Microscopia optică În câmp apropiat

MICROSCOPIA OPTICĂ ÎN CÂMP APROPIAT

1. Introducere în microscopia optică în câmp apropiat

În acest studiu vom prezenta o serie de noţiuni introductive legate de Microscopia cu Baleiaj în Câmp Apropiat (SNOM - Scanning Near-field Optical Microscopy) – un tip de microscopie optică aflată la intersecţia a două mari clase de microscopie – Microscopia cu Baleiaj Laser şi Microscopia cu Sondă de Baleiaj. Vom prezenta noţiuni teoretice legate de zona de câmp apropiat a undei electromagnetice, undele evanescente şi modul în care radiaţia din câmpul apropiat este folosită în scopul depăşirii „barierei de difracţie” cu care se confruntă microscopia clasică şi care limitează rezoluţia optică. Ne vom concentra în mod special asupra nivelului actual al Microscopiei în Câmp Apropiat de tip „fără apertură”, sau „cu împrăştiere”, precum şi asupra metodelor existente de extragere a semnalului util pentru obţinerea imaginii, şi de eliminare a zgomotului de fond.

1.1. Câmpul apropiat¹

Detaliile care se pot distinge în mod individual folosind un microscop convenţional sunt limitate de natura ondulatorie a luminii [1]. Această problemă poate fi exprimată în modul cel mai simplu prin încercarea de a distinge lumina provenită de la două surse punctiforme separate printr-o distanţă d foarte mică, aşa cum se poate observa în Fig.1.1. Cele două surse de lumină sunt similare cu două fante separate prin distanţa d dintr-un paravan pe care este incidentă o undă plană. Dincolo de paravan, fiecare fantă va radia câte o undă sferică de lumină.

Fig. 1.1
Conform principiului lui Huygens, dacă distanţa d este mai mică decât lungimea de undă a luminii incidente, privite din faţă aceste două unde nu se pot distinge una de cealaltă, iar cele două fante apar ca un singur punct luminos. Pentru un unghi α mare însă, cele două unde sunt suficient de defazate pentru a putea fi observate în mod distinct. Astfel, conform consideraţiilor din teoria interferenţei undelor, valoarea aproximativă a distanţei minime dintre cele două obiecte, astfel încât acestea să poată fi observate distinct, este:
(1.1)
unde λ reprezintă lungimea de undă a radiaţiei, iar n este indicele de refracţie al mediului.

Din ecuaţia (1.1) putem deduce că distanţa minimă necesară dintre două puncte luminoase astfel încât acestea să poată fi observate distinct este aproximativ egală cu lungimea de undă a radiaţiei luminoase.

Situaţia descrisă mai sus nu are loc însă atunci când ne referim la câmpul electromagnetic situat foarte aproape de cele două puncte luminoase. Pe o distanţă mai mică de o lungime de undă, câmpul electromagnetic este dominat de componente care se atenuează rapid odată cu creşterea distanţei şi nu au niciun efect asupra microscoapelor clasice. Detecţia acestor unde face posibilă investigaţia optică a detaliilor cu dimensiuni mai mici decât lungimea de undă a luminii, deoarece undele din câmpul apropiat nu se supun restricţiei dată de ecuaţia (1.1). Întrucât acest tip de unde se află întotdeauna într-o zonă foarte apropiată de punctul luminos (< λ), ele au căpătat denumirea de unde situate în câmpul apropiat.

1.2. Unda evanescentă

Undele evanescente sunt unde care apar în imediata vecinătate a interfeţei dintre două medii cu indici de refracţie diferiţi, şi se caracterizează prin faptul că nu se propagă în spaţiu, ci amplitudinea lor se atenuează exponenţial cu distanţa, tinzând spre zero pentru distanţe mai mari de o lungime de undă [2].
Fie ecuaţia undei [2, 3], dată mai jos:
(1.2)
Ştim că o soluţie la această ecuaţie este , care reprezintă componenta electrică a câmpului electromagnetic ce se propagă în spaţiu cu viteza v, are amplitudinea E_o şi oscilează atât în spaţiu, cât şi în timp cu frecvenţa unghiulară ω [3]. Parametrul k reprezintă vectorul de undă, având mărimea ; direcţia şi sensul acestui vector dau direcţia şi sensul de propagare a energiei electromagnetice.
Impunând k să fie un număr complex, , unde β aparţine mulţimii numerelor reale, va rezulta:

(1.3)
Observăm că acest tip de undă nu mai oscilează ca funcţie de poziţie (şi nu se propagă în spaţiu), ci se atenuează exponenţial cu distanţa. Va oscila însă ca funcţie de timp.

Datorită localizării lor numai în imediata vecinătate a interfeţelor dintre diferite medii prin care se propagă lumina, spunem că undele evanescente sunt situate în câmpul apropiat.

