АзягЬаусап Respublikasımn Təhsil Nazirliyi tərəfindən Universitetlər üçün dəvslik kimi təsdiq edilmişdir

§10.9. Göy cisimlərinin bucaq ölçülərinə görə xətti ölçülərinin təyini
Göy cisimlərinin Yerdən görünən bucaq ölçülərinə (bucaq radiusu və ya bucaq diametri) görə onlarm xətti ölçüləri-ni təyin etmək olar. Şəkil 10.7-də ixtiyari М göy cisminin bucaq radiusu р_М, xətti radiusu r_M, üfüqi ekvatorial parallaksı

p_M, Yerin xətti radiusu R©, Yerlə M göy cismlərinin mərkəzlə-

ri arasındakı məsafə isə r ilə göstərilmişdir.

Şəhil 10.7. Göy cisimlərinin bucaq ölçülərinə görə xətti ölçülərinin təyini

о

Şəkildə TMO' düzbucaqlı üçbucağından yaza bilərik ki, М göy cisminin xətti radiusu

Гм=г sin рм. (10.24)

olar. Digər tərəfdən TOM düzbucaqlı üçbucağından Yerin ra-diusu üçün yaza bilərik ki,

R©=r sin рм. (10.25)

Əgər (10.25)-i (10.24)-də nəzərə alsaq

r_M=^S~^-K (Ю.26) sınp_M

olar. Aydındır ki, р_М və p_M kiçik bucaqlar olduğundan

(10.26)-nı

kimi yaza bilərik. Buradan göy cisminin üfüqi ekvatorial pa-rallaksına və bucaq radiusuna görə onun xətti radiusunu təyin edə bilərik. Məsələn, Ay üçün günlük parallaks р₃=57', bucaq

radiusu r,= 15'.5 və Yerin ekvatorial radiusu R©=6378 km ol-duğundan Ayın xətti radiusu

15^5 _6378km^_{1?38 km} ⁵ 57'

olar.

Göy cismlərinin müxtəlif radiuslarını və ya diametrlə-rini ölçməklə onların forması haqqında məlumat almaq olar. Belə ölçmələr göstərmişdir ki, Mars, Yupiter, Saturn və Uran da Yer kimi qütblərdən basıqdır.

XI FƏSİL
ÜMUMDÜNYA CAZİBƏ QANUNU VƏ KEPLER QANUNLARININ DƏQİQLƏŞDİRİLMƏSİ
Kepler planetlərin hərəkət qanunla-rını kəşf etdi və göstərdi ki, Günəş sis-temində çox mükəmməl bir harmoniya mövcuddur. Lakin o, planetləri Günəş ətrafı orbitlərdə saxlayan səbəbi görə bilmədi. Qeyd etmək lazımdır ki, hələ antik alimlərdə cazibə haqqında bəzi fi-kirlər var idi. Kepler özü də hesab edirdi ki, planetlərə məsafə ilə tərs mütəna-sib olan bir qüvvə təsir etməlidir. Fəqət о qüvvənin təbiətini açmaq və ona riyazi forma vermək yalnız bütün dövrlərin ən böyük fiziki Nyutona müəssər oldu.
§ 11.1. Ağırlıq və cazibə qüvvələrinin eyniliyi
Nyutona məlum idi ki, ağırlıq qüvvə si Yerin mərkəzin -dən olan məsafənin kvadratı ilə tərs mütənasib olaraq dəyişir. Uyğun olaraq ağırlıq qüvvəsinin təcili də həmin qanunla də-yişir.

Yerin səthində ağırlıq qüvvəsinin təcili

kimi təyin oluna bilər. Burada M© və R© -Yerin kütləsi və radiusu, G-cazibə sabitidir. Məlum olduğu kimi Yer səthində ağırlıq qüvvəsinin təcili

_gR_@» 981 sm/s².

