Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

MühazirY 6. Qrupun tYrifi vY sadY xassYlYri

Yüklə 1,87 Mb.

səhifə	6/11
tarix	14.01.2017
ölçüsü	1,87 Mb.
	#32

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Lemma
Qrupların homomorfizmi
MühazirY 7. Qonşu siniflYr. Laranj teoremi. Faktor qrup
Teorem 7 ( Laqranj teoremi ).
NYticY.
Faktor-qrup vY ona aid misallar

MühazirY 6. Qrupun tYrifi vY sadY xassYlYri

CYbrlYr içYrisindY Yn sadYsi vY eyni zamanda Yn geniş tYtbiqlYrY malik olanı qrupdur. Qrupda ancaq bir binar YmYl tYyin olunmuşdur. TYbiYtdY baş verYn proseslYrin YksYriyyYtindY daxili simmetriya müşahidY olunur. BelY proseslYrin öyrYnilmYsinY grup nYzYriyyYsi tYtbiq olunur.

Tutaq ki, hYr hansı boş olmayan çoxluğu verilmişdir vY “” binar YmYli tYyin olunmuşdur. Bu YmYl hYr bir cütünY qarşı yeganY elementi qarşı qoyur.

TYrif 1. cYbri o zaman qrup adlanır ki, aşağıdakı şYrtlYr ödYnilsin:

1) “” YmYli assosiativdir, yYni ;

2) vahid element vardır, yYni elY elementi var ki, ;

3) ixtiyari elementi üçün elY elementi tapmaq olar ki,

Göründüyü kimi qrup (2,1,0) tipli cYbrdir. TYrifdYki elementi qrupun vahid, yaxud neytral elementi adlanır. elementinY isY x-Y görY simmetrik element deyilir. gYr qrupun YmYli multiplkativ yYni “” kimi yazılarsa, neytral element vahid, additiv yYni «+» kimi yazılarsa, onda neytral element - sıfır adlanır.

TYrif 2. qrupunda tYyin olunmuş YmYl kommutativ olarsa, yYni

şYrti ödYnilYrsY, ona kommutativ qrup yaxud Abel qrupu deyilir.

sonlu çoxluq olarsa, onda bu qrup sonlu qrup adlanır, çoxluğunun elementlYrinin sayına isY qrupun tYrtibi deyilir. sonsuz çoxluq olduqda isY belY qrup sonsuz tYrtibli qrup adlanır. MYsYlYn, çoxluğu vurma YmYli ilY qrup tYşkil edir. Bu qrupun tYrtibi 2- yY bYrarYdir. Aşağıdakı 1-4 misallarında sonsuz tYrtibli qruplara aid nümunYlYr verilmişdir.

Misallar. 1. rasional YdYdlYr çoxluğuda binar YmYl olaraq adi toplama YmYlini götürYk. Onda cütü (2) tipli cYbr olacaqdır. Toplama YmYli assosiativ vY kommutativdir, 0 neytral elementdir, işarYcY Yks elementY keçid isY simmetrik elementi verYcYkdir. Bu cYbr kommutativ qrupdur vY rasional YdYdlYrin additiv qrupu adlanır.

2. Sıfır elementi tYcrid olunmuş rasional YdYdlYr çoxluğunda binar YmYl olaraq adi vurma YmYlini götürYk. Onda cütü ranqı (2) olan cYbr olacaqdır. mYl kommutativlik vY assosiativlik xassYlYrinY malikdir, 1 neytral elementdir, simmetrik element tYrs elementY keçmYklY alınır. Buna görY dY cYbri kommutativ qrupdur.

3. cütü (2) tipli cYbrdir. Toplama YmYli assosiativ vY kommutativdir. 0 neytral elementdir, i.arYcY Yks elementYkeçid isY simmetrik elementi verYcYkdir. Bu cYbr kommutativ qrupdur vY hYqiqi YdYlYrin additiv qrupu adlanır.

4. Sıfır elementi tYcrid olunmuş hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda binar YmYl olaraq adi vurma YmYlini götürYk. Onda cütü yenY dY ranqı (2) olan cYbrdir. mYl kommutativ vY assosiativdir, 1 neytral elementdir, simmetrik element tYrs elementY keçmYklY alınır. DemYli, bu cYbr kommutativ qrupdur.

5. Tutaq ki, ixtiyari boş olmayan çoxluqdur. ilY çoxluğunun bütün mümkün biyektiv inikaslar çoxluğunu işarY edYk. çoxluğunda inikasların “ “ kompozisiya YmYli tYyin olunmuşdur. Buna görY dY cütü cYbr olacaqdır. Kompozisiya YmYli assosiativ YmYldir vY eynilik inikası onun neytral elementidir. Eyni zamanda hYr bir biyektiv inikas tYrsi olan inikasdır vY tYrs inikas simmetrik element rolunu oynayır. DemYli, cYbri kommutativ olmayan qrupdur. CYbrdY kompozisiya YmYli çox zaman multiplikativ şYkildY yazılır, yYni vY inikaslarının kompozisiyası kimi işarY olunur.

6. FYrz edYk ki, müstYvi üzYrindY, başlanğıc nöqtYlYri qeyd olunmuş O nöqtYsindY

olan istiqamYtlYnmiş parçalar (vektorlar) çoxluğudur. Paralleloqram qaydasına YsasYn iki belY vektorun cYmi yenY dY başlanğıcı O nöqtYsindY olan vektordur. Asanlıqla yYqin etmYk olar ki, bütün baxılan vektorlar çoxluğu vektorların toplanması YmYlinY nYzYrYn kommutativ qrup YmYlY gYtirir. Bu qrupu (2,1) tipli cYbri kimi işarY etmYk olar.

7. CYbrY misal olaraq cütünü götürYk; burada müstYvinin koordinat başlanğıcı Ytrafında dönmYlYr çoxluğunu göstYrir. DönmY, yaxud fırlanma müstYvinin özünY inikasıdır. Bu inikas inyektivdir vY baxılan cYbr kommutativ qrupdur (cYbri YmYl burada dönmYlYrin kompozisiyasından ibarYtdir). Bu qrup müstYvinin dönmYlYr qrupu adlanır. Qrupun neytral elementi sıfır bucaq qYdYr dönmY, yYni eynilik inikasıdır. bucağı qYdYr dönmYnin Yksi isY bucağı qYdYr dönmYdir (simmetrik element). Qeyd etmYk lazımdır ki, olarsa, vY bucağı qYdYr iki dönmY bYrabYr hesab olunur.

Qrupun sadY xassYlYri

Bundan sonra Yksi xüsusi olaraq qeyd olunmadığı bütün hallarda biz qrupun YmYli üçün multiplikativ yazılışdan istifadY edYcYyik. İndi biz qrupların bilavasitY tYrifdYn, yYni qrupun aksiomlarından alınan Yn sadY xassYlYr ilY tanış olaq. Qrup kommutativ olmadığı üçün sağ vahid elementin vY ya sağ simmetrik elementin, sol vahid vY ya simmetrik elementY bYrabYr olmasını gözlYmYk olmaz. Lakin indi görYcYyimiz kimi qrupun aksiomları bunu tYmin edir.

Lemma 1. Tutaq ki, ixtiyari elementi sol simmetrik element -dir, yYni . Onda bYrabYrliyi dY doğrudur.

İsabtı. TYrifY YsasYn, yaza bilYrik:

Lemma 1 isbatı olundu.

Lemma 1 göstYrir ki, sol simmetrik element eyni zamanda sağ simmetrik elementdir vY tYrsinY.

Lemma 2. İxtiyari üçün simmetrik elementi yeganYdir.

İsabtı. Tutaq ki, elementi üçün iki simmetrik element vardır: vY . Onda tYrifY YsasYn

.

Lemma 2 isbat olundu.

Lemma 3. ElY yeganY elementi var ki, o hYm sağ vY hYm dY sol vahid elementdir.

İsabtı. Qrupun tYrifindY ikinci aksiom ödYnilYrsY, onda

Bu halda ixtiyari elementi üçün

yYni elementi eyni zamanda sol vahid elementdir. İndi fYrz edYk ki, başqa bir neytral elementi dY vardır. Onda:

BelYliklY, lemma 3 isbat olundu. Bu lemma göstYrir ki, sağ vY sol vahidlYr dY yeganY bir vahid elementlY üst-üstY düşür.

Lemma 4. İxtiyari iki elementlYri üçün vY tYnliklYrinin hYlli vardır vY yeganYdir.

İsabtı. Aydındır ki, elementi birinci tYnliyin köküdür, elementi isY ikinci tYnliyin köküdür. Doğrudan da,

GöstYrYk ki, bu hYllYr yeganYdir. Bunu ancaq birinci tYnlik üçün göstYrYk. İkinci tYnlik üçün dY isbat eyni qayda ilY aparıla bilYr. Tutaq ki tYnliyin başqa hYllidir. Onda,

BelYliklY, . Lemma 4 isbat olundu.

Lemma 5. (İxtisar qanunu). İxtiyari üç elementlYri üçün vY bYrabYrliklYrinin hYr birindYn alınır.

İsabtı. işarY etsYk vY elementlYri eyni bir tYnliyinin köklYri olacaqdır. Lemma 4-Y YsasYn, bu tYnliyin hYlli yeganYdir, yYni . Eyni qayda ilY ikinci bYrabYrlikdYn dY alındığını göstYrmYk olar. Lemma 5 isbat olundu.

Lemma 6. İxtiyari elementi üçün .

İsabtı. Doğrudan da,

Olduğundan ixtisar qanununa YsasY buradan tYlYb olunan münasibYt alınır. Lemma 6 isbat olundu.

Lemma 7. İxtiyari vY elementlYri üçün .

İsabtı. Doğrudan da,

olduğundan buradan tYlYb olunan münasibYt alınır. Lemma 7 isbat olundu.

Qrupun (2,1) tipli cYbr şYklindY yazılışı da geniş yayılmışdır. BelY yazılışda simmetrik elementin götürülmYsi ayrıca unar YmYl kimi verilir. Buna görY dY artıq unar YmYlin nYticYsi kimi cimmetrik elementin yeganYliyi tYmin olumnuşdur vY demYli, lemma 2-yY ehtiyac qalmır. BYzYn qrupun kimi yazılışından istifadY olunur ki, burada üç baş YmYl qeyd olunur: bunlardan birincisi binar, ikincisi vahid elenemtin seçilmYsindYn ibarYt olan 0 -ar YmYl vY üçüncüsü isY tYrs elementY keçmYkdYn ibarYt olan unar YmYldir. Çox zaman qrupun tYrifini daha da sadYlYşdirmYk üçün onu (2,1) tipli elY cYbr kimi müYyyYn edirlYr ki, aşağıdakı şYrtlYr ödYnilsin:

1) “·” YmYli assosiativdir, yYni ;

2) elY elementi var ki, ;

3) hYr bir elementi üçün elY elementi tapmaq olar ki,

münasibYti ödYnilsin.

BelY tYrif verildikdY 1-3 lemmalarına ehtiyac qalmır, çünki onların hökmü YvvYlcYdYn qYbul edilir. Aşağıda biz ancaq qrupun cYbri şYklindY yazılışından istifadY edYcYyik.

Qrupların homomorfizmi

Tutaq ki, iki vY qrupları vY çoxluğunun -Y inikası verilmişdir.

TYrif 1. gYr f inikası

şYrtini ödYyYrsY onda belY inikas homomorfizm adlanır.

TYrif 2. f homomorfizmi biyektiv inikas olarsa, onda o, izomorfizm adlanır. gYr inikası izomorfizm olarsa, onda vY qrupları izomorf qruplar adlanır vY

bu belY işarY olunur (çox vaxt sadYcY kimi dY yazılır).