1.3. SNOM cu apertură

Ideea de bază a microscopului cu baleiaj în câmp apropiat (SNOM) cu apertură este aceea de a folosi capătul unei fibre optice (riguros prelucrată astfel încât diametrul miezului să ajungă la aproximativ 100 nm, iar învelişul fibrei să fie acoperit cu un strat metalic) cu rol de sondă de investigaţie [4, 5, 6]. Prelucrarea mecanică a capătului fibrei optice pentru a ajunge la un diametru atât de redus se realizează fie prin corodare chimică în mediu umed, fie prin încălzire. Totodată, stratul metalic ce se depune peste învelişul fibrei are rol de protecţie împotriva pierderilor optice. Capătul acestei fibre este adus în proximitatea suprafeţei unui material de investigat (în zona de câmp apropiat, deci la o distanţă mai mică decât lungimea de undă), în timp ce radiaţia optică este trimisă prin fibră şi prin apertura fibrei către material (aşa cum se întâmplă în configuraţia cea mai întâlnită). În Fig. 1.2. este schematizată² o astfel de sondă de investigaţie pentru SNOM cu apertură [4].

Fig. 1.2. Schema unei sonde cu apertură pentru SNOM. Ghidul de undă este ascuţit şi acoperit cu un strat metalic. Cea mai mare parte a câmpului incident este reflectat înapoi, iar de la diametre mai mici de λ/2 câmpul începe să fie absorbit de stratul de metal
Există mai multe moduri de operare cu acest tip de microscop, cele mai importante fiind schiţate mai jos, în Fig. 1.3, şi anume:

1) iluminarea probei prin apertura sondei SNOM şi colectarea radiaţiei transmise prin probă (Fig. 1.3a);

2) colectarea radiaţiei reflectate înapoi prin apertură (Fig. 1.3b);

3) iluminarea probei prin apertura sondei SNOM şi colectarea radiaţiei reflectate printr-un obiectiv extern, la incidenţă oblică (Fig. 1.3c);

4) iluminarea probei la incidenţă oblică printr-un obiectiv extern şi colectarea radiaţiei reflectate prin apertura sondei SNOM (Fig. 1.3d);

5) iluminarea probei folosind un microscop inversat şi colectarea radiaţiei transmise prin probă şi prin apertura sondei SNOM (Fig. 1.3e).

Fig. 1.3. Modurile de funcţionare a microscopului SNOM cu apertură
Rezoluţia unui astfel de microscop SNOM este dată de diametrul aperturii sondei de investigaţie. O astfel de apertură are de obicei un diametru de 100 nm, dar poate ajunge până la 50 nm sau chiar mai puţin. Cu toate că tehnologia de prelucrare la nivel nanometric permite realizarea unei aperturi chiar şi mai mici, totuşi de la această dimensiune apare o altă limitare, aceea a puterii optice transmise. Radiaţia optică dintr-o fibră optică are un vector de undă , unde primul termen () reprezintă componenta vectorului de undă paralelă cu axa optică a fibrei, iar termenul al doilea () este componenta perpendiculară pe axa optică a fibrei optice. Conform principiului lui Heisenberg,
(1.4)
unde Δp este variaţia impulsului, Δx este variaţia dimensiunii fizice, iar h este constanta lui Planck.

Dar, conform ipotezei lui de Broglie, (unde λ este lungimea de undă, iar p este impulsul particulei), care, aplicată pentru cazul unui foton, ne va da impulsul fotonului, , relaţie pe care o putem lega de modulul vectorului de undă: . Rescriind relaţia (1.4) pentru , vom obţine:

(1.5)
Pentru dimensiuni apropiate de lungimea de undă, (deoarece ne situăm în zona de câmp apropiat), putem scrie:
(1.6)
De unde rezultă:
(1.7)
Aşadar, componenta paralelă cu axa optică a fibrei capătă valoare imaginară, unde α aparţine mulţimii numerelor reale, .

Întorcându-ne la soluţia ecuaţiei undei, vom avea:

(1.8)

(1.9)
Ajungem, deci, la aceeaşi formă a undei evanescente din ecuaţia (1.3).

Intensitatea acestei unde va fi dată de:

(1.10)
Observăm din ecuaţia (1.10) faptul că intensitatea undei din această zonă se atenuează exponenţial cu distanţa z.

Acest lucru se întâmplă din punctul în care diametrul miezului fibrei scade la o valoare de sub . De aici, cea mai mare parte a puterii optice incidente se va reflecta înapoi pe fibră. Însă datorită efectelor de difracţie date de apertura sondei, componenta paralelă cu axa optică a vectorului de undă va căpăta o valoare imaginară [4], aşa cum am arătat mai sus:

(1.11)
(1.12)
În această zonă, câmpul electromagnetic prezintă o atenuare exponenţială, asemănătoare cu aceea specifică undelor evanescente.

Pe lângă această limită geometrică ce duce la o atenuare exponenţială a amplitudinii câmpului electromagnetic, învelişul metalic este de asemenea responsabil de atenuare datorită absorbţiei. Amplitudinea de intrare E_o nu poate fi crescută la valori foarte mari (în scopul măririi amplitudinii câmpului în regiunea aperturii) deoarece căldura generată în urma absorbţiei luminii poate duce la topirea învelişului metalic.

