Universitetin adı adau

Məşhur limitlər


1. şərtində funksiyasının limiti.

funksiyası x₌0 nöqtəsində təyin olunmamışdır, çünki bu halda kəsrin məxrəci və surəti sıfra çevrilir. Vahid radiuslu çevrə götürək (şəkil 14). MOB mərkəzi bucağını x ilə işarə edək və tutaq ki, . Şəkildən bilavasitə görünür ki,

 MOA sahəsi < MOA sektorunun sahəsi <  COA sahəsi. (1)

 MOA sahəsi ₌  OA  MB ₌  1  sin x ₌ sin x,

MOA sektorunun sahəsi ₌  OA  AM ₌  1  x ₌ x,

 COA sahəsi ₌  OA  AC ₌  1 tg x ₌ tg x.

Nəticədə (1) bərabərsizliyini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

sin x _< x _< tg x.

Hər tərəfi sin x-ə bölsək (sin x_>0)

yaxud

1 _{> >} cos x

alarıq.

və cos(–x) ₌ cos x münasibətlərini nəzərə alsaq, bu bərabərsizliyin x _< 0 olduqda da doğru olduğu aydın olar.

Digər tərəfdən,

Deməli, funksiyası limitləri vahidə bərabər olan iki eynilimitli funksiyanın arasında yerləşir. Bələliklə, 4-cü teoremə əsasən

2. e ədədi.

Tutaq ki, n artan dəyişən kəmiyyətdir və 1, 2, 3,  qiymətlərini alır. Bu halda

kəmiyyətinə baxaq.

_{…; …; …}

Aşağıdakı teorem doğrudur.

Teorem 1. dəyişən kəmiyyətinin n  şərtində limiti var və bu limit 2 ilə 3 arasındadır

Deməli, dəyişəni artan və məhdud kəmiyyətdir, ona görə də onun parçasına daxil olan limiti var. Bu limit irrasional ədəddir və e hərfi ilə işarə edilir. e  2,7182

Tərif. dəyişən kəmiyyətinin n  şərtində limitinə e ədədi deyilir:

Teorem 2. funksiyasının x sonsuzluğa yaxınlaşanda li­miti e ədədidir: