5-teorema. (2) tenglamaning D maydonida aniqlangan har qanday ƒ(𝑥, 𝑦) va ƒ1(𝑥, 𝑦)integrali qandaydir D maydoni ichidagi 𝐷0 maydonida o'zaro bog'liq, ya'ni ayniyat bo'yicha (𝐷0da) quyidagi tenglik bajariladi
ƒ = 𝑇(ƒ1) (122 )
Darhaqiqat ƒ(𝑥, 𝑦) va ƒ1(𝑥, 𝑦)(2) tenglamaninf D maydonidagi integrallari bo'lgani uchun ta'rif bo'yicha (D da) ayniyat mavjud
𝑑ƒ + 𝑑ƒ ƒ(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 0,
{ 𝑑𝑥 𝑑𝑦
} (123)
𝑑ƒ1 + 𝑑ƒ1 ƒ(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = 0,
𝑑𝑥 𝑑𝑦
lekin u holda (D da) quyidagi ayniyat ham bor bo'ladi
𝑑ƒ + 𝑑ƒ
| 𝑑𝑥 𝑑𝑦
| Ξ 0 (124)
𝑑ƒ1 + 𝑑ƒ1
𝑑𝑥 𝑑𝑦
Shunday qilib ƒ va ƒ1 funktsiyalari yakobiani ayniy (D da) nolga teng.
Shundan, 𝑑ƒ1
𝑑𝑦
D maydonining har qanday (𝑥0,𝑦0) nuqtasida noldan farq
qilinishini hisobga olib, yuqoridagi keltirilgan lemmaga muvofiq, ƒ funksiyasi D maydonidagi qandaydir (𝑥0,𝑦0)nuqtasidagi ƒ1 funksiyasidan kelib chiqadi, ya'ni (𝐷0 da) (122) tenglik ayniy bajariladi deb xulosa qilamiz. Teorema isbotlandi.
Yana aytib o'tamizki (122) tenglikda 𝑇funksiyasi ƒ1 funksiyasi
tomonidan (x,y) nuqtasi D maydoni bo'ylab o'tganda ƒ1 tomonidan qabul
qilinadigan barcha qiymatlarda uzliksiz hosilaga ega. Undan tashqari 𝑑𝑊
𝑑ƒ1
noldan farq qiladi, chunki agar 𝑑𝑊
= 0, unda 𝑑ƒ = 𝑑𝑊
𝑑ƒ1 = 0, ya'ni
𝑑ƒ1
𝑑𝑦 𝑑ƒ1
𝑑𝑦
𝑑ƒ = 0 bu esa mumkin emas, chunki ƒ (2) tenglamaning integralidir.
𝑑𝑦
Shunga o'xshash mulohazalar bilan bir maydonda aniqlangan ikkita integral orasidagi bog'liqlik (4) va (6) ko'rinishdagi tenglamalar uchun ham mavjudligiga ishonch hosil qilish mumkin.
Dostları ilə paylaş: |