalo) où il rejoindra pour un temps Gabor T. Herman. Il dirige actuellement (2003) le Département d’Informatique (Computer Science) de l’Université de Leiden. Il est également professeur adjoint d’informatique à l’Université Boulder (Colorado). Pour ces informations, nous nous sommes notamment aidé du site personnel de G. Rozenberg accessible à l’adresse http://www.liacs.nl/~rozenber.

1 [Lindenmayer, A., 1973], p. 682.

2 “As required by biological considerations these functions must be applied to all cells in the array simultaneously at each step. Thus one obtains infinite sequences of arrays once the functions and the initial arrays are specified”, [Rozenberg, G. et Lindenmayer, A., 1972], abstract.

1 Un jeune mathématicien qui deviendra chercheur et professeur en informatique théorique (spécialité : modèles de computation) à l’Université d’Utrecht. J. van Leeuwen est encore en activité à l’Institute of Information and Computing Sciences de cette université.

2 Arto Salomaa est né en Finlande en 1934. Il soutient son doctorat en mathématiques à l’Université de Turku en 1960. Son sujet porte sur la composition de fonctions à plusieurs variables et à valeur sur un ensemble fini. Il s’intéresse donc au départ à la logique et aux mathématiques finitistes avant de se pencher par la suite sur les algèbres finies en général, puis sur la théorie des automates et sur les grammaires formelles. C’est donc assez naturellement qu’au début des années 1970, il rencontre les L-systèmes. Pour sa bibliographie complète, nous renvoyons au site qui se trouve à l’adresse suivant : http://www.sci.utu.fi/mat/tucs/artount9.html. Il a fait toute sa carrière au Département d’Informatique de l’Université de Turku.

3 [Prusinkiewicz, P et Lindenmayer, A., 1987], p. 242.

4 [Herman G. T. et Schiff, G. L., 1975], p. 35. Voir également [Lindenmayer, A., 1975], p. 7.

5 Lewis Wolpert définit l’« information positionnelle » comme la spécification de la position d’une cellule dans un système organique en développement par rapport à un ou plusieurs points du système. L’information positionnelle est elle-même étroitement liée au génome de la cellule et à son histoire développementale. C’est elle qui détermine la différenciation moléculaire de la cellule. Voir [Herman G. T. et Schiff, G. L., 1975], p. 39.

6 Même si les historiens des sciences qui ont parlé de Wolpert ne nous semblent pas l’avoir fortement noté (par exemple [Keller, E., F., 2002, 2003], 176-183), il nous paraît très possible, mais pas certain, que ce concept lui ait été inspiré par la fréquentation de son élève Apter. Voir [Apter, M. J., 1966], pp. 140-141. Ce dernier, au sujet de son propre modèle à flux d’informations (voir supra), parle en effet d’une nécessité de supposer que la cellule sache où elle se trouve (ibid., p. 140). D’autre part, c'est ensemble qu’Apter et Wolpert avaient publié ce modèle conçu en fait par Apter dès 1965, dans le Journal of Theoretical Biology, vol. 8, pp. 244-257.

1 [Herman G. T. et Schiff, G. L., 1975], p. 38.

2 “The application of information or entropy measures to processes of living organisms has never been successful for the additional reason that these measures are defined for information transmission (communication) from source to receiver over a channel. In organisms these components are not identifiable. For instance, the information content of the entire DNA complement of a living cell is immensely large and there is no way of finding out how and what part of it is actually used during the life time of the cell”, [Prusinkiewicz, P. et Lindenmayer, A., 1987], p. 245.

1 « ... car non seulement les coups se succèdent [au tric-trac et aux échecs], mais ils s’enchaînent en ce sens que chaque coup influe plus ou moins sur la série des coups suivants et subit l’influence des coups antérieurs », in Essai sur les fondements de la connaissance et sur les caractères de la critique philosophique, 1851, [Cournot, A. A., 1838-1877, 1958], p. 181.

1 [Lück, H. B., 1975], p. 24.

2 Lück rappelle et fait sienne la critique voilée que le botaniste britannique J. Dormer avait formulé en 1972 à l’encontre du physiologiste Hejnowicz qui proposait dès 1959 de définir une variable continue dite de « densité de cellules » pour aborder les problèmes d’histogenèse : « une telle analyse représente une approche impressionnante de la finalité », “such an analysis represents an impressive approach to finality”, [Lück, H., B., 1975], p. 24.