Nyuton maraqlanmışdır ki, görəsən Yerdən Ay məsafəsi-nə qədər uzaqlaşsaq bu təcil nə qədər olar? О, Aya qədər mə-safənin təxminən 60 Yer radiusuna bərabər olduğunu (şəkil 11.1) nəzərə alaraq tapmışdır ki, Ay məsafəsində ağırlıq qüv-vəsinin təcili

Digər tərəfdən qəbul etmək olar ki, Ayın Yer ətrafında dolanma yolu radiusu 60 Yer radiusuna bərabər olan dairə-dir. Onda Yer ətrafında dairə boyunca bərabərsürətlə fırlanan Ayın mərkəzəqaçma təcili
olar. Burada w- Ayın bucaq sürəti və r, -Ayın geosentrik mə-safəsidir.

Ayın siderik dolanma dövrünün 27.32 gün olduğunu bilə-

rək (11.3)-dən taparıq ki, Ayın orbital hərəkətinin mərkəzə-qaçma təcili

Şəhil 11.1. Yerin səthində və Ау məsafəsində ağırlıq qüvvəsinin təcili

Beləliklə, Yerdən Ay məsafəsi uzaqlığında ağırlıq qüvvə-sinin təcili Ayın orbital hərəkətinin mərkəzəqaçma təcilinə bə-rabərdir. Buradan Nyuton belə nəticə çıxarmışdır ki, ağırlıq və cazibə qüvvələri eyni qüvvələrdir və Ayı Yer ətrafı orbitdə saxlayan qüvvə Yerin cazibə qüvvəsidir. Bu mülahizələri pla-netlərə və Günəşə şamil edərək Nyuton aşağıdakı nəticəyə gəlmişdir:

Bütün planetləri düzxətli yolundan çıxaran və orbitlə-rində saxlayan qüvvə Günəşin cazibə qüvvəsidir. Cazi-bə qüvvəsi Günəşin mərkəzinə yönəlib və planetlərin heliosentrik məsafələrinin kvadratları ilə tərs mütəna-sibdir.
§ 11.2. Ümumdünya cazibə qanunu
Əvvəlki paraqrafda dediyimiz kimi Nyuton göstərdi ki, Ayın Yer ətrafında dolanmasını idarə edən qüvvə Yerin cazi-bə qüvvəsidir. Daha sonra o, belə nəticəyə gəldi ki, planetlə-rin Günəş ətrafında hərəkəti də Ayın Yer ətrafındakı hərəkət qanunlarına tabedir. Ona görə planetlərin hərəkətini idarə edən qüvvə Günəşin cazibə qüvvəsidir. Bu qüvvə Günəşin küt-ləsi M® ilə düz, planetin mərkəzindən Günəşin mərkəzinə qə-

dər olan məsafənin kvadratı r² ilə tərs mütənasibdir, yəni

F = Ji—f-. (11.5) r

Nyutonun III qanununa görə planet ədədi qiymətcə hə-min qüvvəyə bərabər bir qüvvə ilə Günəşi cəzb edir, yəni

F = n'

(11.6)

Bu qüvvələrin bərabərliyindən alarıq ki,

r^-

və ya

Bütün bunları ümumiləşdirərək Nyuton Ümumdünya Ca-zibə qanununu vermişdir:

= const = к² = G.

Me M.

Əgər (11.7)-dən p-nü (11.5)-də nəzərə alsaq MJ\U

(11.7)

tki maddi nöqtənin bir-birini qarşılıqlı cəzb etmə qüv-vəsi onların kütlələrinin hasili ilə düz, aralarındakı məsafənin kvadratı ilə tərs mütənasibdir.

Riyazi olaraq bu qanun

m, • m

kimi yazıla bilər. Burada G-cazibə sabiti olub vahid kütləli iki maddi nöqtənin vahid məsafədə bir-birini cəzbetmə qüvvəsi-dir.

Nyuton daha sonra isbat etdi ki, (11.9) düsturu bircins kürələr və konsentrik bircins laylı kürələr üçün də doğrudur.

Nəhayət o, göstərdi ki, (11.9) düsturu ilə ifadə olunan ümumdünya cazibə qanunu göy cismlərinə də şamil oluna bilər.

Beynəlxalq sistemdə (BS) cazibə sabiti

G=6.6726-10^-11N.m².kg^-2=6.6726.10^-11m³kg^-1s^-2,

SGS sistemində isə

G=6.6726-10^-8 dn-sm² q^-2=6.6726-10^-8sm³ q^-1 s^-2.

