Mantik -mantik
Yüklə 0,57 Mb.
|
|
MANTIK -MANTIK- Önerme = Doğru ya da yanlış , kesin hüküm bildiren ifadelerdir. p,q,r gibi ifadelerle gösterilir 1 Doğru,
Değil = bir önermede belirtilen olayın tersidir
V = veya
=ve = İse = ancak ve ancak anlamına gelir. Veya İşlemi (V) Bileşenlerinden en az birisi doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0). Tablo
Ve İşlemi () Bileşenlerinin her ikisi de doğru (1) iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır (0). Tablo
Veya ile Ve nin Özellikleri p,q,r önermeleri için: 1) pvp=p pp=p 2) pvq=qvp değişme özellliği pvq=qvp 3) (pvq)vr=pv(qvr) (pq)^r=p (qr) birleşme özelliği 4) pv(qr)=(pvq) (pvr) p (qcr)=(pq)v(pr) dağılma özelliği De morgan kuralı (pvq)'=p'q' aynı özellik diğer durumdada geçerlidir. Kurallar
2)p1=p 3)pv0=p 4)p0=0 5)pvp'=1 6)pp'=0 7)pv(pvq)=p İse İşlemi () Önermede P doğru q yanlış ise yanlış diğer durumlarda doğrudur. Tablo
Özellikler 1) p p=1 2) p 0=p' 3) p p'=p 4) 0 p=1 6) p 1=1 5) 1 p=p 7) p q=p'vq
p ile q aynı değerde iken doğru diğer durumlarda yanlıştır. Tablo
Özellikler 1)p q=q p değişme özelliği 2)p q=(pq) v (qp) Kurallar
2.p p'=0 3.p 1=p 4.p 0=p' Totoloji Bir önerme daima 1 çıkıyorsa totolojidir. Çelişki Bir önerme daima 0 çıkıyorsa çelişkidir. 1
2
Kesin bir tanımı yapılmamakla beraber,sezgisel olarak,kümeye iyi tanımlanmış biri birinden farklı nesneler topluluğudur diyebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelere kümenin elemanları adı verilir. Örneğin haftanın günleri topluluğu bir küme olup elemanları pazar, pazartesi, salı, çarşamba, perşembe,cuma ve cumartesidir. Kümeler A, B,C, ... gibi büyük harfler ile, elemanları ise a,b, c ... gibi küçük harflerle gösterilir. Bir a nesnesi bir A kümesinin elemanı ise yani A kümesinin içinde ise
Örneğin ”5 den küçük rakamların kümesi”; 1) Liste yöntemi ile : A = {0,1, 2,3, 4 } 2) Genelleme (ortak özellik) yöntemi ile : A = {x | x,5 den küçük rakam} 3) Venn Şeması ile: BÖLÜM 1 3
şeklinde gösterilir. Burada 2∈ A, 4∈ A fakat 8∉ A dır. Kümeyi oluşturan varlıkların sayısına kümenin eleman sayısı denir. A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. Eleman sayıları sonlu olan kümelere sonlu küme, eleman sayıları sonsuz olan kümelere sonsuz kümeler denir.
Bu küme,
H ={ Pazar,Pazartesi,Salı,Çarşamba,Perşembe,Cuma,Cumartesi } olup sonlu bir kümedir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Ø veya { } sembollerinden biriyle gösterilir. Örneğin boyu 4 metre olan insanların kümesi boş küme olup eleman sayısı 0 dır. Öyle ise s(Ø) = 0 dır. Tanım : A ve B iki küme olmak üzere A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi dir denir ve A ⊂ B ile gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi değilse A ⊄ B şeklinde gösterilir.
4
4) A ⊂ B ve B ⊂ C ise A ⊂ C 5) Bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı 2S (A) ile hesaplanır. Örnek : A = {a,b,c} kümesinin alt kümeleri ∅, A,{a},{b},{c},{a,b},{a, c},{b, c} , olup bunların sayısı s(A) = 3 olduğundan 2S (A) = 23 = 8 dir. Tanım : Bir kümenin kendisi dışındaki bütün alt kümelerine bu kümenin özalt kümeleri denir.O halde bir A kümesinin özalt kümelerinin sayısı 2s(A) −1 ile hesaplanır. Tanım : Bir A kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir. Örneğin, A = {x, y} kümesinin kuvvet kümesi, P(A) = {Ø , A,{x},{y}} şeklindedir. 1.1.2. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER Tanım : Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. Tanım : E evrensel küme, A evrensel kümenin alt kümesi olmak üzere E kümesinin A kümesinde olmayan elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A ile gösterilir 5
şeklinde ifade edilir. Eğer A∩B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. A∩B = Ø ( A ile B ayrık) Örnek: E = { x | x < 9, x rakam } ve A = {x | x < 9, x tek sayılar } ise Tanım : İki yada daha fazla kümenin bütün elemanlarından oluşan yeni kümeye birleşim kümesi,ortak elamanların oluşturduğu kümeye de kesişim kümesi denir. 6
Tanım : A ve B iki küme olsun. A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve A\ B = { x | x ∈ A ve x ∉ B } şeklinde ifade edilir.