1 “We feel the necessity to look for an approach in which the behaviour of cells is not considered in the light of the organ-growth, but as a result of rules acting independently in each cell, thus deliberately accepting the possibility of a differential behaviour of daughter-cells”, [Lück, H., B., 1975], p. 24.

2 “classical statistical models proved to be unable to respond to structural recursive rules of morphogenetic processes”, [Lück, H. B., 1975], p. 31.

3 Son premier article sur le sujet remonte à sa participation à la conférence de 1974. Voir [Lindenmayer, A., 1975], p. 22.

1 “In other words, we have to look for a model which is capable of simulating cellular behaviour in such a way that good fitting of observed data will still be provided on a level higher that the elemental integration level, and which would enable predictions on the elemental level also. Such a model should be based on very simple assumptions, in order to be applicable in a very general way”, [Lück, H., B., 1975], p. 24.

1 Voir supra.

2 [Erickson, R. O., 1966], p. 390.

3 [Erickson, R. O., 1966], p. 390.

1 Sur cette supposition explicite, voir [Erickson, R. O., 1979], p. 481.

2 Erickson publie en 1956 son article sur la croissance des racines du maïs et sa référence y est bien déjà l’approche descriptive, analytique et mécaniciste de Richards et Kavanagh. Voir sur ce point [Levin, S., 1991], chapitre 3, p. 1. On peut dire que cette formalisation est à prétention d’abord descriptive parce qu’elle se concentre sur les vitesses de croissance et leur répartition dans l’organe mais non sur les phénomènes qui sont à l’origine de ces vitesses.

3 [Erickson, R. O., 1966], p. 390.

4 “forbiddingly laborious”, [Erickson, R. O., 1966], p. 390.

5 [Erickson, R. O., 1966], p. 391.

1 Voir [Erickson, R. O., 1976] et [Silk, W. K. et Erickson, R. O., 1979].

2 [Erickson, R. O., 1976], p. 407.

3 “…the power of differential equations has been abundantly proven in the physical sciences, and the resources of classical mathematics are available for characterizing and solving them”, [Erickson, R. O., 1979], p. 408.

4 Voir [Erickson, R. O., 1966], p. 392.

1 “To have meaning in a differential equation, data must here be obtained with good spatial resolution as well as good resolution in time”, [Erickson, R. O., 1979], p. 408. Ce qu’Erickson ne précise pas davantage.

2 [Erickson, R. O., 1966], p. 391.

3 L’école de Goddard et Erickson est encore prospère actuellement. Elle procède à l’étude quantifiée des croissances des racines de certaines plantes, par exemple, au moyen de concepts comme le « taux de croissance », la « structure de taux de croissance » (notion introduite par l’élève et collaborateur d’Erickson, Wendy Silk de l’Université de Californie, en 1989, voir [Levin, S., 1991], chapitre 3, p. 1), le « taux d’élongation » ou le « nombre de cellules en état de division ». Voir, pour ces dernières notions, [Beemster, G. T. et Baskin, T. I., 1998]. La prise en compte du comportement individuel des cellules y est donc encore assez largement contournée.

4 Le ‘O’ (« zero ») de PDOL qui veut dire « indépendant du contexte » vient en fait du zéro de l’expression anglaise « zero-sided » c’est-à-dire encore « langage où l’état de la cellule n’est déterminé par aucun de ses côtés ou de ses voisines ».

5 Voir [Lindenmayer, A., 1975], pp. 9-11.

1 [Lück, H., B., 1975], p. 28.

2 [Lück, J. et Lück, H. B., 1982], p. 386.

1 Ce n’est pas ici le lieu de rapporter l’histoire précise des algorithmes génétiques. Notons simplement que l’on doit leur naissance à l’informaticien américain John Henry Holland (né en 1929). À partir d’une réflexion sur les automates cellulaires, il proposa une « théorie » permettant de modéliser des systèmes adaptatifs, c’est-à-dire ces systèmes dont les règles sont non seulement distribuées mais peuvent aussi changer au cours du temps et des générations des cellules. Dès la fin des années 1950, dans la suite des travaux de von Neumann et de Burks, et après avoir travaillé à la conception de systèmes de « groupes d’ordinateurs », il proposa que l’on s’inspire des phénomènes d’évolution dans le monde organique pour concevoir une forme de modélisation évolutive. Voir [Holland, J. H., 1962] : les références à la génétique des populations y sont fondamentales. Après une longue période de développements spéculatifs et rhétoriques dans de nombreux secteurs (notamment dans les théories économiques de la rationalité limitée), il semble que la décennie 1990 ait vu poindre une série d’applications importantes. Voir [Holland, J. H., 2001]. Cette technique a rejoint celle de la modélisation par neurones formels pour constituer aujourd’hui les approches de programmation dites « sous-symboliques » où l’on assume le fait que le programme résolve un problème à un niveau infra-linguistique et donc sans que l’on puisse se l’expliquer de manière symbolique. Voir [Abunawass, A., M., 1992], p. 87.

