ieşirea la un anumit moment depinde nu numai de semnalul de intrare ci şi de valorile anterioare ale semnalului de ieşire
un anumit impuls (inclusiv zgomot) in anumite conditii se poate propaga la infinit (de unde si numele filtrului)
formula iesirii pentru un filtru IIR:
k-1 k
y(kT) = Σ bk-i*y(iT) + Σ ak-i*x(iT)
i=0 i=0
Aplicând transformata în Z asupra expresiei de mai sus se obţine:
m n
Y(z) = Σ bi*Y(z)*z-i + Σ ai*X(z)*z-i
i=0 i=0
unde: m - indexul maxim al coeficienţilor bi diferiţi de zero
n - indexul maxim al coeficienţilor ai diferiţi de zero
Filtre cu raspuns infinit (IIR)
transformata in Z a unui filtru IIR:
n m
H(z) = Y(z)/X(z) = (Σ ai*z-i)/( 1- Σ bi*z-i)
i=0 i=0
Proprietati ale filtrelor IIR
pentru acelasi numar de termeni (rang) un filtru IIR are un efect mai pregnant (calitativ mai bun) decat un filtru FIR
filtrele IIR sunt “reactive” sau cu reactie inversa (feed-back), datorita termenilor ce contin esantioane ale iesirii
pentru anumite valori ale coeficienţilor ai şi bi filtrul IIR devine instabil şi are tendinţa de a oscila
Implementarea filtrelor IIR
forma canonica de implementare a filtrelor IIR
Sinteza filtrelor numerice
Problema: determinarea coeficienţilor funcţiei de transfer a unui filtru numeric, astfel încât efectul produs de filtru să corespundă unor condiţii prestabilite.
Parametri unui filtru:
banda de trecere – intervalul de frecvenţe pentru care filtrul are efect de amplificare
banda de blocare – intervalul de frecvenţe pentru care filtrul are efect de atenuare
frecvenţa de tăiere – frecvenţa care desparte banda de trecere de banda de atenuare
raportul de atenuare – logaritmul raportului dintre amplificarea în banda de blocaj şi amplificarea în banda de trecere
raport de atenuare = 20 lg (Ablocaj/Atrecere) [decibeli]
Sinteza filtrelor numerice
exista mai multe tehnici de sinteza, relativ complexe
Metoda 1
se bazeaza pe functia de transfer a filtrului analogic echivalent, (exprimat in domeniul Laplace)
m
Ha(s) = Ak/(s+sk) unde: sk sunt polii functiei de transfer
k=1
Din această expresie se deduce transformata în Z a filtrului numeric:
m
H(z) = Ak/(1 – eskT*z-1)
k=1
Sinteza filtrelor numerice
Metoda 2.
Se consideră cunoscut răspunsul unui filtru analogic echivalent la un semnal de tip impuls. Prin eşantionarea funcţiei răspuns se obţin coeficienţii transformatei în Z a funcţiei de transfer.
Clasificarea filtrelor in functie de implementare
filtre in domeniul timp
folosite pentru modelarea formei semnalului: netezire, eliminare valoare constanta, formatare semnal
filtre in domeniul frecventa
folosite atunci cand informatia este continuta in distributia spectrala (amplitudine, frecventa si faza);
scopul este separarea benzilor de frecventa
filtre particulare/speciale
folosite atunci cand filtrele obisnuite (trece sus, jos, banda) nu ajuta
Filtru de mediere
filtru care actioneaza bine in domeniul timp
elimina zgomotele
are comportament bun la un impuls treapta
filtrul are efect negativ in domeniul frecventelor: nu filtreaza o banda de frecvente bine definita
filtre derivate (putin) mai bune in domeniul frecventelor: Gaussian, Blackman sau mediere multipla
Implementare: prin convolutie
unde M – numarul de puncte (termeni) din filtru
Filtrul poate fi si simetric in jurul punctului considerat (j=-M/2, J=+M/2)
Filtru de mediere
Caracteristicile filtrului:
are un efect foarte bun de filtrare a zgomotului alb, cu pastrarea in limite acceptabile a raspunsului la treapta unitara;
paradoxal mult mai bun decat alte filtre mai complexe
factorul de reducere a zgomotului: radacina patrata din numarul de puncte din filtru (ex: 100 puncte reduce zgomotul de 10 ori)
cu cat filtrul este mai mare (mai multe puncte) panta raspunsului la un semnal de tip impuls devine mai oblica
Raspunsul in frecventa al filtrului de mediere
Functia de transfer exprimata cu transformata Fourier:
Efectul aplicarii multiple a filtrului de mediere
Se aplica succesiv de mai multe ori un filtru de mediere de 7 puncte
Implementarea filtrului de mediere prin recurenta
exemplu de calculare a 2 iteratii ale unui filtru de 7 puncte
y [50] =x [47] + x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53]
y [51] = x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53] + x [54]
rezulta ca y [51] se poate calcula mai repede pe baza valorii anterior calculate y [50]
y [51] = y [50] + x [54] - x [47]
rezulta formula de recurenta in care fiecare nou esantion se calculeaza printr-o suma si o diferenta:
y [i ] = y [i -1] + x [i + p] - x [i - q]
unde: p=(M-1)/2 si q=p+1
formula arata ca iesirea curenta este egala cu iesirea anterioara plus o diferenta (panta) calculata simetric fata de punctul considerat
Filtru Windowed-sinc
pentru separarea benzilor de frecventa
foarte stabile si cu performante ridicate dar necesita timp mai mare de calcul
se cauta un filtru “perfect”:
amplificare 1 in banda de trecere
amplificare 0 in banda interzisa
cu trecere verticala la frecventa de taiere
filtrul ideal este de forma
sin(x)/x – functia sinc
Filtru Windowed-sinc
functia tinde asimptotic la 0
din considerente practice (de calcul in timp finit) se limiteaza filtrul printr-o fereastra (window):
dreptunghiulara
functie Hamming sau Blackman
Filtru Windowed-sinc
formula completa a filtrului cu fereastra Hamming:
unde M este dimensiunea ferestrei, iar K un factor de normalizare
M se determina cu relatia aproximativa:
M=4/(latimea benzii de tranzitie)
Calitatea filtrului in functie
de dimensiunea ferestrei
Filtru Windowed-sinc
filtrul nu are un comportament prea bun in domeniul timp, raspunsul la un impuls treapta genereaza “ripluri” la tranzitia intre stari;
este insa recomandat pentru lucrul in domeniul frecventelor, cand se stie ce frecvente trebuie eliminate
pentru a creste factorul de atenuare a benzii de blocare filtrul se poate aplica de 2 sau mai multe ori,
se obtine o atenuare dubla (in decibeli), de exemplu de la -74dB (cat are un filtru cu fereastra Blackman) la -148dB ceea ce inseamna un raport atenuare/amplificare de 1 la 30 milioane
pentru a obtine un filtru trece sus se scade din semnalul initial semnalul filtrat cu filtru trece jos avand aceeasi frecventa de taiere
un filtru trece banda este o combinatie intre filtru trece sus si filtru trece jos
un filtru de rejectie banda se obtine prin scaderea din semnalul initial a semnalului filtrat cu un filtru banda
Dezavantajul filtrului Windowed-sinc: necesita timp de calcul mare (numar mare de termeni de calculat)