Factorul de transmisie optică într-o sondă SNOM cu apertură are o valoare tipică situată între 10^-6 şi 10^-5 [7].

1.4. SNOM fără apertură – nivelul actual

Date fiind limitările impuse în cadrul microscopiei în câmp apropiat cu apertură, s-au încercat diferite alternative de investigaţie a suprafeţelor probelor folosind undele electromagnetice din câmp apropiat. O astfel de alternativă o reprezintă SNOM fără apertură, sau cu împrăştiere (prescurtat cu a-SNOM sau s-SNOM³). Acest tip de microscopie se bazează pe proprietăţile unei sonde omogene de investigaţie de a amplifica şi a împrăştia câmpul electromagnetic [8].

Principiul de funcţionare este următorul: O sondă cu vârful foarte ascuţit şi metalizat este adusă în proximitatea suprafeţei materialului de investigat. În acelaşi timp, un fascicul laser este focalizat pe vârful sondei, având rolul de a excita dipolul cvasi-static existent în vârful sondei şi imaginea acestuia în proba de investigat. Datorită câmpului electric oscilant (E_o) al undei electromagnetice, dipolul creat va oscila şi el, generând la rândul său un câmp electromagnetic ce se propagă în toate direcţiile (E_c.a.), dar care este colectat pe direcţia undei incidente. Această undă se propagă în câmpul îndepărtat, dar datorită faptului că este generată de interacţiunea petrecută în câmp apropiat între sondă şi probă, ea poartă informaţii legate de acest câmp apropiat. Totodată, câmpul împrăştiat de această interacţiune poartă informaţii legate de natura optică a probei la nivel local, motiv pentru care semnalul detectat prin această tehnică este de natură optică [9, 10, 11]. O observaţie importantă o reprezintă faptul că cu cât distanţa sondă-probă este mai mică, cu atât se observă o creştere neliniară a intensităţii câmpului împrăştiat.

Dezavantajul principal al acestei tehnici este dat de faptul că la detecţie, pe lângă lumina împrăştiată din câmpul apropiat, apare şi o mare cantitate de lumină nedorită, ce constituie zgomotul de fond – precum reflexia câmpului incident pe sondă şi pe ac, care nu poartă informaţie de câmp apropiat şi constituie principala sursă de zgomot – zgomot care este, în mod normal, mult mai mare în comparaţie cu semnalul util provenit din câmpul apropiat [9, 12]. Pentru a creşte raportul semnal/zgomot este utilizat modul de scanare intermitent folosit în microscopia cu forţe atomice (AFM), tehnică ce constă în oscilaţia sondei deasupra probei la o frecvenţă de rezonanţă ce este ţinută constantă cu ajutorul unui tub piezoelectric şi a unei bucle de reacţie. Datorită acestei modulaţii introduse de vibraţia cantileverului, se poate realiza o discriminare între semnalul de zgomot şi semnalul de câmp apropiat bazată pe demodularea semnalului total sosit pe detector la armonici superioare ale frecvenţei de oscilaţie [4, 8, 11, 13]. Această discriminare se poate realiza datorită caracterului diferit al celor două semnale: lumina reflectată (care reprezintă zgomotul) va avea o variaţie liniară, ducând la apariţia unui semnal sinusoidal la detecţie (semnal detectat numai la frecvenţa fundamentală de oscilaţie a sondei), în timp ce lumina provenită din câmpul apropiat al probei va avea o variaţie puternic neliniară (ceea ce duce la apariţia unui semnal suficient de puternic la frecvenţe date de armonicile frecvenţei fundamentale de oscilaţie a cantileverului). În continuare, raportul semnal/zgomot poate fi îmbunătăţit folosind tehnici de detecţie interferometrice (homodină, heterodină sau pseudo-heterodină) ce vor fi studiate în paragraful 1.6. Figura 1.4 schiţează interacţiunea dintre sondă şi probă prezentată mai sus.

Fig. 1.4. Interacţiunea dintre sondă şi proba investigată

1.5. Undele rezultate din zona interacţiunii dintre sondă şi probă

În urma iluminării vârfului sondei (aflate pe probă) vor rezulta o serie de unde ce se întorc către detector, între care se află şi unda ce conţine informaţia de câmp apropiat (E_c.a.) [14, 15]. Celelalte unde constituie zgomotul de fond, cele mai importante fiind unda ce se reflectă direct de pe sondă (E_s), unda care se reflectă de pe probă (E_p), şi unda care suferă o dublă reflexie pe probă şi pe sondă, întorcându-se apoi pe detector (E_ps)⁴.