1 “How is it that one can guess the species of the tree from its multifarious form, which can not be grasped easily in scientific words ?”, [Honda, H., 1971], p. 331.

2 [Honda, H., 1971], p. 335. L’article de 1971 publie des photographies noir et blanc très nettes de cet écran graphique.

3 Communication personnelle de l’auteur dans un courrier électronique du 7 novembre 2003.

4 [Honda, H., 1971], p. 332.

5 “What information about the form does the gene store in it and through what process is its information represented as the form ?”, [Honda, H., 1971], pp. 331-332.

6 “The two interesting problems of the form, how to recognize and how to develop the form, might be sublimated to the more general problem, ‘description of the form’ …”, [Honda, H., 1971], p. 332.

7 “How to describe economically the form or how to pull out the essence from miscellaneous information about the form ?”, [Honda, H., 1971], p. 332.

1 Selon l’échange de courrier électronique que nous avons eu avec Hisao Honda le 7 novembre 2003, au moment où il soumet son article au Journal of Theoretical Biology, Honda n’a connaissance que du travail de Cohen paru dans Nature en 1967, mais il ne connaît pas directement ceux de Ulam ou Eden. Ce sont en fait les rapporteurs de son article qui lui signalent ces autres travaux de simulation de la forme.

2 “I would like to believe that the effort to seek simpler, more economical, and basic assumptions to describe the form of a tree would supply a clue to the truth of the nature of which we have hints in the field of pattern-recognition and morphogenesis”, [Honda, H., 1971], p. 337.

1 [Honda, H., 1971], p. 335.

2 En 1971, les biologistes S. Oohata et T. Shidei publient un article sur la structure de branchaison des arbres. Ils y pratiquent une analyse statistique (biométrique) de la taille des branches en fonction de l’ordre de branchaison. Voir [Fisher, J. B., Honda, H., 1977], p. 377.

3 Voir [Honda, H., 1973].

1 Le polygone de Voronoï (du nom du mathématicien ukrainien Georgy F. Voronoï, 1868-1908) est défini pour un point particulier appartenant à un ensemble de points du plan euclidien : il s’agit de l’ensemble des points de cet ensemble qui sont plus près de ce point donné que de tout autre point de l’ensemble. La définition peut se généraliser à n dimensions : on appelle alors ces structures des « diagrammes de Voronoï ». Elles couvrent le plan ou l’espace et elles servent donc à positionner un ensemble de points les uns par rapport aux autres. Selon le site de l’INRIA, « les diagrammes de Voronoï sont des structures très utiles, rencontrées fréquemment, car elles permettent de représenter des relations de distance entre objets et des phénomènes de croissance », http://www-sop.inria.fr/prisme/fiches/Voronoi/. Avec eux, on peut en effet traiter certaines déformations de structures, comme l’indique [Honda, H., 1978], p. 523. Selon l’INRIA, ces questions touchent désormais à ce que l’on appelle la « géométrie algorithmique », ibid. Pour l’ébauche d’un historique de ce concept chez Descartes (1596-1650) puis chez le mathématicien français Gustave Lejeune-Dirichlet (1805-1859), voir le site de l’Université Laval au Québec : http://plante.scg.ulaval.ca/MNT/Voronoi.html.

2 Arthur L. Loeb est né à Amsterdam en 1923. Il achève ses études de chimie physique par un PhD au MIT à la fin des années 1940. Dans les années 1970, aux côtés de R. Buckminster Fuller, il devient un des fers de lance de la toute nouvelle « discipline » interdisciplinaire qu’est la synergétique. Jusqu’en 2001, en plus des « Mathématiques visuelles », il enseigne ce qu’il appelle la « Design Science », c’est-à-dire une « science de la conception » interdisciplinaire procédant par représentations spatialisées et valant tant pour les projets de composition artistique et musicale (il poursuit par ailleurs une carrière de musicien et de compositeur) que pour des formalisations diverses en ingénierie : cristallographie, architecture, oncologie... Pour ces informations, nous nous sommes appuyé sur le site du MIT : http://www.ves.fas.harvard.edu/courses/studio/.

3 Pour l’historique du Whirlwind, voir [Ramunni, G., 1989], pp. 96