(Değişme özelliği) B∩ A = A∩B 2) (A∪ B)∪C = A∪(B∪C) (Birleşme özelliği) (A∩ B)∩C = A∩(B∩C)
(Dağılma Özelliği) A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C) A\ B A∩ B B \ A 7
4) A∪ A = A (Tek kuvvet özelliği) A∩ A = A 5) A∪∅ = A A∩ ∅ = ∅ 6) A∪E = E A∩E = A 7) (A∪B) = A∩B (De Morgon Kuralları) (A∩B) = A∪B 8) s(A∪ B) = s(A) + s(B) − s(A∩ B) 9) s(A∪ B ∪C) = s(A) + s(B) + s(C) − s(A∩ B) − s(A∩C) − s(B ∩C) + s(A∩ B ∩C) 1.2. SAYILAR 1.2.1. SAYI KÜMELERİ ¥ ={0,1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına bir doğal sayı denir. ¢ ={-3,-2,-1,0,1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına bir tamsayı denir. Bunlardan ¢ + ={1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına pozitif tamsayı, ¢ − ={...,-3,-2,-1} kümesinin her bir elemanına negatif tamsayı denir. “Sıfır” sayısı bir tamsayı olup ne pozitif ne de negatiftir. Yani işareti yoktur. a | a,b ,b 0 b = ∈ ≠ ¤ ¢ kümesinin her bir elemanına bir rasyonel sayı denir. 5 2 , 1 4 − ,5,3,0,... birer rasyonel sayıdır. ¤ ′ = x| x a , a,b , b 0
≠ ∈ ≠ ¢ kümesinin her bir elemanına bir irrasyonel sayı denir. 2 , 3 , 3 10 ,e3 ,π ,.... sayıları birer irrasyonel sayıdır. 8
¡ = ¤ ∪¤ ′ kümesinin her bir elemanına bir reel (gerçel) sayı denir. Sayı doğrusu reel sayılar kümesini temsil eder. , 3 , 5 , ...... 17 ,-1 ,-110 7 0 ,8 , 4 3 sayıları birer reel sayıdır. Tanım : Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar,sıfırdan küçük sayılara da negatif sayılar denir. Bir a ∈ ¡ sayısı için i) a >0 ii) a <0 iii) a =0 durumlarından yalnızca biri mevcuttur
en küçük elemanı 2 olup 2 den başka çift asal sayı yoktur. 1.2.2. REEL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ a ve b birer reel sayı olmak üzere ; 1) a >0 ve b >0 ise a +b >0; a ⋅b >0; a b >0 dır.
2) a <0 ve b <0 ise a +b <0, a⋅b >0, a b >0 dır.
3) a >0 ve b <0 ise a ⋅b <0, a b <0 dır. 4) a >0 ve n∈ ¢ ise an > 0 dır. 5) a <0 ve n tek doğal sayı ise an < 0 dır. 9
6) a <0 ve n çift doğal sayı ise an > 0 dır. Örnek : x² y³ < 0, x³ y > 0 ve x ⋅ y ⋅ z > 0 ise x, y, z nin işaretleri nedir? Çözüm : x² y³ < 0 ise,her x∈¡ için x² > 0 olduğundan y³ < 0 ise y < 0 dır. x³ y > 0 ise y < 0 olduğundan x³ < 0 ise x < 0 dır. x ⋅ y ⋅ z > 0 ise x < 0 , y < 0 ise x ⋅ y < 0 olduğundan z > 0 dır. O halde x < 0 , y < 0 , z > 0 dır. Tanım : a,b ∈ ¢ ve b ≠0 olmak üzere a b ifadesine rasyonel (kesirli) ifade denir. a b kesrinde a ya kesrin payı , b ye de kesrin paydası denir. a b kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır yada bölünürse kesrin değeri değişmez.