Fig. 1.5. Undele aflate în vecinătatea zona de interacţiune sondă-probă
Raportul semnal/zgomot va fi foarte mic, fiind dat de relaţia:
(1.13)

1.6. Metode de detecţie a semnalului (homodină, heterodină, pseudo-heterodină)

Există trei configuraţii principale de detecţie interferometrică a semnalului provenind din câmpul apropiat al probei investigate, şi anume, homodină, heterodină şi pseudo-heterodină.

Pentru metoda de lucru homodină [16, 17], unda incidentă este trecută printr-un beam-splitter (BS) care desparte fasciculul în două braţe, unul dintre ele fiind trimis către vârful sondei de investigaţie, iar celălalt este folosit cu rol de undă de referinţă. Această undă va fi reflectată înapoi de o oglindă, astfel încât ea va avea o fază fixă faţă de unda incidentă. Unda de referinţă va interfera cu unda care provine din interacţiunea de câmp apropiat dintre sondă şi probă, dar şi cu undele luminoase ce constituie semnalul de zgomot (precum unda ce se reflectă direct de pe sondă, unda care se reflectă de pe probă, sau unda care suferă o dublă reflexie pe probă şi pe sondă). Acest aranjament optic constituie un interferometru Michelson în care una dintre oglinzi a fost înlocuită cu sonda de investigaţie.

Puterea totală măsurată cu ajutorul detectorului va fi [17]:

(1.14)

unde, E_c.a. – vectorul câmp electric al luminii împrăştiate din zona de câmp apropiat;

E_ref – vectorul câmp electric al câmpului electromagnetic de referinţă;

– diferenţa de fază dintre undă împrăştiată din câmpul apropiat şi unda de referinţă.

Diferenţa de fază va fi dată de (diferenţa dintre faza fasciculului de referinţa şi a faza fasciculului provenit din câmpul apropiat). Faza fasciculului de referinţă este fixă faţă de faza undei incidente, în timp ce faza undei împrăştiate din câmpul apropiat variază în urma procesului de împrăştiere.

Comparativ cu detecţia directă (non-interferometrică), puterea semnalului util detectată folosind configuraţia de homodină este crescută cu un factor proporţional cu puterea fasciculului de referinţa, |E_ref|², şi în plus măsurăm termenul interferometric (al treilea termen din relaţia 1.10) care conţine atât contribuţia luminii împrăştiate din regiunea câmpului apropiat cât şi contribuţia undei de referinţă. Totodată, termenul interferometric variază şi în urma schimbării diferenţei de fază dintre cele două fascicule.

Fig. 1.6. Configuraţia homodină de detecţie
Folosind această metodă de detecţie, extragerea simultană atât a informaţiei de amplitudine cât şi a informaţiei de fază nu este posibilă [17]. Pentru a putea realiza acest lucru, există însă celelalte metode de detecţie interferometrică.
Astfel, detecţia heterodină [4, 15, 16, 17, 18] se bazează pe capacitatea de a realiza o mică diferenţă de frecvenţă între cele două unde principale care interferează (unda împrăştiată din câmpul apropiat şi unda de referinţă). Acest lucru este posibil cu ajutorul unui AOM (acusto-optic modulator) care modifică uşor frecvenţa undei de referinţă, care mai apoi va interfera cu unda provenită din câmpul apropiat. Puterea optică măsurată cu ajutorul detectorului va avea forma matematică⁵:
(1.15)
unde diferenţa de fază dintre cele două unde este . Mărimea reprezintă deviaţia frecvenţei fasciculului de referinţă, iar t este timpul.
Datorită frecvenţelor celor două fascicule, termenul interferometric va fi un semnal de bătaie cu frecvenţa egala cu . Acest semnal poate fi demodulat folosind un amplificator lock-in care permite măsurarea atât a amplitudinii cât şi a fazei:
(1.16)
(1.17)
De aici rezultă că această metodă este capabilă să disocieze între faza şi amplitudinea undei împrăştiate din câmpul împrăştiat. Aşa cum s-a obţinut şi în cazul detecţiei de tip homodină, amplitudinea undei de referinţă este un factor de amplificare, astfel că se poate creşte semnalul util folosind un fascicul de referinţă mai intens.

Fig. 1.7. Configuraţia heterodină de detecţie
Această metodă are câteva avantaje faţă de detecţia de tip homodină: amplitudinea nu depinde de poziţia oglinzii pe care se reflectă unda de referinţă, astfel încât nu este nevoie de controlul fazei undei de referinţă; de asemenea, deplasarea în frecvenţă a semnalului de referinţă faţă de unda incidentă este în mod tipic de  = 80 MHz, ceea ce face ca în acest regim să nu apară zgomot indus mecanic sau electronic, deci să rezulte un raport semnal/zgomot mai mare [17].
O a treia metodă de detecţie, cu cele mai promiţătoare rezultate şi mai uşor de implementat este metoda denumită „pseudo-heterodină” [16, 19, 20]. În acest caz, deplasarea în frecvenţă (întâlnită la metoda heterodină) este înlocuită cu o modulaţie sinusoidală a fazei undei de referinţă. Acest lucru se realizează cu o oglindă ce vibrează cu ajutorul unui actuator piezoelectric, la o frecvenţă de ordinul kilohertzilor. Şi această metodă permite extragerea informaţiei de amplitudine şi de fază a undei împrăştiate din zona de câmp apropiat [19].