Teorem 1. gYr homomorfizmi verilYrsY, onda aşağıdakı münasibYtlYr doğrudur:

.

İsbatı. HYr şeydYn YvvYl qeyd edYk ki,

Onda, buradan ixtisar qanununa YsasYn yaza bilYrik . Daha sonra

DemYli, . Teoremin isbatı başa çatdı.

TYrif 3. çoxluğunun

bYrabYrliyi ilY tYyin olunan alt çoxluğuna homomorfizmin nüvYsi deyilir;

bYrabYrliyi ilY tYyin olunan alt çoxluq isY homomorfizmin obrazı adlanır.

Misallar. 1. ilY müsbYt hYqiqi YdYdlYrin multiplikativ qrupunu işarY edYk. inikası çoxluğunu -Y inikas edir.

bYrabYrliyi göstYrir ki, bu inikas qrupunun hYqiqi YdYdlYrin additiv qrupuna homomorfizmidir. O eyni zamanda hYm dY izomorfizmdir.

2. inikası qrupunun qrupuna homomorfizmidir. Bu homomorfizm izomorfizm deyil. Homomorfizmin nüvYsi iki tYrtibli qrupudur.

3. inikası qrupunun qrupuna izomorfizmidir.

MühazirY 7. Qonşu siniflYr. Laranj teoremi. Faktor qrup

FYrz ki, hYr hansı alt çoxluqdur. Aydındır ki, çoxluğunun elementlYri üzYrindY -dY tYyin olunan YmYllYri yerinY yetirmYk olar.

TYrif 1. gYr cYbri qrup olarsa, onda o, verilYn qrupunun alt qrupu adlanır.

Aydındır ki, cYbri o zaman alt qrup olar ki, o, ilk növbYdY baş YmYllYrY nYzYrYn qapalı olsun. Burada baş YmYllYr dedikdY cYbrinin baş YmYllYri nYzYrdY tutulur. Bu halda asanlıqla yoxlamaq olar ki, qrupun tYrifindYki bütün şYrtlYr ödYnilir. Başqa sözlY, cYbri o zaman alt qrup olar ki, çoxluğunun ixtiyari iki elementinin hasili, ixtiyari elementinin tYrsi (simmetrik elementi) vY qrupunun neytral elementi -a daxil olsun. BelYliklY, alt qrup eyni zamanda alt cYbr kimi dY müYyyYn oluna bilYr.

Misallar. 1. Tam YdYdlYrin qrupunda bütün cüt YdYdlYr çoxluğu alt qrup tYşkil edir.

2. İki elementli çoxluğu bütün sıfırdan fYrqli rasional YdYdlYrin multiplikativ qrupunun alt qrupudur.

3. multiplikativ qrupu qrupunun alt qrupudur.

Teorem 1. Tutaq ki, boş olmayan hYr hansı alt çoxludur. Onda,

şYrti cYbrinin -dY alt qrup olması üçün zYruri vY kafi şYrtdir.

İsbatı. vvYlcY şYrtinin doğruluğunu qYbul edYk. olduda bu şYrtdYn olması alınır. Onda, vY demYli, . NYticY etibarı ilY, cYbrdir vY qrupun tYrifinin bütün şYrtlYri ödYnilir. BelYliklY, şYrtin kafiliyi isbat olundu. ZYrurilik dY oxşar yolla isbat oluna bilYr.

Teorem 2. HYr hansı alt qruplar ailYsinin kYsişmYsi dY alt qrupdur.

İsbatı. Teoremi sonlu sayda alt grupları üçün isbat edYk.

işarY edYk. Teorem 1-Y YsasYn göstYrYk ki, . HYr bir şYrtini ödYyYn k üçün alt qrupdur vY buna görY dY . Onda

Teorem 2 isbat olundu.

Teorem 3. Homomorfizmin nüvYsi vY obrazı uyğun olaraq vY qruplarının alt qruplarıdır.