Günəş sistemində istifadə olunan Qaus vahidlər sistemin-də kütlə Günəş kütlələri ilə, məsafə astronomik vahidlərlə və zaman orta Günəş günləri ilə ölçülür. Bu vahidlər sistemində cazibə sabiti

G=k²=0.00029591

olar. Burada

k=0.01720209895»1:58

Qaus sabiti adlanır.
§ 11.3. Nisbi təcil


пи

Fı

F₂

-<—

1112

Şəhil__11.3.__Eyni__hütlə_mərhəzindən_bərabər_məsafələrdə_olan_müxtəlif_hütləli_cisimlərin_təcilləri_bərabərdir'>Şəhil 11.2. Bir-birini qarşılıqlı cəzb edən cisimlərin təcilləri hütlələri ilə tərs mütənasibdir

Äralarmdakı məsafə r əlan m! və m₂ kütləli iki

(şəkil 11.2) maddi nöqtənin bir-birini cəzbetmə qüvvə-sinin modulu (11.9)-a görə aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Göründüyü kimi bu qüvvələr modulca bir-birinə bəra-bər, istiqamətcə isə əks tərəflərə yönəlmişdir, yəni

Bu cisimlərin bir-birini cəzb etməsi nəticəsində aldıları tə-

cillər
olar. Buradan alarıq ki,

Deməli:

Qarşılıqlı cazibə təsirində olan cisimlərin aldığı təcillər onların kütlələri ilə tərs mütənasibdir.

Məsələn, Yerin Ayı cəzb etmə qüvvəsi Ayın Yeri cəzb et-mə qüvvəsinə bərabərdir. Lakin Ayın Yerdən aldığı təcil Ye-

186

rin Aydan aldığı təcildən çox-çox böyük olacaqdır. Doğrudan da

w M

w© M,

olar.

Eləcə də Yer və Günəş bir-birini eyni qüvvə ilə cəzb edir, lakin Yerin aldığı təcil Günəşin aldığı təcildən çox-çox böyük olar:

w,₌ M,₌ L99-10-_{=Q 333 1()6} w_rA М_л 5.98-10²⁷

və ya

Bir-birini qarşılıqlı cəzb edən iki maddi nöqtənin təcilləri əks tərəflərə yönəldiyindən onların fərqi və ya nisbi təcili üçün (11.10) və (11.11 )-dən yaza bilərik

Məsələn, Yerlə Günəşin nisbi təcili

(M +MJ
olar. Burada a© Yer orbitinin böyük yarımoxu və ya Yerlə

Günəş arasındakı orta məsafə (1 a.v.), M© - Yerin kütləsi və

M© - Günəşin kütləsidir.

Fərz edək ki, kütləsi M olan maddi nöqtə (şəkil 11.3) ondan məsafələri r₁=r₂=r olan iki m₁ və m₂ kütləli cisimləri cəzb

edir.

Şəhil 11.3. Eyni hütlə mərhəzindən bərabər məsafələrdə olan müxtəlif hütləli cisimlərin təcilləri bərabərdir


Bu cazibə qüvvələri

olar. Göründüyü kimi bu qüvvələr bir-birinə bərabər olmaz, yəni

F Ф F .

12
Lakin bu maddi nöqtələrin M cisminin cazibəsindən aldı-ğı təcillərin modulu eyni olar, yəni

Wmı=Wm₂ = Cj —- .
§ 11.4. Cazibə qüvvələrinin özəllikləri
Təbiətdə 4 növ qüvvə mövcuddur:

1. 
   Elektromaqnit qüvvələri,
   
2. 
   Cazibə qüvvələri,
   
3. 
   Güclü qarşılıqlı təsir qüvvələri,
   
4. 
   Zəif qarşılıqlı təsir qüvvələri.
   

Elektrik və cazibə qüvvələri məsafənin kvadratı ilə tərs mütənasib olaraq azalır. Güclü və zəif qarşılıqlı təsir qüvvələ-ri isə məsafədən asılı olaraq daha sürətlə azalır.