Fig. 1.8. Configuraţia pseudo-heterodină de detecţie
Această a treia configuraţie are la bază următorul efect. Dacă frecvenţa de modulaţie M_o a fazei undei de referinţă este mai mică decât frecvenţa de vibraţie f_o a sondei de investigaţie, de fiecare parte a oricărei armonici a frecvenţei fundamentale f_o vor apărea benzi înguste la frecvenţele [19]. S-a demonstrat că la aceste frecvenţe semnalul de zgomot este suprimat foarte mult iar raportul semnal/zgomot este crescut semnificativ [19]. Figura 1.9 reprezintă forma spectrului semnalului rezultat în urma detecţiei de tip pseudo-heterodină.


Fig. 1.9. Spectrul semnalului
O serie de cercetări au fost efectuate în ultima decadă în scopul determinării modului de generare a luminii împrăştiate ce poartă informaţia din câmpul apropiat, precum şi a parametrilor caracteristici (atât ai probelor, cât şi ai sondelor) ce oferă cel mai bun răspuns în urma excitaţiei în câmp apropiat. Rezultatele au constat în dezvoltarea unor modele matematice ce modelează interacţiunea fizică la scară nanometrică (ce vor fi prezentate în capitolul următor) şi la o serie de concluzii fundamentale, precum:
- un semnal suficient de puternic, conţinând informaţie din câmp apropiat, poate fi generat de probele metalice;

- totodată, îmbunătăţirea semnalului se realizează şi prin folosirea unei sonde metalice sau semiconductoare;

- demodularea semnalului pe armonici ale frecvenţei de oscilaţie a sondei este recomandată pentru o îmbunătăţire a raportului semnal/zgomot şi pentru a suprima cât mai mult semnalele care vin din câmp îndepărtat;

- rezoluţia este de ordinul diametrului vârfului sondei de investigaţie.

2. Modelarea teoretică a interacţiunii sondă-probă

2.1. Efectul de amplificare a câmpului

Efectul de amplificare a câmpului electromagnetic din zona câmpului apropiat se realizează doar la extremitatea unei sonde omogene de metal (sau semiconductor, în unele cazuri) [21, 22]. Două mecanisme principale stau la baza generării acestei amplificări: oscilaţia plasmonică de suprafaţă şi efectul de paratrăsnet [8]. Aceste două fenomene distincte vor fi discutate în cele ce urmează.

1. 
   Oscilaţia plasmonică de suprafaţă⁶
   

Excitaţia plasmonică afectează puternic proprietăţile optice ale unei nano-structuri metalice. Efectul de rezonanţă plasmonică şi-a găsit aplicaţii în anumite ramuri ale ştiinţei şi tehnologiei, precum nano-senzorii [8].
Densitatea de electroni prezenţi în structurile metalice poate fi modelată prin conceptul de rezonanţă. Parametrii de rezonanţă, precum lungimea de undă de vârf şi timpul de relaxare depind în mare măsură de densitatea de purtători de sarcină, de masa efectivă a electronului şi de conductivitatea materialului. Pentru predicţia dispersiei permitivităţii se utilizează modelul Drude; astfel, pentru un metal de volum, poate fi scris astfel:
(2.1)
unde, - frecvenţa plasmei;

- rata de relaxare a electronului (legată de atenuarea datorată ciocnirilor);

- constanta dielectrică la .
Mărimea este inversul lui – timpul de relaxare a electronului (care este timpul mediu dintre două ciocniri consecutive). Acesta depinde de proprietăţile materialului:
(2.2)
unde, n – densitatea de electroni;

m^* – masa efectivă a unui electron de conducţie;

– conductivitatea materialului;

e – sarcina electronului.

Frecvenţa plasmei depinde de proprietăţile de material după formula:

(2.3)
unde este constanta dielectrică a vidului.

Cu ajutorul modelului Drude au fost explicate multe proprietăţi ale metalelor, însă trebuie subliniat că acest model ia în considerare numai electronii liberi din banda de conducţie şi doar tranziţiile electronice ce au loc în această bandă [8]. O descriere corectă a nano-structurilor metalice implică luarea în considerare atât a electronilor din banda de valenţă, cât şi a tranziţiilor din alte benzi către banda de conducţie.

2. 
   Efectul de paratrăsnet
   

Acest efect se referă la fenomenul prin care sarcina electrică de pe suprafaţa unui material conductor este confinată spaţial datorită formei structurale [8]. Chiar dacă acest efect este legat de domeniul macroscopic, fenomenul este similar în cazul structurilor metalice de dimensiuni nano-metrice excitate cu radiaţie electromagnetică. Electronii liberi din metal reacţionează la excitaţia electromagnetică prin apariţia unei sarcini superficiale oscilante. Când suprafaţa prezintă o singularitate geometrică precum vârful unei sonde de investigaţie, densitatea locală a sarcinii superficiale creşte foarte mult în această zonă. Ca o consecinţă, câmpul electromagnetic din jurul vârfului sondei este amplificată şi confinată foarte aproape de vârf.