İsbatı. Teoremin isbatını nüvY üçün verYk. Teorem 1-Y YsasYn göstYrmYk kifayYtdir ki, . Aydındır ki,

.

DemYli, . Oxşar üsulla obrazın da alt qrup olduğunu göstYrmYk olar. Teorem 3 isbat olundu.

_{Tutaq ki, G hYr hansı sonlu vY ya sonsuz qrupdur. H isY onun alt qrupudur. G qrupundan hYr hansı a elementi götürYk. Aşağıdakı kimi iki alt çoxluğa baxaq.}

_{Analoji olaraq ixtiyari}

_{altqrupları verilYrsY, onda}

_{alt çoxluğunu müYyyYn etmYk olar. Aydındır ki,}

_{münasibYti yalnız vY yalnız o zaman ödYnilYr ki,}

_{doğru olsun.}

_{Teorem 4. (1) şYklindY tYyin olunan φ münasibYti ekvivalentlik münasibYtidir.}

_{İsbatı. a) İxtiyari xG elementi üçün}

_{olduğundan φ refleksiv münasibYtdir.}

_{b) x,yG elementlYri verilYrsY, onda,}

_{DemYli, φ simmetrik münasibYtdir.}

_{c) gYr x,y,zG olarsa, onda}

_{yYni φ tranzitiv münasibYtdir. Teorem 1 isbat olundu.}

_{Teorem 1-Y YsasYn, φ münasibYti G çoxluğunda bölgü müYyyYn edir.}

_{TYrif 2. gYr aG qrupun hYr hansı elementi vY H hYr hansı alt qrupudursa, onda aH alt çoxluğuna G qrupunun H alt qrupuna nYzYrYn sol qonşu sinfi deyilir.}

_{Analoji olaraq, Ha – sağ qonşu sinif anlayışı daxil edilir. H -ın özü dY qonşu sinifdir (hYm sağ, hYm sol). Doğrudan da, H = H e=e H yaza bilYrik.}

_{Qonşu siniflYr aşağıdakı xassYlYrY malikdir.}

_{1.Qonşu sinfin hYr bir elementi onu müYyyYn edir.}

_{2. İki müxtYlif sol qonşu sinif (sağ qonşu sinif) ortaq elementY malik deyil.}

_{3. H qonşu siniflYr içYrisindY yeganY alt qrupdur.}

_{4. G qrupunun H alt qrupuna nYzYrYn 2 sol qonşu sinfi ya üst-üstY düşür, ya da heç bir ortaq elementY malik deyil.}

Teorem 5. münasibYti ilY tYyin olunan hYr bir ekvivalentlik sinfi H alt _{qrupuna nYzYrYn sol qon}_ş_{u sinifdir.}

_{İsbatı. Tutaq ki, A hYr hansı ekvivalentlik sinfidir vY aA onun ixtiyari elementidir. Onda hYr hansı bG elementinin A-ya daxil olması üçün}

_{münasibYtinin ödYnmYsi zYruri vY kafidir. DemYli,}

_{Bu ekvivalensiya göstYrir ki, A=aH. Teorem isbat olundu.}

_{Asanlıqla yYqin etmYk olar ki, A sinfi a elementindYn asılı deyil. Teorem 5-in tYrsi dY}

_{doğrudur, yYni hYr bir sol qonşu sinif ekvivalentlik sinfidir. Analoji olaraq, sağ qonşu siniflYr dY G qrupunun bölgüsünü müYyyYn edir.}

_{Tutaq ki, G tam YdYdlYrin additiv qrupu, H alt qrupu isY 4-Y bölünYn YdYdlYr qrupudur. a vY b YdYdlYri yalnız vY yalnız o zaman eyni bir sol qonşu sinfY daxil olacaqdır ki, bunların 4-Y bölünmYsindYn alınan qalıqlar bYrabYr olsun. Onda, G- nin H alt qrupuna nYzYrYn sol qonşu siniflYrY ayrılışı aşağıdakı 4 qonşu sinifdYn ibarYtdir:}

