Yechim va umumiy yechim tushunchasi. Koshi masalasi

Yechim va umumiy yechim tushunchasi.
Koshi masalasi
Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar ushbu
(1)
Ko’rinishda yoziladi. Bu yerda F uch argumentli funksiya bo’lib, uch o’lchovli fazoning ochiq to’plamida ( sohada) aniqlangan. Agar bu to’plamni tekislikka ortoganal proeksiyalasak, da biron ochiq G to’plam (G soha) hosil bo’ladi.
1-ta’rif. (1) differensial tenglama berilgan bo’lib, funksiya fazoning sohasida aniqlangan bo’lsin. Agar I (ochiq, yopiq yoki yarim ochiq) intervalda aniqlangan funksiya uchun quyidagi uchta shart
(2)
bajarilsa, bu funksiya I intervalda (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. (1) tenglamaning yechimiga mos egri chiziq uning integral egri chizig’I deyiladi.
Agar parametrik ko’rinishda berilgan funksiya uchun bo’lib, quyidagi uchta shart:

Bajarilsa, u holda funksiya intervalda (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. Ba’zi hollarda yechimni shu ko’rinishda izlash yoki yozish qulay bo’ladi.
Agar (1) differensial tenglama y ga nisbatan bir qiymatliyechilishi mumkin bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamaga kelamiz. Ammo (1) tenglama doim bir qiymatli yechilavrmaydi.

1. 
   Differensial tenglama ochiq G to’plamning har bir (x,y) nuqtasida bitta yoki bir nechta qiymatlarini aniqlasin deylik. Har bir (x,y) nuqtada dan foydalanib bitta yoki bir nechta birlik vector chizamiz. Natijada yunalishlar maydoni hosil buladi. Endi integral chiziqlarning tarkibiy tasvirini olishimiz mumkin. Yechim tushunchasini mustahkamlash uchun misollar ko’raylik:
   

Misol
Ushbu deferensial tenglama uchun Ordinata o’qiga nisbatan o’ng yarim tekislikning har bir (x,y) nuqtasidan differensial tenglamaning faqat bittadan integral chiziqlariutadi. Avval yunalisshlar maydoni chizish qiyin emas. Birlik vektorni uchun tutash chiziqlar bilan uchun esa nuqtalar bilan belgilaymiz. So’ngra bu yunalishlar bo’yicha integral chiziqlarni chizamiz. Albatta qulaylik uchun avval izoklinalarni chizib chiqish kerak.
funksiyalar C ning har bir qiymatida 1 tarifning barcha shartlarini qanoatlantirishini va yechim bo’lishini tekshirish qiyin emas.
3-ta’rif. Agar (1) tenglamaning biror I intervalda aniqlangan yechimning har bir nuqtasida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa, u holda yechim berilgan tenglamaning xususiy yechim deyiladi. Yuqoridagi mmisolda mos ravishda funksiyalar tegishli differensial tenglamaning xususiy yechimlaridir.
Yuqoridagi ta’riflar munosabati bilan maxsus yechim tushunchasini kiritish lozim bo’ladi.
4-ta’rif. Agar funksiya (1) tenglamaning I intervalda aniqlangan yechim bo’lib, funksiya bilan tavsiflanadigan integral chiziqning har bir nuqtasidan integral chiziqdan tashqari shu nuqtada y bilan bir xil yunalishga ega bo’ladigan, ammo o’sha nuqtaning ixtiyoriy atrofida undan farq qiladigan yana boshqa integral chiziq o’tsa, u holda yechim (1) tenglamaning I intervalda aniqlangan maxsus yechimi deyiladi.
1-misolni intervalda ko’rsak, ordinate o’qining har bir nuqtasidan gorizontal urinmaga ega bo’lgan ikki integral chiziq o’tadi. Ammo Oy o’qi berilgan differensial tenglamaning yechimi emas. Demak o’sha misolda maxsus yechim yuq.
2-misol. differensial tenglamani ko’rinishda yozish mumkin. Ma’lumki, abscissa o’qi va kubik parabolalar bu tenglama uchun integral chiziq bo’lib xizmat qiladi.ammo y=0 chiziqning har bir nuqtasidan bir xil yo’nalishda ikkita integral chiziq o’tadi. Shuning uchun y=0 maxsus yechimdir.