Asanlıqla göstərmək olar ki, protonla elektron arasında-kı elektrik Kulon qüvvəsi F_k cazibə qüvvəsindən F_g çox-çox

böyükdür, yəni
Fk/Fg»10⁴⁰.
Güclü qarşılıqlı təsir qüvvələri atom nüvələri çərçivəsində bütün qüvvələrdən güclü olub ulduz nüvələrində nüvələrin sin-tezini təmin edir.

Zəif qarşılıqlı təsir qüvvələri cazibə qüvvələrindən böyük, elektrik qüvvələrindən isə kiçikdir. Bu qüvvələr protonun əks beta-parçalanmasında rol oynayır.

Astronomiyada bu qüvvələrin hamısı ilə rastlaşırıq. La-kin cazibə qüvvəsi astronomiyada xüsusi yer tutur. Əvvəlki paraqraflarda dediyimiz kimi göy cisimlərinin hərəkətini ida-rə edən, onlara kürə forması verən və onları tarazlıqda saxla-yan cazibə qüvvəsidir. Ulduzların daxili quruluşu və təkamü-lü də gazibə qüvvələri ilə təyin olunur.

Nyutonun ümumdünya cazibə qanunu yalnız zəif cazibə sahələri üçün doğrudur. Çox böyük sıxlıqla əlaqədar olan güc-lü cazibə sahəsini və işıq sürətinə yaxın sürətlə hərəkət edən ci-simlərin hərəkətini yalnız Eynşteynin ümumi nisbilik nəzəriy

yəsi (cazibə nəzəriyyəsi) təsvir edə bilir.

Cazibə qüvvəsi digər qüvvələrdən bir sıra özəlliklərinə gö-rə fərqlənir. Bu özəlliklər aşağıdakılardır:

1. 
   Cazibə qüvvəsi istənilən iki cisim arasında mövcud-dur.
   
2. 
   Cazibə qüvvəsi istənilən məsafədə mövcuddur və mə-safənin kvadratı ilə tərs mütənasibdir.
   

3. 
   Cazibə qüvvələrini heç bir vasitə ilə pərdələmək (zəiflətmək və ya gücləndirmək) mümkün deyil.
   
4. 
   Cazibə qüvvəsi cisimlərin fiziki halından (qaz, ma-ye, bərk cisim) və kimyəvi tərkibindən asılı deyil.
   
5. 
   Cazibə qüvvələri yalnız cisimlərin kütləsindən və məsafəsindən asılıdır.
   

§11.5. İki cisim məsələsi. Enerji inteqralı
Əgər xarici sahədə yerləşmiş m kütləli maddi nöqtənin potensial enerjisi istiqamətdən asılı olmayıb yalnız sahənin mərkəzindən olan məsafədən asılı olarsa sahə mərkəzi sahə adlanır. Mərkəzi sahədə hissəciyə təsir edən qüvvə də yalnız sahənin mərkəzindən cismə qədər olan məsafədən asılı olub, sahənin hər bir nöqtəsində radius-vektor üzrə mərkəzə doğru yönəlir.

Mərkəzi sahələrin ən mühüm halı mərkəzi cazibə sahəsi-dir. Mərkəzi cazibə sahəsində maddi nöqtəyə təsir edən qüvvə onun kütləsi ilə düz, cazibə mərkəzindən olan məsafənin kvadratı ilə tərs mütənasib olub, radius-vektor boyunca cazi-bə mərkəzinə doğru yönəlir.

Fərz edək ki, mərkəzi cazibə sahəsi M kütləsi bir nöqtədə cəmlənmiş cisim (şəkil 11.4) tərəfindən yaradılmışdır. Bu sa-hədə cazibə mərkəzindən r məsafədə olan m kütləli maddi nöqtənin hərəkətinə - başqa sözlə, iki cisim məsələsinə baxaq.
Şəhil 11.4. İhi cisim məsələsinə dair

Nyutonun ümüm-dünya cazibə qanunu-na görə bu nöqtəvi ci-simlər bir-birini cəzb edir və ona görə onla-rm hər ikisi Mm xətti üzrə əks tərəflərə yö-nəlmiş təcil alır. Bu tə-cillər aşağıdakı kimi olacaqdır:

Mərkəzi cismin aldığı təcil

m

w_M=G-_r2

hərəkətinə baxdığımız m kütləli maddi nöqtənin aldığı təcil isə
(11.16)

olar.