2.2. Modelul dipolului punctual

Acest model s-a dezvoltat din necesitatea de a explica în mod calitativ fenomenul care duce la apariţia contrastului în imaginea pe care o generează în timpul baleiajului un instrument de tipul s-SNOM [4, 9]. Astfel, vom studia în continuare influenţa constantei dielectrice locale (permitivităţii electrice locale) a probei aflate sub sonda de investigaţie, care împrăştie câmpul electromagnetic localizat pe suprafaţa probei în câmpul îndepărtat pentru a putea fi detectat cu ajutorul unui foto-detector.

În acest model matematic [9], vârful sondei este considerat ca fiind echivalent cu suprafaţa unei sfere, model care, deşi este foarte restrictiv şi aproximativ, oferă totuşi o idee bună despre fenomenul fizic.
Astfel, sonda este considerată ca o sferă care are proprietatea de a împrăştia lumina. Ea are o rază a şi constanta dielectrică , unde n este indicele complex de refracţie al sondei. Datorită faptului că acesta se presupune a fi din metal, se ia în considerare şi partea imaginară a indicelui de refracţie, care dă absorbţia în metal. Această sferă se află în vecinătatea unui material care are constanta dielectrică egală cu . În absenţa acestui mediu, folosim aproximaţia electrostatică, în care câmpul electric E al undei electromagnetice polarizează sfera, ducând la apariţia unui dipol p:
(2.4)
cu

- polarizabilitatea sferei (2.5)
unde V este volumul sferei.

Prezenţa celui de-al doilea mediu duce la modificarea câmpul creat de acest dipol, din două motive principale:

a) va apărea un dipol – imagine:
(2.6)
b) valoarea lui p va deveni . (2.7)
Să considerăm în continuare cazul în care dipolul este indus de câmpul electric E (al unei unde electromagnetice polarizată normal la suprafaţa probei) în sfera de rază a localizat la o distanţă d de suprafaţă. Câmpul creat la distanţa r de dipolul – imagine este⁷:
(2.8)
sau

(2.9)
de unde:
(2.10)
Astfel, câmpul total care polarizează sfera va fi:
(2.11)
unde . (2.12)

În cele din urmă, dipolul p va avea valoarea:

. (2.13)
Putem considera că:

(2.14)
(2.15)
Polarizabilitatea efectivă dată de ecuaţia (2.15) joacă un rol deosebit de important, deoarece câmpul electromagnetic împrăştiat din zona de câmp apropiat este proporţional cu această mărime:
(2.16)
unde E_o este intensitatea câmpului electric incident, iar C este o constantă de proporţionalitate.
Polarizabilitatea efectivă este o mărime puternic neliniară pentru distanţe d foarte mici [4, 9]. Acest lucru poate fi ilustrat dacă reprezentăm grafic această mărime în funcţie de distanţa d (v. Fig. 2.1). Codul MATLAB pentru generarea graficului din Fig. 2.1. poate fi găsit în anexa 1.


Fig. 2.1. Variaţia neliniară a polarizabilităţii efective cu distanţa d

2.3. Aproximaţia electrostatică

Considerăm o sferă omogenă, izotropă, de rază a, plasată într-un mediu cu constanta dielectrică ε_m în care există un câmp electrostatic uniform [23]. Dacă permitivităţile electrice ale sferei şi ale mediului în care este plasată sfera sunt diferite între ele, o sarcină electrică va fi indusă pe suprafaţa sferei. Astfel, câmpul electric care era uniform este acum deformat de prezenţa sferei. Câmpurile electrice din interiorul şi din exteriorul sferei vor fi E₁ şi respectiv E₂, iar acestea pot fi obţinute din potenţialele scalare şi :

(2.17)
unde (pentru r < a)

(pentru r > a)
La frontiera mediu – sferă vom avea:

(r = a) (2.18)
De asemenea, punem condiţia ca la distanţe mari faţă de sferă, câmul electric să nu fie influenţat de sferă:
(2.19)
Se poate demonstra că condiţiile impuse prin (2.18) şi (2.19) sunt satisfăcute de următoarele funcţii [23]:
(2.20)

(2.21)


Considerăm acum două sarcini punctiforme +q şi –q separate între ele prin distanţa d. Acest tip de configuraţie a două sarcini poartă numele de dipol şi are asociată mărimea moment dipolar , unde . Dacă aceste două sarcini se găsesc într-un mediu uniform cu permitivitatea electrică ε_m, potenţialul într-un punct P datorat dipolului va fi:
(2.22)

Putem face aproximările şi , şi astfel vom avea:

