MÜhaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

MÜHAZİRƏ 1
Analizə giriş
Riyazi induksiya üsulu
Hər bir təklif həm ümumi, həm də xüsusi ola bilər. Məsələn, “dördbucaqlının bucaqları cəmi 360º - dır”, “sonuncu rəqəmi 0 olan ədədlər 5 - ə bölünür” təklifləri ümumi, “paraleloqramın bucaqları cəmi 360º - dır”, “1430 ədədi 5-ə bölünür” təklifləri isə xüsusi təkliflərdir. Ümumi təklifdən nəticə olaraq xüsusi təklifin alınmasına deduksiya deyilir. Məsələn, dördbucaqlının bucaqları cəmi 360º - dır, paraleloqram dördbucaqlıdır, deməli, paraleloqramın da bucaqları cəmi 360º - dır. Deduksiya həmişə doğru nəticəyə gətirib çıxarır.

Xüsusi təklifdən nəticə olaraq ümumi təklifin alınmasına induksiya deyilir. Aşağıdakı misallar göstərir ki, induksiya həm doğru, həm də doğru olmayan ümumi nəticəyə gətirib çixara bilər.

Misal 1. 35, 405, 1275 ədədləri 5-ə bölünür. Bu xüsusi təkliflərdən doğru olan belə ümumi nəticə alınır ki, sonu 5 ilə qurtaran bütün ədədlər 5-ə bölünür.

Misal 2. Vahiddən başlayaraq ardıcıl tək ədədlərin cəminə baxaq:

Bu xüsusi təkliflərdən ümumi olaraq belə doğru nəticə alınır ki, ilk n sayda ardıcıl tək ədədlərin cəmi - na bərabərdir:

Misal 3. 63, 513, 1623 ədədləri 3-ə bölünür. Lakin, bu xüsusi təkliflərdən ümumi olaraq nəticə çıxarmaq olmaz ki, 3 rəqəmi qurtaran bütün ədədlər 3-ə bölünür.

Misal 4. Eyler üçhədlisinə baxaq.

olduqda

olduqda

olduqda və s.

Belə ümumi nəticəyə gəlmək olar ki, n-in istənilən natural qiymətində baxılan üçhədlinin qiyməti sadə ədəddir. Lakin bu nəticə səhvdir. Məsələn, olduqda

alınır, yəni üçhədlinin qiyməti mürəkkəb ədəd olur.

Bəs hansı halda xüsusi mühakimələr əsasında ümumi təklifin doğruluğunu müəyyən etmək olar? Bu məsələni riyazi induksiya üsulu adlanan xüsusi mühakimə üsulunun köməyi ilə həll etmək olur. Riyazi induksiya üsulu aşağıdakı prinsipə əsaslanır:

Hər hansı təklif istənilən natural ədədi üçün o vaxt doğrudur ki,

a) həmin təklif qiymətində doğrudur;

b) ixtiyari qiymətində bu təklifin doğruluğundan qiymətində də doğru olması çıxır.

Qeyd. Ola bilər ki, verilmiş təklif qiymətlərində doğru olsun. Bu halda riyazi induksiya prinsipinin a) bəndinə uyğun olaraq baxılan təklifin doğruluğu qiymətində yoxlanılır.

Riyazi induksiya üsulu bir sıra eynilik, bərabərlik və teoremlərin isbatında, bəzi həndəsi məsələlərin həllində tətbiq edilir.

Misal 5. İsbat edin ki, ilk sayda tək ədədin cəmi - na bərabərdir:



Həlli. a) olduqda bərabərlik doğrudur, çünki, .

b) Fərz edək ki, baxılan bərabərlik olduqda doğrudur, yəni

,

olduqda hökmün doğruluğunu göstərək. Doğrudan da,

İnduksiya prinsipinə əsasən verilmiş bərabərliyin doğruluğunu hökm edə bilərik.

Misal 6. İsbat edin ki,



Həlli. a) olduqda verilmiş hökm doğrudur:

b) olduqda fərz edək ki, baxılan bərabərlik ödənir, yəni

üçün təklifin doğruluğunu göstərək.



Misal 7. Bərabərliyin doğruluğunu göstərin:



Həlli. a) olduqda bərabərlik doğrudur:

b) olduqda bərabərliyin doğruluğunu qəbul edək, yəni

olduqda göstərək ki, .

Yaza bilərik:

Misal 8. Kvadrat köklərin sayının olduğunu bilərək ifadəsinin qiymətini tapın.

Həlli. işarə edək.

,

Prosesi bu qayda ilə davam etdirərək fərz etmək (hökm etmək yox!) olar ki,

İndi isə bu bərabərliyin doğruluğunu riyazi induksiya üsulu ilə isbat edək.

a) olduqda olduğundan hökm doğrudur.

b) olduqda hökmün doğruluğunu qəbul edək, yəni

və olduqda bərabərliyin doğruluğunu isbat edək.

Beləliklə hökm edə bilərik ki,

Misal 9. Bərabərsizliyi isbat edin:



Həlli. Əvvala, qeyd edək ki, baxılan bərabərsizliyin hər tərəfini dərəcədən qüvvətə yüksəltsək onu şəklinə gətirmək olar. Bu bərabərsizlik isə qiymətində doğrudur: .

olduqda bərabərsizliyin doğruluğunu qəbul edərək qiymətində də doğru olduğunu göstərək. Yəni olduqda isbat edək ki,

Doğru bərabərliyi nəzərə alaraq yaza bilərik:

Nəticə olaraq hökm edə bilərik ki,

Misal 10. Tutaq ki, elə müsbət ədədlərdir ki, . İsbat etməli ki, və ya , yəni hasili vahidə bərabər olan müsbət ədədlərin ədədi ortası vahiddən kiçik deyil.