⋅ ⋅
= ⋅ m m 2) b d a c d c b a ⋅ ⋅ ⋅ = 3) c d b a d c b a ÷ = ⋅ 10
ARİTMETİKSEL İŞLEMLERDE İŞLEM ÖNCELİĞİ 1) İşleme,parantezler ve kesir çizgileri yön verir. 2) Varsa üslü işlemler yapılır. 3) Çarpma ve Bölme (önce olan) 4) Toplama ve Çıkarma Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapınız. 1) ? 5 4 5 7 5 2 + − = Çözüm : 1 5 5 5 9 4
5 2 7 4
5 4 5 7 5 2 = = − = + − + − = 2) 2 2 : 1 1 ? 3 2 4
+ − =
Çözüm : 2 2 : 1 1 6 2 : 2 1 8 : 1 8 4 32 1 3 2 4 3 3 4 4 3 4 3 1 3 (3) (1) (2) (1) + − = + − = = ⋅ = 3) ? 3 2 2 3 12 : 5 6 1 6 5 5 3 1 ⋅ − ⋅ − = Çözüm : (5) (3) (5) 16 5 1 12 3 2 8 3 2 40 9 10 7 5 6 6 5 2 3 3 5 3 15 5 − − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − − = =
4) 2 6 1 1 : 3 1 ? 2 2 2
− ⋅ + − =
Çözüm: (6) (2) (3) 2 6 1 1 2 1 2 6 1 1 1 2 6 6 2 3 2 6 5 2 5 3 2 3 2 1 3 2 6 6 + − − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ + − = − ⋅ = − ⋅ = − = −
11 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva 5) ? 2 1 1 1 4 3 2 17 = + +
17 17 2 2
3 1 3 2 4 3 4 3
2 = =
+ + 17 2 17 12 6 9 8 2 17 12 = ⋅ =
+ Tanım : Paydası 10’nun pozitif tam kuvveti olan kesirlere ondalıklı sayı denir. 2 3
1 0,1; 413 4,13; 43 0,043 10 10 10
= = − = − sayıları birer ondalıklı sayıdır. Eğer bir kesir ondalıklı yazıldığında ondalıklı kısımdaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir. 7 2,333.... 2,3; 2203 2, 2252525.... 2, 225 3 990 = = = = Sayıları birer devirli ondalıklı sayıdır. Her devirli ondalıklı sayı rasyonel olarak yazılabilir. Örnek : 0,215 devirli ondalıklı sayıyı rasyonel şekilde yazalım Çözüm: x = 0,215 = 0,2151515....olsun Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafını önce 1000 sonra 10 ile çarpıp taraf tarafa çıkaralım. 1000 x = 215,151515... - 10 x = 2,151515... 990 213 213 71 990 330
x = ⇒ x = = olur. 12
1.3. ÜSLÜ İFADELER Tanım : a ∈ ¡ ve n ∈ ¢ + olmak üzere n tane a nın çarpımı olan an ifadesine üslü ifade denir. an ifadesinde a ya taban , n ye de üs (kuvvet) denir. tane
52 = 5⋅5 = 25 4³ = 4⋅ 4⋅ 4 = 64 (−3)4 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−__________3) = 81 (−2)5 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −32 3 1 1 11 1 2 2 2 2 8 = ⋅ ⋅ =
34 ≠ 4⋅3
2) a ≠ 0 olmak üzere a0 =1 3) 00 belirsiz. 4) 1n= 1 dir. 5) (am )n = am⋅n dir. ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 162 = 24 = 28 = 224 13
− =
, tek ise , çift ise
=
= m
9) an = 1⇔ 1, 0, 0 1 ve a n n a a n = ∈
= ≠ = − ¡ çift ise
Örnek : 2 1 5 1 ? 5 2 − − + = Çözüm : (5)
5 13 10 26 10 25 1 10 1 2 5 2 5 1 2 5 = = + + = + =
10) a) x > 0⇒ xn > 0 b) x < 0 ⇒ n 0, tek
0, çift xn n x n <
>
Örnek : 0 3 2
1 4 3 4 ( 2) 2 ? 2− ( 1) ( 1)− + − −
= + − + −
14 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm: 0 3 2
1 4 3 4 ( 2) 2 1 8 4 11 1 1 22 2 ( 1) ( 1) 1 1 2 2 − −
+ − − − − − = = =−
+ − + − + − UYARI: n çift, a∈¡ + olmak üzere (−a)n ≠ −an dir. −24= −(2⋅ 2⋅ 2⋅ 2) = −16 (−2)4=( − 2) ⋅ ( − 2) ⋅ ( − 2) ⋅ ( − 2)=16
Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadeler toplanıp çıkarılabilir. a ⋅ xn + b ⋅ xn − c ⋅ xn = xn ⋅ (a + b − c) Örnek: 2⋅32 + 3⋅32 − 4⋅32 = 32 ⋅ (2 + 3− 4) =1⋅32 = 32 = 9 12) Çarpma: a) Tabanları eşit olan üslü ifadeler çarpılırken ;üsler toplanır,ortak taban aynen yazılır. a ≠ 0 olmak üzere ; am ⋅ an = am+n b) Üsleri eşit olan üslü ifadeler çarpılırken;tabanlar çarpılır,ortak üs aynen yazılır. a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere ; am ⋅bm = (a ⋅b)m Örnek : 5 3 ?