Təbiidir ki, M>>m olduğundan w_M>>w_m olacaqdır. Ay-

= G-

(11.17)

dındır ki, m kütləli maddi nöqtənin M kütləli cismin yaratdı-ğı mərkəzi cazibə sahəsindəki hərəkəti onların (11.13) ilə təyin olunan nisbi təcili ilə təyin olacaqdır. Bu təcil

M

(M + m)

w„ = w_ - w

olar.

Uyğun olaraq bu cisimlərə təsir edən cazibə qüvvələri

		= G^mMr
		ç mM _p

(11.18)
(11.19)

olacaqdır. Beləliklə, bu cisimlərə təsir edən qüvvələr ədədi

qiymətcə bir-birinə bərabər, istiqamətcə isə əks tərəflərə yönə-lir:

F = — "F

Mərkəzi cazibə sahəsində aşağıdakı iki saxlanma qanunu ödənilir:

1. 
   Tam mexaniki enerjinin saxlanma qanunu
   

^ mi)² _{тт/ ч}

E = -^- + U(r) = const. (11.20)

Burada E-tam mexaniki enerji, ^--kinetik enerji və U(r) -potensial enerjidir.

2. 
   tmpuls momentinin saxlanma qanunu
   

M = [rp] = const. (11-21)

Burada M -impuls momenti, r -radius vektor və p -im-puls və ya hərəkət miqdarıdır. Məlumdur ki,

p = mo.

Bu saxlanma qanunlarından mərkəzi cazibə sahəsində maddi hissəciyin hərəkət trayektoriyasını almaq olar. Aydın-

dir ki, M və r vektorları qarşılıqlı perpendikulyar olduğun-dan impuls momentinin saxlanma qanunundan çıxır ki, maddi hissəciyin radius-vektoru həmişə M momentinə perpendi-kulyar olan müstəvi üzərində qalır. Beləliklə:

Maddi hissəciyin mərkəzi cazibə sahəsində hərəkəti zamanı ənun hərəkət trayektəriyası bütövlüklə mər-

kəzdən keçən və M momentinə perpendikulyar olan müstəvi üzərində yerləşir.

Məlum olduğu kimi cismə təsir edən qüvvə onun poten-sial enerjisinin dəyişməsinə bərabərdir:

Buradan

Digər tərəfdən Nyutonun II qanunundan yaza bilərik:

(M + m) а

F = mw =Gm

(11.24)

Burada

a=Gm(M+m). Əgər (11.24)-ü (11.23)-də yerinə yazsaq

(11.25)

Onda (11.26)-nı (11.20)-də yerinə yazaraq alırıq:

_ mu² а

E = .

2 r

Buradan

və ya

E +

2E 2a 2 A oZ

ır = — + — = — m mr m

(11.27)

Analitik həndəsədən məlum olduğu kimi elliptik orbitin böyük yarım oxu aşağıdakı kimi təyin olunur:

Mərkəzi sahədə qapalı trayektoriyalar üzrə hərəkət edən

maddi his səciyin tam mexaniki enerj i si mənfi olduğundan (11.28)-dən

olar.

Əgər (11.29)-u (11.27)-də nəzərə alsaq


a a

= —I + —

m V 2a r

a m

'2_V

və ya (11.25)-i nəzərə alaraq yaza bilərik:

(2 \\

u² = G(M + m) . (11.30)

\r a)

Bu ifadə enerji inteqralı adlanır və trayektoriyanm məsa-fədən və başlanğıc sürətin qiymət və istiqamətindən asılılığını təyin edir.

§11.6. Trayektoriyanm başlanğıc sürətdən asılılığı

u_o=0 +

ü_d0<ü_p

Şəhil 11.5. thi cisim məsdləsində orbitin buşlunğıc sürətdən usılılığı

İndi başlanğıc sürətin müx-təlif qiymətləri üçün trayektori-yanın formasını təyin edək (şəkil

11.5).

1. Fərz edək ki, başlanğıc

sürət u_o=0. Bu halda m kütləli

maddi hissəcik mərkəzi cismin cazibə qüvvəsinin təsirilə mM düz xətti üzrə cazibə mərkəzinə doğru hərəkət edəcəkdir.