(2.23)


Ne întoarcem acum la problema sferei aflate în câmpul electrostatic uniform. Putem observa din ecuaţiile (2.21) şi (2.23) faptul că în exteriorul sferei câmpul electric este format din superpoziţia dintre câmpul electric extern şi câmpul creat de un dipol ideal cu momentul dipolar dat de egalitatea:

(2.24)

(2.25)
unde (2.26)
Analiza de mai sus s-a referit la cazul particular în care este evaluat răspunsul unei sfere la un câmp electrostatic uniform extern – caz în care am arătat că sfera considerată este echivalentă cu un dipol ideal. Pentru cazul în care câmpul electric extern este o undă plană, putem de asemenea considera că sfera este echivalentă cu un dipol ideal [23], însă permitivităţiile electrice care intră în ecuaţii sunt cele specifice la frecvenţa undei incidente.

Momentul dipolar al unui dipol ideal iluminat de o undă plană polarizată pe direcţia x va oscila cu frecvenţa câmpului aplicat. Astfel, dipolul va radia un câmp elelctric E_dip [24]:

(2.27)
(2.28)
În modul, vom avea:
(2.29)
Combinând ecuaţiile (2.16) şi (2.29), obţinem:
(2.30)

2.4. Variaţia neliniară a undei împrăştiate din câmpul apropiat şi suprimarea zgomotului de fond prin demodularea pe armonici ale frecvenţei de oscilaţie a cantileverului

Variaţia tipică a polarizabilităţii efective (ilustrată în fig. 2.1) este preluată de câmpul împrăştiat E_c.a., conform ecuaţiei (2.16). Neliniaritatea aceasta este binevenită deoarece ea ne permite să suprimăm o mare parte din zgomotul de fond şi să mărim raportul semnal/zgomot. Acest lucru se bazează pe faptul că, în timp ce unda împrăştiată are o variaţie neliniară cu distanţa, undele luminoase ce constituie zgomotul de fond sunt liniare în variaţia lor ca funcţie de distanţă, sau chiar constante. Acest lucru va fi ilustrat în continuare.

Prin natura lui, instrumentul s-SNOM funcţionează pe baza unui microscop cu forţe atomice (AFM) folosit în modul de achiziţie intermitent – adică sonda de investigaţie este adusă în proximitatea probei şi supusă unei oscilaţii sinusoidale în timp pe axa verticală z. Astfel, cu o frecvenţă constantă, sonda se apropie şi se îndepărtează de probă, iar tensiunea de comandă a tubului piezoelectric ce induce această oscilaţie este folosită pentru a reda imaginea de topografie (această tensiune variază deoarece amplitudinea de oscilaţie are tendinţa să se schimbe după cum dictează topografia; o buclă de reacţie este folosită pentru a menţine această amplitudine constantă, buclă ce face ca tensiunea aplicată să se schimbe pentru a menţine constantă amplitudinea de oscilaţie a cantileverului).
Există trei unde luminoase principale ce formează zgomotul de fond, şi anume:

- unda ce se reflectă direct de pe sondă (E_s);

- unda care se reflectă de pe probă (E_p);

- unda care suferă o dublă reflexie pe probă şi pe sondă, întorcându-se apoi pe detector (E_ps).

În timpul procesului de oscilaţie a sondei deasupra probei scanate, putem intui uşor faptul că undele E_s şi E_ps variază sinusoidal în amplitudine: acul de scanare intră şi iese periodic din fasciculul incident de lumină (cu frecvenţa de oscilaţie fixă a cantileverului), ceea ce face ca aceste două unde să aibă o amplitudine variabilă sinusoidal în timp. Faptul acest face ca, transformate în spaţiul frecvenţelor, aceste funcţii să aibă un spectru foarte îngust, la o singură frecvenţă – fiind ştiut că funcţia sinus este o funcţie de o singură frecvenţă.
În acelaşi timp, unda E_p nu variază în niciun fel, pentru că amplitudinea ei nu depinde decât de poziţia fasciculului laser faţă de proba scanată. Cum această poziţie nu se schimbă, amplitudinea acestei unde va fi constantă, iar în spaţiul frecvenţelor lui E_p nu îi corespunde nicio frecvenţă. Această situaţie poate fi ilustrată destul de intuitiv, aşa ca în figura 2.2.