3 5 x x y y x y y x − − ⋅ =
15 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva Çözüm:Üsler aynı olduğu için 5 3 1 1 3 5
x y x y x y y x − − ⋅ = =
Örnek: (−a)9 ⋅ (−a4 ) ⋅ (−a)-2 işleminin sonucu nedir? Çözüm: (−a)9 = −a9 (−a4 ) = −a4 (−a)−2 = a−2 olduğu için (−a)9 ⋅ (−a4 ) ⋅ (−a)-2 = a11
yazılır.
a ≠ 0 olmak üzere m m n mn n a a a a a = ⋅ − = − b) Üsleri eşit olan üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünür, ortak üst aynen yazılır. b ≠ 0 olmak üzere m m m a a b b =
23a+4=22a-10 ⇔3a + 4 = 2a −10 3a − 2a = −10 − 4
16
Örnek : (0,2)-2 ⋅5n-3 =125 ise n hangi sayıdır ? Çözüm: (0, 2)−2 ⋅5n−3 = 125 -2 1 5 -3 53 5 n = ( ) 5−1 −2 ⋅5n−3 = 53 52 ⋅5n−3 = 53 52+(n−3) = 53 2 + (n −3) = 3
1 2 x + x = (−2) + (−4) = −6 bulunur. Örnek : ( 2)2 2 8 1 x − x − = ifadesini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm: 2 2 2 8 2 2 8 0 ve 2 0...................1) ( 2) 1 2 1 ....................................2) 2 1 ve 2 8 çift...............3) x x x x x x x − − = − ≠ − = ⇒ − = − = − − 17 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1) durum: 2x2 −8 = 0 ve x − 2 ≠ 0 ise 2x2 = 8⇒ x2 = 4 ⇒ x = −2 veya x = 2 x − 2 ≠ 0 ise x ≠ 2 olacağından 1 x = −2 2) durum: x − 2 =1⇒ 2 x = 3 3) durum: x − 2 = −1 ve 2x2 − 8 çift ise x =1 ve 2x2 − 8 çifttir. Buradan 3 x =1 1 2 3 x + x + x = −2 + 3+1= 2 1.4. KÖKLÜ İFADELER Tanım : n ,1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere, xn = a ifadesini sağlayan x sayısına a nın n.dereceden kökü denir ve x = n a şeklinde gösterilir. 2 a = a ; karekök a , 3 a ; küp kök a 4 a ; dördüncü dereceden kök a şeklinde okunur.
UYARI: n çift sayı ve a <0 ise n a ifadesi bir reel sayı belirtmez. 2, 3 5, 3 −5 sayıları reeldir. Ancak −5, 6 −2, 4 −16 sayıları reel değildir. Reel sayılarda tanımlı olan her köklü ifadeyi rasyonel üst şeklinde yazabiliriz. n m an = am olup; n tek ise n an = a m çift ise m am = ; 0
; 0 a a a a ≥
− <
18 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva Örnek : 36 + 3 27 + (-4)2 + 5 -32 = ? Çözüm: 3 5
62 + 3 33 + (-4)2 + 5 (-2)5 = 6 + 33 + 4 + (-2)5 =6+3+4-2=11 bulunur. 1.4.1. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ 1) t > 0 olmak üzere t ⋅ n a = n tn ⋅a 2) n tek doğal sayı ve t ∈ ¡ için t ⋅ n a = n tn ⋅a dır. Örnek: 5 2 = 52 ⋅2 = 50 33 3 = 3 33 ⋅3 = 3 34 = 3 81 98 = 72 ⋅ 2 = 7 2 5 64 = 5 25 ⋅2 = 2⋅ 5 2
= 19 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva b) Kök dereceleri eşit olmayan köklü ifadelerde ise kök derecelerinin en küçük ortak katları alınıp kök dereceleri eşitlenir ve işlemler yapılır. Örnek : 1) 3 ⋅ 6 ⋅ 50 = 3⋅6⋅50 = 900 = 30 2) 3 12 ⋅ 3 18 = 3 12⋅18 = 3 22 ⋅3⋅32 ⋅2 = 3 23 ⋅33 = 2⋅3 = 6 3) 150 150 25 5 6 6
= = = 4) 5 ⋅ 3 2 = 2⋅3 53⋅1 ⋅ 3⋅2 22⋅1 = 6 53 ⋅ 6 22 = 6 125.4 = 6 500 (Burada 2 ile 3 ün en küçük ortak katı 6 dır) 5) b ≠ 0, c ≠ 0 üzere a) a a b a b b b b b = =
⋅ b) a a( b c) b c b c = ± − m Örnek : ( 10)
0,9 9 9 3 3 10 10 10 10 10 = = = =
( 5 2)
1 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 ( 5 2) ( 5 2) 5 4 1 + + + +
= = = = + − − ⋅ + − 1.5. ORAN VE ORANTI Tanım : a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere a b ’ye a ’nın b ’ye oranı denir. 20
Oranlanan çoklukların birimleri aynı olup oranın birimi yoktur. 2cm ‘nin 5cm ‘ye oranı 5 2
2 = cm cm dir.
