20. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar.
Faraz qilaylik, xn hamda yn ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin:
{xn } : x1 , x2 , x3 , ..., xn ,...
{yn } : y1 , y2 , y3 , ..., yn ,...
Quyidagi
x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 , ..., xn yn ,... x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 , ..., xn yn ,... x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 ,...,xn yn ,...
x x x1 , 2 , 3 ,..., xn ... yn 0, n1,2,3,... y y y1 2 3 yn
ketma-ketliklar mos ravishda xn va yn ketma-ketliklarning yig’indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi hamda nisbati deyiladi va ular
xn
{xn yn }, {xn yn }, {xn yn },
yn
kabi belgilanadi.
5-teorema. [1, p.131, theorem 6.1.19] Aytaylik xn va yn ketma-
ketliklari berilgan bo‘lib, lim xn a , lim yn b, (a R, b R)
n n bo‘lsin. U holda n da c xn c a ; xn yn a b; xn yn ab; xynn ba
с R да lim (c xn ) c lim xn ;
n n
lim (xn yn ) lim xn lim yn ;
n n n
lim (xn yn ) lim xn lim yn ;
n n n
lim x d) lim x n n n , (b 0) n yn lim yn n bo‘ladi.
Teoremaning tasdiqlaridan birini, masalan c)-ning isbotini keltiramiz.
◄ Teoremaning shartiga ko‘ra, lim xn a , lim уn b.
n n Ravshanki,
xn yn ab xn yn a yn a yn b
(3)
| x a yn | | n | | a y b| | n |
{yn ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli u 1-teoremaga ko‘ra chegaralangan bo‘ladi:
M 0, nN: | yn | M
Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib topamiz:
0 berilgan hamda ga ko‘ra shunday n0' N topiladiki, n n0'
2M uchun
x an
2M
bo‘ladi.
Shuningdek, ga ko‘ra shunday n' ' N topiladiki, n n' ' uchun 2 1 a
y bn
2 1 a
bo’ladi.
Agar n
0 max{n0' , n0'' } deyilsa, unda n n0 uchun bir yo‘la
|xn a , yn b 2М 21 a bo‘ladi.
(3) va (4) munosabatlardan
xn yn ab M a
2М 21 a bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa
lim xn уn аb
n
bo‘lishini bildiradi. ►
30. Cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar. Faraz qilaylik, n ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif. [2. p.130] Agar n ketma-ketlikning limiti nolga teng, ya’ni lim n 0
n
bo‘lsa, n - cheksiz kichik miqdor deyiladi.
Masalan, n1 ва n q n , q 1 n
ketma -ketliklar cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.
Aytaylik, xn ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti a ga teng bo‘lsin:
lim xn а.
n
U holda n xn a cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: xn a n . Bundan esa quyidagi muhim xulosa kelib chiqadi:
{xn ketma-ketlikning a (a R) limitga ega bo‘lishi uchun n xn aning cheksiz kichik miqdor bo‘lishi zarur va etarli.
Ketma-ketlikning limiti ta’rifidan foydalanib quyidagi ikkita lemmani isbotlash qiyin emas.
1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlar yigindisi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdor ko‘paytmasi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
3-ta’rif. [2,p.70, def. 3.7] Agar har qanday M soni olinganda ham shunday natural n0 soni topilsaki, barcha n n0 uchun
|xn M
tengsizlik bajarilsa, xn ketma-ketlikning limiti cheksiz deyiladi va
lim xn
n kabi belgilanadi.
Agar xn ketma-ketlikning limiti cheksiz bo‘lsa, xn cheksiz katta miqdor deyiladi.
Masalan,
xn (1)n n ketma -ketlik cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Endi cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi tasdiqlarni keltiramiz:
1
1) Agar xn cheksiz kichik miqdor xn 0 bo‘lsa, u holda cheksiz
xn katta miqdor bo‘ladi.
1
Agar xn cheksiz katta miqdor bo‘lsa, u holda cheksiz kichik miqdor
xn
bo‘ladi.
Nazorat savollari
Sonlar ketma-ketligi nima?
Qachon ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan (chegaralanmagan)
deyiladi?
Sonlar ketma-ketligi limiti ta’rifini bering. Misollarda tushuntiring.
Glossariy
Sonlar ketma-ketligi - f : n xn , ( n 1, 2,3,...) akslantirishning akslaridan iborat
Ushbu x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... to‘plam sonlar ketma-ketligi deyiladi.
Yuqoridan chegaralangan ketma-ketlik – agar shunday o‘zgarmas M soni
mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy xn (n 1, 2, 3,...) uchun xn M tengsizlik bajarilsa (ya’ni bajarilsa (ya’ni M , n N : xn M bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.
Quyidan chegaralangan ketma-ketlik – agar shunday o‘zgarmas m soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy xn (n 1, 2, 3,...) uchun xn m tengsizlik
bajarilsa (ya’ni, m, n N : xn m bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.
Chegaralangan ketma-ketlik – agar {xn } ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo‘lsa (ya’ni m, M , n N : m xn M bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
Yuqoridan chegaralanmagan ketma-ketlik – agar {xn } ketma-ketlik uchun M R, n0 N : xn M bo‘lsa, ketma-ketlik yuqoridan
0 chegaralanmagan deyiladi. Nuqtaning -atrofi – ushbu
U (a) {x R a x a } (a , a ) to‘plam a nuqtaning - atrofi deyiladi.
Ketma-ketlikning limiti – agar ixtiyoriy 0 son olinganda ham shunday n0 natural soni mavjud bo‘lsaki, n n0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha natural sonlar uchun xn a tengsizlik bajarilsa, (ya’ni
0, n0 N, n n0 : | xn a |
bo‘lsa), a son {xn } ketma-ketlikning limiti deyiladi va a lim xn yoki n da xn a
n kabi belgilanadi.
Adabiyotlar
Tao T. Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014.
Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma’rizalar, I q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.
Fixtengols G. M. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniya, 1 t. M. «FIZMATLIT», 2001.
http://fayllar.org
Dostları ilə paylaş: |