Əgər təsadüfi kəmiyyət sonlu və ya hesabi sayda izolə edilmiş x

Təsadüfi kəmiyyət anlayışı ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir. Təsadüfi kəmiyyət, baxılan hadisəni kəmiyyətcə xarakterizə edən və təsadüfi amillərin təsiri ilə bu və ya digər şəkildə müxtəlif qiymətlər ala bilən kəmiyyətlərdir. Təsadüfi kəmiyyətin hansı qiyməti alacağını qabaqcadan qəti demək mümkün deyildir. Onun hər bir sınaqda aldığı qiymətlər müxtəlif səbəb və təsadüflərdən asılı olaraq dəyişir. Təsadüfi kəmiyyətləri latın əlifbasının son iri X, Y, Z,... hərfləri və ya yunan əlifbasının kiçik μ,ξ,η,... hərfləri, onların ala biləcəyi qiymətləri isə uyğun olaraq kiçik x, y, z,... hərfləri ilə işarə edirlər.

Əgər təsadüfi kəmiyyət sonlu və ya hesabi sayda izolə edilmiş x₁,x₂,…,x_n,… qiymətlərini ala bilirsə, ona diskret təsadüfi kəmiyyət deyilir. Təsadüfi kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlər hər hansı sonlu və ya sonsuz intervalı təşkil edirsə, ona kəsilməz təsadüfi kəmiyyət deyilir. Təsadüfi kəmiyyətin verilməsi üçün onun ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu və həm də bu qiymətləri hansı ehtimalla aldığı göstərilməlidir. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasını təyin etmək üçün əvvəlcə təsadüfi kəmiyyətin ciddi riyazi tərifini vermək lazımdır.
Qeyd etdiyimiz kimi Təsadüfi dəyişən müxtəlif şəraitdən asılı olaraq müəyyən dəyərləri qəbul edə bilən dəyişəndir və istənilən məhdud və ya qeyri-məhdud intervaldan istənilən qiymət ala bilirsə, kəsilməz adlanır . Kəsilməz təsadüfi dəyişən üçün bütün mümkün dəyərləri təyin etmək mümkün deyil, buna görə də müəyyən ehtimallarla əlaqəli olan bu dəyərlərin intervalları qeyd olunur.
Kəsilməz təsadüfi dəyişənlərə misal olaraq: verilmiş ölçüyə çevrilmiş hissənin diametri, insanın hündürlüyü, mərminin məsafəsi və s.
Kəsilməz təsadüfi dəyişənlər üçün F ( x ) funksiyası diskret təsadüfi dəyişənlərdən fərqli olaraq heç bir yerdə sıçrayışa malik olmadığından, fasiləsiz təsadüfi dəyişənin hər hansı fərdi qiymətinin olma ehtimalı sıfıra bərabərdir.
Bu o deməkdir ki, kəsilməz təsadüfi dəyişən üçün onun qiymətləri arasında ehtimal paylanması haqqında danışmağın mənası yoxdur: onların hər birinin ehtimalı sıfırdır. Bununla birlikdə, müəyyən mənada, kəsilməz təsadüfi dəyişənin dəyərləri arasında "daha çox və daha az ehtimal" var. Məsələn, çətin ki, hər kəs təsadüfi dəyişənin dəyərinin - təsadüfi rastlaşan insanın hündürlüyünün - 170 sm-in 220 sm-dən çox olması ehtimalına şübhə etsin, baxmayaraq ki, bir və digər dəyər praktikada baş verə bilər.
Yalnız kəsilməz təsadüfi dəyişənlər üçün məna kəsb edən paylama qanunu olaraq paylanma sıxlığı və ya ehtimal sıxlığı anlayışı təqdim edilir. Kəsilməz təsadüfi dəyişən üçün və diskret təsadüfi dəyişən üçün paylanma funksiyasının mənasını müqayisə edərək ona yanaşaq.
1 . Təsadüfi dəyişənin intervaldan hər hansı bir dəyər alması ehtimalı (və f ( x ) funksiyasının qrafiki və Ox oxu ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsi ) birinə bərabərdir :

2. Ehtimal sıxlığı funksiyası mənfi qiymətlər qəbul edə bilməz:
,
paylanmanın mövcudluğundan kənarda isə onun dəyəri sıfırdır
Paylanma sıxlığı f ( x ), paylanma funksiyası F ( x ) kimi paylanma qanununun formalarından biridir, lakin paylanma funksiyasından fərqli olaraq, universal deyil: paylanma sıxlığı yalnız fasiləsiz təsadüfi dəyişənlər üçün mövcuddur.
Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının praktikada ən vacib iki növünü qeyd edək.
Əgər fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin paylanma sıxlığı funksiyası f ( x ) hansısa sonlu intervalda [ a ; b ] sabit dəyərini alır C , və intervaldan kənarda sıfıra bərabər bir qiymət alır, onda belə bir paylanma vahid adlanır .
Paylanma sıxlığı funksiyasının qrafiki mərkəzə nisbətən simmetrik olarsa, ortalar mərkəzə yaxın yerdə cəmlənir və mərkəzdən uzaqlaşdıqda ortalardan daha fərqli toplanır (funksiya qrafiki zəngin kəsilməsinə bənzəyir) , onda bu paylanma normal adlanır .
Ω={ω} elementar hadisələr fəzasında təyin olunmuş və istənilən həqiqi x ədədi üçün
Ωx={ω|X(ω)şərtini ödəyən həqiqi X=X(ω) funksiyasına təsadüfi kəmiyyət deyilir.
Istənilən həqiqi x(−∞<𝑥<∞) ədədi üçün Ωx çoxluğu σ - cəbr olan F sisteminə daxil olduğundan, onun ehtimalı təyin olunmuşdur. Bu ehtimala, yəni təsadüfi X kəmiyyətinin x-dən kiçik qiymətlər alması hadisəsinin ehtimalına həmin təsadüfi X kəmiyyətinin paylanma funksiyası deyilir və
F(x) |=|Fx|(x)=|P(X<|x)=P(X(ω)<𝑥) (2)
ilə işarə edilir.
{X≥x} hadisəsinin ehtimalı (2) bərabərliyinə əsasən
P(X≥x)=1-P(X<𝑥)=1-F(x) (3)
bərabərliyi ilə hesablanır. Bundan başqa, x1<𝑥2 olduqda {X1} və {x₁≤X≤x₂} hadisələri uyuşmayandır və
{X2}={X1}+{x₁≤X2}
bərabərliyi ödənilir. Onda ehtimalların toplanma aksiomuna görə