Modul perkuliahan

1. Teori Bilangan

1. O l e h

2. Drs. Dwi Purnomo, M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

• FPIEK-IKIP BUDI UTOMO MALANG

JANUARI 2006

• DAFTAR ISI

Halaman Halaman Sampul .............................................................1Daftar Isi .......................................................................2Kata Pengantar ..............................................................3Bab I Pendahuluan 1.1 Notasi dan Simbul .....................................................51.2 Induksi Matematika ..................................................91.3 Prinsip Urutan ..........................................................121.4 Prinsip Proporsi ........................................................171.5 Konjektur ..................................................................191.6 Soal-soal ..................................................................21Bab IIKETERBAGIAN2.1 Keterbagian .............................................................232.2 Cara lain Menentukan FPB dan Kombinasi Linear ......412.3 Persamaan Diophantine Linear ...................................472.4 Ciri-ciri Habis Dibagi .................................................502.5 Pembagian dengan Metode Pencoretan .....................692.6 Soal-soal .....................................................................73Bab IIIKONGRUENSI 3.1 Pengertian ...............................................................753.2 Sistem Residu ..........................................................89Bab IVKONGRUENSI LINEAR 4.1 Kongruensi Linear .....................................................924.2 Kongruensi Simultan .................................................1004.3 Teorema Sisa China ..................................................1034.4 Soal-soal ……………………………………………………107Bab VKEPRIMAAN ....................................................................109DAFTAR PUSTAKA ..........................................................118

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. Karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, dengan segala kekurangan dan kekhilafan penulis dapat menghasilkan sebuah modul sederhana yang dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari konsep tentang Teori Bilangan.

Modul sederhana ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada para mahasiswa yang sedang mengikuti perkuliahan. Di samping itu tentu isinya masih kurang dari apa yang sebenarnya diharapkan oleh para mahasiswa.

Terselesaikannya penulisan modul ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekan-rekan seprofesi di IKIP Budi Utomo Malang, lebih-lebih para mahasiswa yang menjadi motivasi penulis untuk menyelesaikan modul ini.

Semoga apa yang telah dituangkan dalam tulisan sederhana ini, akan sangat berguna bagi mahasiswa. Kekurangan disana sini Insya Allah akan diperbaiki dikemudian hari.

Malang, Januari 2006

Penulis

Untuk yang tercinta

Pandu, Prisma, Caesar, dan Mamanya

BAB I

PENDAHULUAN

1. Notasi dan Simbul

Matematika selalu berkenaan dengan ide-ide dan konsep, oleh karena itu untuk memudahkan uraian, penjelasan, atau keterangan diperlukan seperangkat kesepakatan bersama sebagai dasar dalam memahami matematika sehingga apa yang ingin diketahui menjadi lebih mudah dan sederhana. Disamping itu dalam matematika diperlukan lambang-lambang tertentu. Lambang-lambang yang telah disepakati tersebut mempunyai makna tertentu, dan makna tersebut dinamakan dengan notasi.

Istilah lain dari notasi adalah simbul. Penggunaan notasi haruslah disepakati bersama oleh pengguna matematika. Notasi-notasi yang ada dalam matematika dapat berkaitan dengan himpunan misalnya penggunaan huruf kapital latin, operasi atau pengerjaan misalnya penjumlahan beruntun atau perkalian beruntun, hubungan antara unsur misalnya kesamaan atau ketidaksamaan, atau pernyataan yang menunjukkan penunjuk misalnya kelipatan persekutuan terkecil, pembagi persekutuan terbesar dan sebagainya.

Berikut ini dituliskan beberapa notasi dengan artinya.

Notasi yang berkaitan dengan operasi

1. 
   + : jumlah
   
2. 
   - : selisih
   
3. 
   x : perkalian
   
4. 
   : : pembagian
   
5. 
   : akar kuadrat
   
6. 
   : Penjumlahan beruntun
   
7. 
   : Perkalian beruntun
   
8. 
   : integral
   

Notasi yang berkaitan dengan hubungan

1. 
   = : sama dengan
   
2. 
   : tidak sama dengan
   
3. 
   > : lebih besar daripada
   
4. 
   < : lebih kecil daripada
   
5. 
   : lebih kecil atau sama dengan
   
6. 
   : lebih besar atau sama dengan
   
7. 
   : ekuivalen
   
8. 
   : sama dan sebangun
   
9. 
   : gabungan
   
10. 
    : Irisan
    
11. 
    : anggota
    
12. 
    : bukan anggota
    

Notasi yang berkaitan dengan petunjuk atau tujuan

1. 
   KPK : kelipatan persekutuan terkecil (low commond multiple)
   
2. 
   FPB : pembagi persekutuan terbesar (great commond devisor)
   
3. 
   : implikasi ( jika ... maka ... )
   
4. 
   : biimplikasi ( ... jika dan hanya jika ... )
   
5. 
   ┴ : tegak lurus
   
6. 
   └ : sudut 90^o
   
7. 
   ║ : sejajar
   
8. 
   : himpunan kosong
   
9. 
   : segitiga
   
10. 
    : bujur sangkar (persegi)
    

Notasi yang berkaitan dengan himpunan

1. 
   Himpunan bilangan Nol yaitu {0}
   
2. 
   N = himpunan bilangan Asli (Natural)
   

N = { 1,2,3,4,5, ... }

1. 
   W = himpunan bilangan Cacah (Whole)
   

W = { 0,1,2,3,4, ... }

1. 
   Z = himpunan bilangan Bulat (Zahlen)
   

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... } , sehingga dalam bilangan bulat terdapat bilangan bulat positip (Z⁺), bulat negatip (Z^-) dan bilangan nol

1. 
   Q = himpunan bilangan rasional (Q = Quotient) yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a,b Z, b 0 . Bilangan rasional juga dinamakan dengan bilangan desimal bentuk berulang.
   

Q = { x : x = , a,b Z, b 0 }

Contoh bilangan desimal berulang

p = 0, 125125125...

q = 1,133333333...

r = 0,092323232323...

sehingga bilangan desimal berulang dapat dinyatakn sebagai

Q = { x : x = , a,b Z, b 0 }

1. 
   = himpunan bilangan tak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a,b Z. b 0 Bilangan tidak rasional juga disebut dengan istilah lain yaitu bilangan desimal tak berulang.
   
2. 
   R himpunan bilangan nyata (R = Real) yaitu gabungan dari bilangan-bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional, dan tidak Rasional. Dengan kata lain:
   

R = { N W Z Q }

1. 
   Himpunan bilangan tidak nyata (i = imajiner ) yaitu bilangan yang dinyatakan dengan i dimana i = .
   
2. 
   C = himpunan bilangan komplek yaitu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk
   

C = {x : x = a + bi, a,b Z, i = }.

Notasi-notasi tersebut dapat digunakan dengan tujuan untuk penyimbulan konsep dalam matematika yang sudah disepakati bersama.

Contoh:

1. 
   Jika kita ingin menyatakan jumlah 10 suku pertama dari bilangan genap adalah dengan menggunakan simbul
   

1. 
   Diberikan dua bilangan bulat berbeda, misal x dan y. Kita akan menggunakan simbul > atau < sehingga didapat x > y atau x < y.
   
2. 
   Untuk menyatakan dua garis lurus L₁ dan L₂ yang sejajar cukup menggunakan simbul L₁ ║ L₂.
   

Terlihat dari contoh di atas maka penggunaan simbul dalam matematika memberikan makna singkat dan lugas.

1.