Həlli. a) olduqda və deməli , yəni hökm doğrudur.

b) Fərz edək ki, hökm sayda ədəd üçün doğrudur. Hökmün doğruluğunu

şərtini ödəyən sayda ədədləri üçün isbat edək.

Burada iki hal ola bilər: ya bütün ədədlər 1-ə bərabərdir və bu halda onların cəmi olur və bərabərsizliyin doğruluğu isbat edilir, ya da ədədlər içərisində heç olmasa biri vahiddən fərqlidir. Sonuncu halda digər, heç olmasa, bir ədəd də olmalıdır ki, o da vahiddən fərqli olsun, bununla belə, verilmiş şərtin ödənməsi üçün, məsələn, onlardan biri vahiddən kiçikdirsə, digəri vahiddən böyük olmalıdır. Ümumiliyi pozmadan fərz edək ki, və .

İndi sayda

ədədlərinə baxaq. Onların hasili vahidə bərabərdir və qəbul edilmiş fərziyyəyə görə

Sonuncu bərabərsizliyi nəzərə alaraq yaza bilərik:

Beləliklə, üçün hökmün doğru olmasından onun qiymətində doğruluğu alınır. Deməli, ümumiyyətlə, hökm doğrudur.

Qeyd edək ki, isbatdan görünür ki, bərabərlik yalnız o vaxt doğrudur ki, olsun.

Nəticə olaraq isbat etmək olar ki, ixtiyari müsbət ədədlər olarsa onların ədədi ortası həndəsi ortasından kiçik deyil, yəni

Bunun üçün yuxarıda isbat edilmiş bərabərlikdə

götürmək kifayətdir.

Xüsusi halda olarsa tapırıq ki, və ya

Həmçinin olarsa və burada götürsək məlum bərabərsizliklərini alırıq.

Misal 11. eyni işarəyə malik olub -1-dən böyük olan ədədlər olduqda

Bernulli bərabərsizliyinin doğruluğunu göstərin.

Həlli. olduqda bərabərsizliyin doğruluğu aydınıdr. Tutaq ki, olduqda bərabərsizlik doğrudur və göstərək ki, o olduqda da ödənir. olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

Burada nəzərə alınmışdır ki, eyni işarəyə malik olduqlarından

Xüsusi halda olduqda

bərabərsizliyini alırıq

Misal 12.

Həlli. olduqda bərabərsizlik doğrudur:

üçün bərabərsizliyin doğruluğunu qəbul edərək üçün yaza bilərik:




MÜHAZİRƏ 2
Çoxluqlar və onlar üzərində əməllər
Çoxluq ilkin anlayış olduğundan ona tərif verilmir. Çoxluq dedikdə müəyyən xassə və ya əlamətə əsasən seçilmiş obyektlərin küllisi (toplusu) başa düşülür. Çoxluğu təşkil edən obyektlər onun elementləri adlanır a elementi A çoxluğuna daxildirsə bu , əks halda kimi yazılır. Heç bir elementi olmayan çoxluğa boş çoxluq deyilir və kimi işarə olunur.

Tərif 1. A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğuna daxil olarsa A - ya B - nin alt çoxluğu deyilir (şək. 1.1a) və bu (və ya ) kimi yazılır.

Hesab edilir ki, hər bir çoxluq özünün, boş çoxluq isə hər bir çoxluğun alt çoxluğudur.

və həm də olarsa A və B çoxluqları bərabər çoxluqlar adlanır və bu belə yazılır: .

Tərif 2. İki çoxluqdan heç olmasa birinə daxil olan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların birləşməsi deyilir (şək. 1.1b):

və ya

Tərif 3. Hər iki çoxluğa daxil olan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların kəsişməsi deyilir (şək. 1.1c):

və ya

Qeyd edək ki, istənilən sayda çoxluğun birləşməsi və kəsişməsindən danışmaq olar:

<sub>{ x: elə var ki,

{ x: ixtiyar üçün</sub>

Tərif 4. A çoxluğunun B çoxluğuna daxil olmayan elementlərindən təşkil olunmuş çoxluğa A və B çoxluqlarının fərqi deyilir (şək. 1. 2a):

və

Tərif 5. A və B çoxluqlarının ortaq olmayan elementlərindən təşkil olunmuş çoxluğa bu çoxluqların simmetrik fərqi deyilir (şək. 1. 2c):

yaxud
Tərif 6. və elementlərindən təşkil olunmuş bütün mümkün nizamlanmış cütlər çoxluğuna və çoxluqlarının Dekart hasili deyilir və kimi işarə olunur:

Qeyd edək ki, istənilən sayda çoxluğun da Dekart hasilindən danışmaq olar.

Çoxluqlar üzərində yuxarıda təyin olunan əməllər aşağıdakı əsas xassələrə malikdir:

1) (yerdəyişmə)

2) (qruplaşdırma)

3) (paylanma)

4)

5)

6) olarsa

7)

8)

9)

Misal 13. olduğunu göstərin.

Həlli. və işarə edək. İxtiyari götürək. Onda, və və ya və və və ya və və ya , yəni . Deməli, .

İndi isə olduğunu göstərək. Bunun üçün ixtiyari götürək. Onda, və və ya və və ya və və , yəni . Deməli, həm də, . Başqa sözlə, .