2. İndi fərz edək ki, u_o=¥,

özü də hərəkət sürəti mM istiqa-mətinə perpendikulyardır. Onda

maddi hissəcik mA istiqamətində hərəkət edər, yəni bu halda da trayektoriya düz xətt olacaqdır.

3. Əgər a=r olarsa trayektoriya dairəvi olar. Ona görə (11.30)-da a=r yazsaq dairəvi sürət üçün alarıq:

Beləliklə

olsa maddi hissəcik cazibə mərkəzi ətrafında çevrə boyunca hərəkət edəcəkdir.

4. Parabola üçün a=oo, e=1. Onda (11.30)-da a=oo yaza-raq parabolik sürət üçün tapırıq:

и = v = л/2о,

Beləliklə,

olsa maddi hissəciyin trayektoriyası parabola olacaqdır.

5. Ellips üçün a>0. Onda (11.30)-dan tapırıq ki, a>0 ol-ması üçün

olmalıdır.

Doğrudan da (11.30)-dan yaza bilərik: 2G(M + m)_ G(M + m)

и --

və ya

u²-G(M + mf

= -G(M + m);



yəni

o²-G(M + m)-<0


Aydındır ki, a>0 olduğu üçün,


olmalıdır. Buradan

r


və ya

mərkəzi ətrafında orbiti ellips olacaqdır. Onu da qeyd edək ki, u_o-ın qiymətindən asılı olaraq ellipsin forması və ölçüsü

müxtəlif olacaqdır. Əgər u_dop olarsa mərkəzi М cismi el-

lipsin m maddi nöqtəyə yaxın olan fokusunda yerləşəcək. Əgər 0od olarsa М mərkəzi cismi ellipsin m cismindən

uzaq olan fokusunda yerləşər.

və ya

6. Hiperbola üçün a<0. Onda (11.30)-dan tapırıq ki, a<0 olması üçün

§11.7. Kerler qanunlannın ümumiləşdirilməsi və dəqiqləşdirilməsi
Kepler planetlərin hərəkət qanunlarını uzun illərin müşa-hidələrinin təhlili əsasında vermişdir. Yəni Kepler qanunları empirik qanunlardır. Bu qanunlar bütün göy cisimlərinə şamil oluna bilmir. Məsələn, Keplerin I qanunu yalnız Günəş ətra-fında qapalı orbitə malik olan göy cisimləri üçün doğrudur. Belə göy cisimləri Günəş sisteminin böyük planetləri, bəzi ko-metlər və kiçik planetlər-asteroidlərdir.

Kepler planetləri öz yolundan döndərən və Günəş ətrafı orbitlərdə saxlayan qüvvənin təbiətini, başqa sözlə öz qanun-larının dinamik mənasını görə bilməyib. O, hesab edirdi ki, planetlərə onların Günəşdən olan məsafələr ilə tərs mütənasib bir qüvvə təsir etməlidir. Lakin bu qüvvənin istiqaməti və tə-biəti haqqında o, heç bir söz deyə bilməyib.

Planetləri Günəş ətrafı orbitdə saxlayan və onların hərə-kətini idarə edən qüvvənin təbiətini bütün dövrlərin ən böyük fiziki, astronomu və rtyaziyyatçısı Nyuton aşkarlamışdır. O, əvvəlcə mexanikanın üç qanununu vermiş, sonra isə təbiətin ən ümumi qanununu-ümumdunya cazibə qanununu kəşf et-mişdir. Bu qanunlar əsasında Nyuton Kepler qanunlarını riyazi şəkildə çıxarmış, onları dəqiqləşdirmiş və ümumiləşdir-mişdir.

Nyuton ifadəsində Keplerin I qanunu təkcə planetlərə yox, bütün göy cisimlərinə, o cümlədən fiziki qoşa ulduzlara da şamil edilə bilər. O, göstərmişdir ki, cazibə mərkəzi ətrafın-da hərəkət edən cismin trayektoriyası yalnız ellips yox, istəni-lən konik kəsiklərdən biri (düz xətt, dairə, ellips, parabola və hiperbola) ola bilər.

