Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari

Aim.Uz

Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari
Oldingi ma’ruzadagi oxirgi masaladan ko’rinadiki, va sonlari yetarlicha katta bo’lsa ehtimolni Bernulli formulasidan foydalanib topish ma’lum qiyinchiliklarga olib keladi. Shu sababli da ehtimol uchun asimptotik formula topish zaruriyati tug’iladi.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

.

Teorema (Muavr-Laplasning lokal teoremasi). Agar ta bog’lanmagan tajribalarning har biror hodisaning ro’y berish ehtimoli ( ) bo’lsa u holda bo’ladigan hamma va lar uchun

(1)

o’rinli bo’ladi. Bu yerda .

Bu teoremani Muavr 1730 yilda bo’lgan hol uchun, so’ngra Laplas ixtiyoriy uchun isbotlagan.

Isbot. Teorema isbotida bizga matematik analiz fanidan ma’lum bo’lgan Stirling formulasidan foydalanamiz.

, .

bo’lgani uchun

, (2)

Shunga o’xshash dan

, (3)

tenglik o’rinli bo’ladi.

(2) va (3) tengliklardan ko’rinadiki, da va lar ham cheksizlikka intiladi.

Bernulli formulasiga asosan:

.

Stirling formulasiga asosan:

(4)

bu yerda va . (2) va (3) larga asosan

(5)

Bundan ko’rinadiki (6).

Belgilash kiritamiz:

deb belgilaymiz.

U holda (2) va (3) ga asosan:



. (7)

yetarlicha katta bo’lganda va larni yetarlicha kichik qilish mumkin? Shuning uchun va larni darajali qatorga yoyish mumkin.
(8)
(9)

(8) va (9) larga asosan (7) ni quyidagicha yozish mumkin:

bo’lgani uchun da

(10)

(2) va (3) larni hisobga olsak,

, (11)

va da

(12)

(6), (10), (11), (12) larni hisobga olsak (4) dan teoremaning isboti kelib chiqadi.

Masalalar yechishda qulaylik tug’dirish uchun

funksiya uchun jadval tuzilgan.

Bu jadval faqat argumentning manfiy bo’lmagan qiymatlari uchun tuzilgan.

juft bo’lgani uchun ning manfiy qiymatlari uchun ham shu jadvaldan foydalanish mumkin.

Masalalar yechiashda quyidagi taqribiy formuladan foydalaniladi:

(13)

Endi oldingi ma’ruza oxirida keltirilgan masalani (13) formuladan foydalanib yechamiz.

Masala shartiga ko’ra: , , ,

.

; .

Demak, .

Muavr-Laplasning lokal teoremasidan foydalanmasdan o’tkazilgan aniq hisolashlar ekanligini ko’rsatadi.

Taqribiy va aniq qiymat orasidagi farq ni tashkil qiladi. Bu xatolikni inobatga olmaslik mumkin.

Faraz qilaylik, bizdan ta bog’lanmagan tajribalarda biror hodisasining kami bilan ko’pi bilan marta ro’y berish ehtimolligini ni topish talab qilinsin.

Bernulli formulasiga asosan:

(14)

Agar lar yetarlicha katta bo’lsa, (14) ifodaning qiymatini hisoblash texnik qiyinchiliklarga olib keladi.

Shuning uchun ham ehtimollik uchun asimptotik formula izlash zaruriyati tug’iladi.

Teorema (Muavr-Laplasning integral teoremasi). Agar ta bog’lanmagan tajribalarning har birida biror hodisaning ro’y berish ehtimoli ( ) bo’lsa, da

munosabat va larda ( ) nisabatan tekis bajariladi.

Bu yerda

, , .

Isbot. Muavr-Laplasning lokal teoremasiga asosan va lar chekli bo’lganda

bu yerda

, .

Quyidagi ayirmani qaraymiz:

Bunga asosan

va da

(15)

Endi ni baholaymiz.

.

Bunda

da (16)

ekanligi kelib chiqadi. (15) va (16) dan teoremaning isbotiga ega bo’lamiz.

Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanib maslalalar yechishda

funksiyaning qiymatini hisoblashga to’g’ri keladi.

funksiya qiymatlari uchun jadval tuzilgan.

Jadvalda funksiyaning nol va musbat larga mos qiymatlari keltirilgan.

da funksiyaning toqligidan foydalanib, jadvaldan bo’lgan holda ham foydalanish mumkin.

Jadvalda ning kesmadagi qiymatlari berilgan, agar bo’lsa, u holda deb olinadi.

funksiya orqali ni quyidagicha ifodalash mumkin:

Endi quyidagi masalani yechamiz:

Masala. Korxonada ishlab chiqariladigan har bir maxsulotning yaroqsiz bo’lish ehtimoli . 10000 ta ishlab chiqarilgan maxsulot orasida yaroqsizlari soni 70 tadan oshmaslik ehtimolini toping.

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

funksiya jadvalidan ;

.

Faraz qilaylik Muavr-Laplasning integral teoremasidagi barcha shartlar bajarilgan bo’lsin. Biz nisbiy chastotaning o’zgarmas ehtimoldan chetlanishning absolyut qiymati bo’yicha oldindan berilgan sondan katta bo’lmaslik ehtimolini topish masalasini qaraymiz, ya’ni tengsizlikni bajarilish baholaymiz.

Muavr-Laplas integral teoremasiga asosan

Shunday qilib

(17)

(17) ning ikkala tomonidan da limitga o’tsak,

.

.

Bu munosabatga Bernulli sxemasi uchun katta sonlar qonuni yoki Bernulli teoremasi deyiladi.

Masala. Tajriba tanga tashlashdan iborat bo’lsin. Tangani 100 marta tashlaganda raqamli tomon tushish hodisasining nisbiy chastotasi ning ehtimoldan absolyut qiymat bo’yicha farqi dan oshmaslik ehtimolini baholang.

Yechish. Masala shartiga ko’ra , , , .

(17) formulaga asosan

,

chunki .