Fig. 2.2. Ilustrarea modului în care demodularea pe armonici a semnalului compus din zgomot şi semnal util

duce la îmbunătăţirea raportului semnal/zgomot
Bibliografie:

[1] Smith F.G., King T.A., Wilkins D., Optics and Photonics – An Introduction, Second Edition, Ed. Wiley, England, 2007;

[2] Born M., Wolf E., Principles of Optics, Seventh Edition, Ed. Cambridge University Press, Cambridge, 1999;
[3] Peatross J., Ware M., Physics of Light and Optics, Brigham Young University, 2008;
[4] Bek A., Apertureless SNOM: A New Tool for Nano-optics, École Polytechnique Fédérale de Laussane, Teza de doctorat, 2004;
[5] Durug U., Pohl D.W., Rohner F., „Near-field optical-scanning microscopy”, Journal of Applied Physics, vol. 59, pag. 3318-3327, 1986;
[6] Chang Y.C., Chen H.W., Chang. S.H., „Enhanced near-field imaging contrasts of Silver nano-particles by localized surface plasmon”, IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, vol. 14, Nr. 6, 2008;
[7] Suh Y.D., Zenobi R., „Improved probes for scanning near-field optical microscopy”, Advanced Materials, vol. 12, pag. 1139-1142, 2000;
[8] Kalinin S., Gruverman A. (editori), Scanning Probe Microscopy, Electrical and Electromechanical Phenomena at the Nanoscale, vol. 1, Ed. Springer, New York, 2007;
[9] Dupas C., Houdy P., Lahmani M. (editori), Nanoscience – Nanotechnologies and Nanophysics, ed. Springer, Berlin, 2007;
[10] Novotny L., „From near-field optics to optical antennas”, Physics Today, Iulie 2011, pag. 47-52, 2011;
[11] Hillenbrand R., Knoll B., Keilmann F., „Pure optical contrast in scattering-type scanning near-field microscopy”, Journal of Microscopy, vol. 202, pag. 77-83, 2000;
[12] Labardi M., Patane S., Allegrini M., „Artifact-free near-field optical imaging by apertureless microscopy”, Applied Physics Letters, vol. 77, 621, 2000;
[13] Bek A., Vogelgesang R., Kern K., „Apertureless scanning near-field optical microscope with sub-10 nm resolution”, Review of Scientific Instruments, vol 77., 043703, 2006;
[14] Liao C.C., Lo Y.L., „Phenomenological model combining dipole-interaction signal and backgroung effects for analyzing modulated detection in apertureless scanning near-field optical microscopy”, Progress in Electromagnetical Research, vol. 112, 415-440, 2011;
[15] Chuang C.H., Lo Y.L., „An analysis of heterodyne signals in apertureless scanning near-field optical microscopy”, Optics Express, vol. 16, Nr. 22, 17982, 2008;
[16] Zayats A., Richards D. (editori), Nano-optics and Near-field Optical Microscopy, Ed. Ertech House, USA, 2009;
[17] Schneider S.C., Scattering Scanning Near-field Optical Microscopy on Anisotropic Dielectrics, Teza de doctorat, Dresden, 2007;
[18] Hall J.E., Wiederrecht G.P., Gray S.K., „Heterodyne apertureless near-field scanning optical microscopy on periodic gold nanowells”, Optics Express, vol. 15, nr. 7, 4098, 2007;
[19] Ocelic N., Huber A., Hillenbrand R., „Pseudoheterodyne detection for background-free near-field spectroscopy”, Applied Physics Letters, vol. 89, 101124-1-3, 2006;
[20] Schnell M., Etxarri A.G., Huber A.J., Crozier K., Aizpurua J., Hillenbrand R., „Controlling the near-field oscillations of loaded plasmonic nanoantennas”, Nature Photonics, Advance online publication, 2009;
[21] Raether H., Surface Plasmon son Smooth and Rough Surfaces an don Gratings, Ed. Springer, Berlin, 1988;
[22] Haefliger D., Plitzko J.M., Hillenbrand R., „Contrast and scattering efficiency of scattering-type near-field optical probes”, Applied Physics Letters, vol. 85, nr. 19, 2004;
[23] Bohren C.F., Huffman D.R., „Absorbtion and Scattering of Light bz Small Particles”, Ed. Wiley, New York, 1983;
[24] Stratton J.A., „Electromagnetic Theory”, Ed. John Wiley & Sons, New Jersey, 2007;

1 Smith F.G., King T.A., Wilkins D., Optics and Photonics – An Introduction, Second Edition, Editura Wiley, England, 2007.

2 Figură preluată după Bek A., Apertureless SNOM: A New Tool for Nano-optics, École Polytechnique Fédérale de Laussane, 2004.

3 din denumirea în engleză apertureless-SNOM şi scattering-SNOM.

4 Liao C.C., Lo Y.L., „Phenomenological model combining dipole-interaction signal and backgroung effects for analyzing modulated detection in apertureless scanning near-field optical microscopy”, Progress in Electromagnetical Research, vol. 112, 415-440, 2011.

5 Schneider S.C., Scattering ScanningNear-field Optical Microscopy on Anisotropic Dielectrics, Teza de doctorat, Dresden, 2007.

6 Kalinin S., Gruverman A. (editori), Scanning Probe Microscopy, Electrical and Electromechanical Phenomena at the Nanoscale, vol. 1, Ed. Springer, New York, 2007.

7 Dupas C., Houdy P., Lahmani M. (editori), Nanoscience – Nanotechnologies and Nanophysics, ed. Springer, Berlin, 2007.