2cm ‘nin 5kg ‘a oranı söz konusu değildir. Örnek : Bir sınıftaki öğrencilerin %30 ‘u İngilizce diğerleri ise Almanca bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısının Almanca bilenlerin sayısına oranı kaçtır? Çözüm : İngilizce bilenlerin sayısı %30 ise, Almanca bilenlerin sayısı %70 olur. O halde İngilizce bilenlerin sayısının Almanca bilenlerin sayısına oranı 30 3 70 7 = dir.
Tanım : a ve c b d gibi iki oranın eşitliğini ifade eden önermeye, yani a c b d = eşitliğine orantı denir. 1.5.1. ORANTININ ÖZELLİKLERİ a c ise b d =
2) a b c d =
b a =
b d a c =
2 2 2
a c k ve k 0 ise a c k b d b d = = ≠ = = 6) a c k ve m 0, n 0 ise ma nc k dır. b d mb nd + = = ≠ ≠ = + 21
Örnek : 5 3
b + = olduğuna göre, a b a − ‘nın değeri kaçtır? Çözüm 3 5 3 = 5 ⇒ + = +
1 3 5 3 +1 = 5 ⇒ = − b a b a 2 3 3 = 2 ⇒ =
a b b a Buna göre 2 1
= − = 1− 3 = − −
b a a a a b dir. Örnek : 5 3 2
a = b = c ve a − 2b + c = 20 olduğuna göre a kaçtır? Çözüm : a = b = c = k 5 3 2
olsun. Buna göre a = 5k , b = 3k , c = 2k olur. a − 2b + c = 20 eşitliğinde, a,b ve c ’nin k cinsinden değeri yazılırsa; 5k − 2⋅3k + 2k = 20 ⇒ k = 20 ⇒ a = 5k = 5⋅ 20 =100 olur. Tanım : 1 2 3 , , , ... , n x x x x ∈ ¡ olmak üzere n tane sayının ; Aritmetik ortalaması x1 x2 xn n + +…+
Geometrik ortalaması 1 2 n x ⋅ x …xn dır. Örnek : 16 kız, 34 erkek öğrencinin katıldığı bir sınavda kız öğrencilerin puanlarının ortalaması 50 , erkek öğrencilerin puanlarının ortalaması 40 olduğuna göre,tüm öğrencilerin puanlarının ortalaması kaçtır? 22
Çözüm : 16 kızın puan ortalaması 50 ise puanların toplamı 50⋅16 = 800 34 erkeğin puan ortalaması 40 ise puanların toplamı 40⋅34 = 1360 Tüm öğrencilerin puan ortalaması, puanlarının toplamının öğrenci sayısının bölümüne eşit olduğundan : Tüm öğrencilerin puanlarının ortalaması 800 1360 2160 43, 2 16 34 50
+ = =
+ bulunur.
Örnek : a ile b nin aritmetik ortalaması 5 dir. a ile geometrik ortalaması 2 3 , b ile geometrik ortalaması 4 3 olan sayı kaçtır? Çözüm : istenen sayı x olsun. Verilenlere göre ; 5 , 2 3 , 4 3 dir. 2
= ⋅ = ⋅ = a + b =10 , ax =12 , bx = 48 olduğundan, ax + bx = 60 x(a + b) = 60 x ⋅10 = 60 x = 6 dır. Tanım : İki çokluktan biri artarken(azalırken), diğeri de aynı oranda artar(azalır) ise bu iki çokluk doğru orantılıdır yada orantılıdır denir. k bir sabit ve x ile y aralarında orantılı ise y = kx ‘e doğru orantı bağıntısı denir. Bu bağıntının grafiği ; y=kx y
k 2k 3k (k > 0 için) 23
x, y, z sayıları sırasıyla a ,b,c sayıları ile orantılı ve x y z k a b c = = = orantı sabiti bağıntısı vardır.
artar 50 km. yol 1 saatte gidilirse artar 400 km. yol x saatte gidilir.
olarak karıştırılarak 39 kğlik bir hamur yapılıyor. Bu hamurda kaç kg yağ kullanılmıştır?
