İki tərtibli əyrilər və onların ümumi tənliyinin sadələşməsi

XV MUHAZİRƏ
İki tərtibli əyrilərin ümumi tənliyi və onun sadələşməsi. İki tərtibli səthlərin kanonik tənlikləri.

1. 
   İki tərtibli əyrilər və onların ümumi tənliyinin sadələşməsi.
   

(1)
tənliyi müstəvidə iki tərtibli əyrinin ümumi tənliyini ifadə edir. Burada əmsallar eyni vaxtda sıfır deyillər. Əgər olsa (1) tənliyi
(2)
olar.
Aşağıdakı hallara baxaq;
(əgər olsa onları halına gətirmək olar.) (2) tənliyini belə yazaq;

və ya
(3)
olar.
(4) Işarələyək
Tutaq ki, olsun onda (3) – dən alırıq.
(4)
olar. (4)- tənliyi yalnız qiymətlərində ödənilir.
Əgər olarsa onda (3) tənliyi heç bir nöqtədə ödənilmir.
Əgər olarsa , onda (3) tənliyini belə yazmaq olar.

(5) tənliyi mərkəzi nöqtəsində olan ellipsin tənliyidir , beləki

halı üçündə yuxarıdakı əməliyyatı aparsaq alarıq;

Əgər olarsa alınan iki tərtibli əyrinin

tənliyi iki kəsişən düz/ xəttlərinin tənliklərinə ayrılır.
Əgər olsa (2) tənliyi bu şəklə düşər;
(7)

Əgər olsa (7) tənliyi mərkəzi olan hiperbolanın tənliyi olacaq,
olsa olar yenə (7) tənliyi müəyyən hiperbolanın tənliyi olacaq.

3. olsun , onda (2) tənliyini

(8)

olacaq.

(8) tənliyini belə yazaq;
(9)
(9) tənliyi təpəsi nöqtəsində olan parabolanın tənliyidir.
Əgər E=0 olsa onda (8) - dən alarıq
(10)
və ya
(11)
Burada olsa , (11) tənliyi Oy oxuna paralel iki d/x-ə ayrılır
(12)
Əgər olsa düz xətti alınır.
Əgər olsa (11) tənliyinin heç bir həndəsi izahı yoxdur.
4. olsa (2) tənliyi belə olar.
(13)
(13) tənliyini belə yazaq;
(14)
(14) tənliyi nöqtəsində olan,simmetriya oxu Ox-oxuna paralel olan paraboladır. Beləki, olsa parabolanın ucları sağa, olsa isə sola istiqamətlənib.
Əgər olsa (13) tənliyi
(15)
olar.
Onda (15) – dən alarıq
(16)
Əgər olsa , (16) əyrisi iki Ox oxuna paralel d/x-ə parçalanır;
(17)
Əgər olarsa (16) əyrisi xəyali əyri olacaq.
Əgər (1) tənliyində olarsa , onda koordinat sistemini ele bucaq altında fırlatmaq lazımdır ki, olsun.
Bunun üçün
(18)
koordinat çevirməsini etmək lazımdır;
Əgər

olsa, yəni α-nın bu qiymətində , çevrilən yeni koordinat sistemində (1) tənliyi belə olacaq.
(19)
Burada əmsalları əmsallarından təşkil olunan əmsallardır. Beləliklə alınan (19) tənliyini isə yuxarıda təhlilini vermişik.
3. İki tərtibli səthlərin kanonik tənlikləri .

İki tərtibli səthlərin ümumi tənliyi belədir

(20)
Burada da koordinat sistemini çevirməklə (20) tənliyini
(21)
şəkilinə gətirmək olar.
İki tərtibli səthlərin aşağıdakı növləri var;
1. Ellipsoid, onun kanonik tənliyi belədir;

b u səthin yarım oxlardır. və bu yarım oxlar müxtəlif olduqda ona üç oxlu elepsoid deyilir. hər hansı iki yarım oxu bərabər olsa, ona fırlanma ellepsoidi deyilir. Əgər olsa ellepsoid kürrəyə çevrilir.


Şək.3

2. Biroyuqlu hiperboloid ,(şək.3) bunun kanonik tənliyi

(23)

ədədləri onun yarım oxlarıdır.
olsa (23) tənliyi
biroyuqlu fırlanma (z- oxu ətrafında)
hiperboloidinə çevrilir. şək.3
(şəkil-3)

3. İkioyuqlu hiperboloid ,(şək.4) onun kanonik tənliyi belədir


_{Şək.5 Şək.4}

olsa (24)hiperboloidi ikioyuqlu fırlanma
hiperboloidinə çevrilir.
4. Konus . Onun kanonik tənliyi belədir (şək.5)

şəklindədir. Bu səth koordinat başlanğıcına və
koordinat müstəvilərinə nəzərən simmetrikdir.
olsa konus fırlanma konusu adlanır.
5. Elliptik paraboloid, kanonik tənliyi belədir.
(şək.6)

Şək.6

şəklindədir. "O" -nöqtəsi onun təpəsi , isə
parametirləri adlanır.
6. Hiperbolik paraboloid, kanonik tənliyi



kimi yazılır.