Nyuton Keplerin II və III qanunlarına da riyazi forma verdi və dəqiqləşdirdi. Xüsusilə, Keplerin III qanununun Nyuton ifadəsi çox önəmlidir. Bu qanun planetlərin və onla-rın peyklərinin kütləsini təyin etməyə imkan verir.
Fərz edək ki, şəkil 11.6-da göstərildiyi kimi düzbucaqlı koordinat sistemində Günəş koordinat başlanğıcındadır və planetin orbit müstəvisi ху müstəvisi ilə üst-üstə düşür.

Nyutonun II qanununa görə

Burada M© -Günəşin kütləsi, M- planetin kütləsi və r-

planetin radius vektorudur.

Bu qüvvəni x və y oxlarına proyeksiyalayaraq yaza bilə-

rik:

Birinci tənliyi y-ə, ikincini isə x-ə vurub birincini ikinci-dən çıxsaq alarıq:

və ya

dy dx

M-

dt

xF-yF.

dt " dt,

Məlumdur ki, F mərkəzi qüvvə olduğundan,

yFx=xFy

olar. Ona görə (11.34)-ü aşağıdakı kimi yaza bilərik

(11.34)

У А

Şəkil 11.6. Replevin ikinci qanununun ümumiləşdirilməsinə dair

və ya

Axırıncı ifadədə

x=r cos J,

y=r sin J

olduğunu nəzərə alaraq polyar koordinatlara keçsək (11.35)-dən alarıq:

Bu Keplerin ikinci qanununun Nyuton tərəfindən alın-mış dəqiq ifadəsidir:

Planetlərin radius vektorlarının vahid zamanda cızdı-ğı sahə sabit kəmiyyətdir.

(11.37)

Fərz edək ki, m kütləli cisim M kütləli cismin cazibə sa-həsində hərəkət edir. Nyutonun ikinci qanununa görə m küt-ləli cismin М kütləli cismdən aldığı təcil üçün yaza bilərik:

GM_?

du dt

r -m kütləli cismin radins-

Bu tənliyi x və y oxlarına proyeksiyalarda yazsaq

(11.39)

olar. Bnrada G-cazibə sabiti və vektorudur.

Əgər (11.38) və (11.39) -da polyar koordinatlara keçsək x = r cos J və y = r sin J olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

dt


mız


ifadəsinə bölərək alarıq:

du

_C

_r2

Bu tənliklərin hər ikisini Keplerin ikinci qanunda aldığı-

və ya

Bu ifadələri inteqrallayaraq alarıq:

Burada C₁ və C₂ sabit kəmiyyətlərdir.

Əgər (11.44) və (11.45)-də polyar koordinatlara keçsək yaza bilərik:

(11.48)

Əgər (11.46)-nı (-sinJ)-yə, (11.47)-ni isə (cosJ)-yə vurub tərəf-tərəfə toplasaq

^Г dt С

d$ GM

- + C, +C,cos&.

Koordinat sistemini elə seçsək ki, sürət y oxu üzrə yönəl-sin, u_x=0 və C₁=0 olar. Onda (11.48)-in yerinə yaza bilərik:

r— = + C₉cosS. dt С

(11.49)

Llxj

Əgər Keplerin ikinci qannnnndan — -ni (11.49)-da nə-zərə alsaq alarıq ki,

Əgər

və
GM

işarə etsək (11.50) - dən alarıq:

P
Bu polyar koordinatlarda qütbü əyrinin fokusunda olan konik kəsiklərin ümumi tənliyidir. Beləliklə Nyuton Keplerin I qanununu aşağıdakı kimi ümumiləşdirmişdir:

Cazibə qüvvəsinin təsirilə bir cisim digər cismin cazibə sahəsində konik kəsiklərdən biri: düz xətt, çevrə, ellips, parabola və hiperbola boyunca hərəkət edir. Nyuton ifadəsi də Keplerin III qanunu göy cismlərinə (planetlərə, kometlərə, planetlərin peyklərinə, Yerin süni peyklərinə və s.) şamil edilə bilər. Hələ Nyütonun sağlığında parabola və hətta hiperbola üzrə hərəkət edən kometlər kəşf olunmuşdur.