8 2 3
u = y = ş = k u + y + ş = 8 8 2 3 39 3 2 ş 3
u k k k k k y k k = + + = ⇒ = = =
24 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva Tanım : İki çokluktan biri artarken(azalırken) diğeri aynı oranda azalıyor(artıyor) ise bu iki çokluk ters orantılıdır denir. k sabit ve x ile y aralarında ters orantılı ise x y = k bağıntısına ters orantı bağıntısı denir. Bu bağıntının grafiği ; y x y= kx k 2 1 k2 1 k (k>0 için) x, y, z sayıları sırasıyla a, b, c sayıları ile ters orantılı ve k orantı sabiti olmak üzere ax = by = cz = k dır. Örnek : Kapasiteleri eşit olan 11 işçi bir işi 24 günde yapabiliyor. Buna göre aynı işi 6 işçi kaç günde yapar? Çözüm : 11 işçinin 24 günde yapacağı işi 6 işçi daha fazla günde yapar. Yani işçi sayısı ile işin yapılma süresi arasında ters orantı vardır. 11 işçi 24 günde yapıyor azalma 6 işçi x günde yapar artma Ters Orantı ; 11⋅24 = 6⋅ x ⇒ x = 44 günde yapar.
olarak paylaşıyorlar. Alinin payına düşen bilye sayısı kaçtır? 25
6 8 9 , , 6 8 9
58 144
6 8 9 k + k + k = ⇒k = Buradan Ali’ye düşen bilye sayısı ; 144 24 6 6
⋅ = ifadesine bileşik orantı bağıntısı denir. Örnek : x,6 ile ters orantılı ve y,8 ile doğru orantılıdır. x + y = 98 ise y − x kaçtır? Çözüm : 6 , 8 8 6
x = y = k ⇒ x = k y = k ⇒ x + y = 98 ise 8 98 6
⇒ 49k = 588 ⇒ k =12 ⇒ 2 6
Örnek : 12 işçi 8m2 halıyı 24 günde dokuyor. Buna göre, 9 işçi 3m2 halıyı kaç günde dokur?
Çözüm : 12 işçi 8m2 halıyı 24 günde yaparsa (-) (-) (+) (-) 9 işçi 3m2 halıyı x günde yapar Ters Orantı-Doğru Orantı 9⋅8⋅ x = 3⋅12⋅ 24
26
1.6. ARALIK KAVRAMI Sayı doğrusu üzerindeki sayıları üç farklı aralık olarak ifade ederiz. 1) Kapalı Aralık : a ≤ x ≤ b , x∈[a,b] 2) Açık Aralık : a < x < b , x∈(a,b) 3) Yarı Açık Aralık : a < x ≤ b , x∈(a,b] Örnek : Küme Olarak { x | x∈¡ , −1≤ x ≤ 3 } Aralık Olarak x∈[−1,3] Küme Olarak { x | x∈¡ ,−4 ≤ x < 3 } Aralık Olarak x∈[−4,3) NOT : ¡ = (−∞,+∞) aralığı her zaman açık aralıktır. Bir a sayısı ile ±∞ arasındaki aralık aşağıdaki şekilde ifade edilir. (a , ∞) = { x | x∈¡ , x > a } (−∞ , a] = { x | x∈¡ , x ≤ a } [−4 ,+∞) = { x | x∈¡ , x ≥ −4 } −∞ −4 0 +∞
aralıkta olmalıdır ? a b a b
a b −∞ −1 3 +∞ −∞ −4 3 +∞ 27
Çözüm: Bu toplamın reel sayı belirtmesi için terimlerin üçünün de ayrı ayrı reel sayı belirtmesi gerekir. Buna göre x − 2 reel ise x − 2 ≥ 0 => x ≥ 2 ......................1) 4 5 − x reel ise 5 − x ≥ 0=> 5 ≥ x => x ≥ 5 ......2) 3 x − 8 reel ise x∈¡ ....................................3) (1),(2) ve (3) den 2≤ x ≤ 5 veya x∈[2,5] olur. 1.7. MUTLAK DEĞER Tanım : Sayı doğrusu üzerindeki bir x sayısının sıfıra olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. Ve | x | ile gösterilir. + x ; x > 0 | x |= 0 ; x = 0 şeklinde tanımlanır. −x ; x < 0 Örnek : | 3 | = 3 | − 5 | = − ( − 5) = 5 | 0 | = 0 5 = 5 1− 3 = −(1− 3) = 3 −1 28 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1.7.1. MUTLAK DEGERE AİT ÖZELLİKLER 1) a > 0 olmak üzere a) | x |= a ⇒ x = a veya x = −a b) | x |< a ⇒ −a < x < a c) | x |> a ⇒ x > a veya x < −a 2) | x | ⋅ | y |=| x ⋅ y| 3) , y 0 x x y y = ≠
4) | xn |=| x |n , n∈¥ 5) | −x |=| x| Örnek : 1) | x |= 4 ⇒ x = 4 veya x = −4 2) | x |< 4 ⇒ −4 < x < 4 3) | x |> 4 ⇒ x > 4 veya x < −4 4) | −8 | ⋅ | −3|=| (−8) ⋅ (−3) |=| 24 |= 24 5) 8 8 4 4
2 2 = = =
6) | ( − 2)3 | = | − 2 |3 = 23 = 8 7) | − 10 | = | 10 | = 10 Örnek : | 2 x +1 | = 5 eşitliğini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm : 2 x +1 = 5 ve 2 x +1 = -5 2 x = 4 2 x = -6 x 1= 2 x 2= -3 ⇒ x 1⋅ x 2 = 2⋅(-3) = -6 29
BÖLÜM ALIŞTIRMALARI 1) A = {x | x < 45, x pozitif ve 3’ün katı} kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır? A = {1,3} , B = {2,3, 4} kümeleri için A ⊂ D ve B ⊂ D olacak şekilde dört 2) elemanlı D kümesini bulunuz. 3) E = {x |1< x ≤ 20 , x tamsayı} A = {2,3, 4,7}, B = {9,12,16, 20}, C = {2,3,5,7,9} kümeleri için aşağıdakileri bulunuz: a) (A∩ B)∪C b) (A∩C)∩B c) A \ (B∪C) d) (A∩B) 4) 16 kişilik bir sınıfta Fransızca bilenlerin kümesi F ,Almanca bilenlerin kümesi A dır. s(F) = 8 , s(A) = 9 , s(A∩F) =14 olduğuna göre bu sınıfta sadece Almanca bilen kaç kişi vardır?
sayıları sırası ile 15,31,0 dır. A∪B kümesinin eleman sayısı kaçtır? 6) K, L,M ayrık olmayan kümeler olsun .Aşağıda belirtilen bölgeleri Venn şemasında gösteriniz. a) (K ∪ L) \M b) (K \ L)∪(M \ L) c) (L∩M) \ K d) (K ∪ L)∩M 30
7) Aşağıda taralı bölgeleri küme işlemleri ile ifade ediniz 8)Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz: a) 2 2
3 1 2 3
1 : 1 2 2 ?
( 2 ) − −
− − − = −
c) 3 0,27⋅ 3 0,27⋅ 3 0,27K = ? d) ? (0,121)
: (0,24) (12,1)
(2,4) 6 4 6 4 = − − − − e) 3 0,162 − 23 0,048 + 3 0,384 = ? f) 1 4 5? 7 3 7 2 7 1 + − = − − −
9) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz: a) 2 1
105 10 2 100,1 ? − ⋅ ⋅ = b) 1 5 1
43 23 8 9 ? − ⋅ ⋅ = c) 3⋅90,4 ⋅ 5 3 = ? d) 1 1
8 3 163 3 4 ? − ⋅ ⋅ = 31
e) 21,3 ⋅ 2−0,7 ⋅ 21,4 = ? f) 4 1 3
7 3 712 7 4 ? − − ⋅ ⋅ = g) 40,7 ⋅ 2−0,4 = ? h) 250,3 ⋅51,4 = ? i) 1 2 64 3 ? − ⋅ = j) 4 9 ⋅3−1,5 = ? k) 3 64 27 ? 125
⋅ =
a) 20 Kız ve 8 Erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta matematik sınav sonucu kız öğrencilerin ortalaması 6,8 ve erkek öğrencilerin ortalaması 7,5 ise sınıf ortalaması kaçtır?
günde 8er saat çalışarak kaç günde bitirir? c) x, y, z maddelerini, sırasıyla 0,2 ; 0,8 ve 0,6 sayıları ile orantılı olacak şekilde karıştırarak 112 kg.lık bir karışım yapılıyor. Bu karışımda z maddesi kaç gramdır?
paylaştırılırsa en az olan kaç lira alır? e) Bir işyerinde çalışan işçi sayısı 6 katına, günlük çalışma süresi 2 katına ve iş miktarı 18 katına çıkarılırsa işi tamamlama süresi kaç katına çıkar? 32
75 5 2
+ ⋅ − = − c) ( 225 3 121) : 2 0,09 0,78 100 ? 3 + + = d) 6 1 324 0,16 : 25 ? 4 2 0,2
− + ⋅ =
2,5
x x − = b) 3 6,5 2 1,5
x x − = − c) 4,8 5 1,2
x x = + d) 4 5 1, 2 3
x x − = + 33
BÖLÜM TESTİ 1) Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir kümeyi tam olarak belirlemez? A) {x | x birer doğal sayı B) {Salı, Cuma, Pazar} C) 12 , 32 , 43 , 54 , 76 , 87
D) { x | x Türkiye’nin şu andaki bir il merkezi} E) { x | x uzun boylu bir insan}
A) {K, A,R} B) {A, A,R,R} C) {K,R} D) {A, A,K,R,R} E) {A, A,K} 3) A = {x | x "ARKADAŞ " sözcüğündeki harflerden biri} kümesi veriliyor.Bu kümenin eleman sayısı s(A) nedir? A) 3 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7
A) {1, 5} B) {3, 9} C) {0, 1, 3, 5} D) {1, 3, 5, 7} E) ∅ 34
5) Aşağıdaki kümelerden hangisi {S, I,N, A,V} kümesinin bir alt kümesi değildir? A) ∅ B) {V, I, A} C) {S, A,V} D) {A,N,V,R} E) {S, I,N, A,} 6) { − 2, 0, 2} kümesi aşağıdakilerden hangisinin altkümesi değildir? A) { − 2, − 1, 0, 1, 2} B) { − 3, − 2, 0, 2} C) {0, 1, 2, 3} D) { − 4, -2, 0, 2} E) { − 2, 0, 2} 7) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} ve B = {2,4,6,8} olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A∩B = B B) A∪B = A C) A B ={1, 3, 5, 7, 9} D) B A= ∅ E) (A∪B) (A∩B) = {1, 4, 8} 35
8) {0, 1, 2, 3}, A = B = {0, 3} ve C = {0, 2, 4} olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A∪B = {0, 1, 2, 3} B) A∩C = {0, 2} C) C A ={4} D) A∩(B∩C) = {0, 1} E) (A∪B) C ={1, 3}
hangisi yanlıştır? A) K ∩M = {5} B) K L = {10, 15} C) K ∩L∩M =∅ D) K L = K E) M ⊂ K
doğrudur? A) M ∩ K ≠ ∅ B) M ⊂ K C) M K =∅ D) K M ={2, 4, 6, 8} E) M ∪K = {2, 3, 4, 5, 6} 36
11) {1, 2, 3, 4, 5}, {A = B = 4, 5, 6, 7} ve C = {6, 7, 8} olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B = {4, 5, 6} B) B∩ A = {4, 5} C) A∩C = {6} D) B∩C = ∅ E) B C ={4}
) )
) ) )
C A B A D B C C E A B C ⊂ ⊂
∩ = ∪ = ∪ =
13) Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır? A) B) 3 C) 2 D) 2 E) 2 3 3 π
A) 25 B) 7 C) 2 D) 0 E) 34 15) [− 3, 0] aşağıdaki kümelerden hangisi ile ifade edilir? ) { , 3 0} ) { 3, 0} ) { 3, 2, 1, 0} ) { , 3 0} ) { , 0 5} A xx x B C D xx x E xx x ∈ − ≤ ≤
− − − −
∈ − < < ∈ < ≤
¡ ¡ ¡ 37 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva 16) Aşağıdakilerden hangisi (0, 5] yarı açık aralığını gösterir? ) { , 5}
) { , 0 5} ) { , 5}
) { , 0 5} ) { , 0 5} A xx x B xx x C xx x D xx x E xx x ∈ ≤
∈ ≤ ≤ ∈ >
∈ < < ∈ < ≤
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
A) (2, 5) B) [2, 5) C) (2, 5] D) [2, 5] E) [−2, 2]
A) (−4, 1] B) (−4, 1) C) [−4, 1) D) [−4, 1] E) [1, 4] 19) ¡ \{1} kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) ( , 1) B) ( 1,1) C) ( ,1) D) ( ,1) (1, )
−∞ − −
−∞ −∞ ∪ ∞ −∞ ∞
20) x −1 ≤ 3 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A) [−2, 4] B) [−3, 3] C) [1, 3] D) [−1, 3] E) [0, 3]
A) [ 3, 1] B) [ 1, 3] C) [ 1, 0] D) (0, ) E) ( , ) − − − −
+ ∞ −∞ + ∞ 38
22) x − 5 < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ) 1 5 ) 5 4 ) 4 5 ) 1 1 ) 1 9
A x B x C x D x E x − < < − < < − < < − < <
A) −20 < x < 3 B) −3 < x < 6 C) 6 < x < 10 D) 20 < x < 25 E) −10 < x < 6
A) [0, 1] B) ( , 0] [2, ) C) ( , 1] (2, ) D) (0, 2) E) ( , 1] [2, ) − ∞ ∪ + ∞ − ∞ ∪ + ∞ − ∞ ∪ + ∞
A) [ 3, 3] B) ( , ) C) 1, 1 D) 1, 1 5 5
E) ( 5, 1) − −∞ ∞
− − − −
26) 2x + 5 ≤ 7 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A) [5, 7] B) [−6, 1] C) [2, 5] D) [2, 7] E) [−1, 6] 27) 2x + 5 = 9 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 3 B) −5 C) −3 D) −4 E) 1 Yüklə 0,57 Mb. Dostları ilə paylaş:
|