_{1. 4-Y böldükdY qalığı 0-a bYrabYr olan YdYdlYr çoxluğu , yYni H-ın özü;}

_{2. 4-Y böldükdY qalığı 1-Y bYrabYr olan YdYdlYr çoxluğu;}

_{3. 4-Y böldükdY qalığı 2-yY bYrabYr olan YdYdlYr çoxluğu;}

_{4. 4-Y böldükdY qalığı 3-Y bYrabYr olan YdYdlYr çoxluğu.}

_{Teorem 6. İxtiyari iki qonşu sinif arasında biyektiv uyğunluq vardır.}

_{İsbatı. Tutaq ki, aH vY bH qonşu siniflYri verilmişdir. Bu qonşu siniflYr üst –üstY düşYrsY, onda teoremin hökmü doğrudur. ks halda aH ∩ bH kYsişmYsi boş çoxluqdur.}

_{inikasını aşağıdakı kimi tYyin edYk. İxtiyari}

_üçün

_{işarY edYk. Bu inikas süryektivdir. Onun inyektiv olması isY ixtisar qanunundan alınır:}

_{BelYliklY, bu inikas hYm süryektiv, hYm dY inyektiv inikasdır. Onda f biyektiv uyğunluqdur. Teorem isbat olundu.}

_{TYrif 3. G qrupunun H alt qrupuna nYzYrYn hYr bir ayrlışında qonşu siniflYrin sayına (bu say sonlu olarsa) H alt qrupunun indeksi deyilir vY (G:H) kimi işarY olunur.}

_{Sonlu qruplar üçün alt qrupun tYrtibi vY indekslYri ilY qrupun tYrtibi arasında sıx YlaqY vardır vY bu YlaqY aşağıdakı teoremlY ifadY olunur.}

_{Teorem 7 (Laqranj teoremi). HYr bir sonlu qrupun alt qrupunun tYrtibi (elYcY dY indeksi) bu qrupun tYrtibinin bölYnidir.}

_{İsbatı . Doğrudan da tutaq ki, G qrupunun tYrtibi n-dir. H isY bu qrupun k tYrtibli alt qrupudur. G qrupunun H alt qrupuna nYzYrYn sol qonşu siniflYrY ayrlışına baxaq. Tutaq ki, qonşu siniflYrin sayı t-dir (yYni H -ın indeksi t-yY bYrabYrdir). Onda G qrupunun H alt qrupuna nYzYrYn hYr bir sol qonşu sinfi, teorem 6-ya YsasYn, k sayda müxtYlif ünsürlYrY malik olacaqdır. (çünki H ,G –nin k tYrtibli alt qrupudur). Bütün belY qonşu siniflYrin birlYşmYsi isY G çoxluğunu verir. Buradan alırıq ki, n=kt. DemYli, k vY t YdYdlYrinin hYr biri n-in bölYnidir. Teorem 7 isbat olundu.}

_{NYticY. Sonlu qrupun hYr bir elementinin tYrtibi qrupun tYrtibinin bölYnidir.}

_{TYrif 4. gYr G qrupunun H alt qrupuna nYzYrYn ixtiyari x elementi ilY düzYlYn sol vY sağ}

_{qonşu siniflYri eyni olarsa, yYni xH=Hx olarsa, onda H alt qrupuna G-nin normal bölYni, yaxud normal alt qrupu deyilir.}

_H_{alt qrupu normal bölYn olarsa, istYnilYn}_a_{elementi üçün}_aH=Ha_{olar. Ba}_ş_{qa sözlY}_G_{qrupunun istYnilYn}_a_{elementi vY}_H_{alt qrupunun hYr hans}_ı_h_{ünsürlYri üçün}_H_{-da elY}_g_{elementi var ki,}_ah=ga_yaxud_aha^-1_=g_.

_{Misallar.1. HYr bir qrupun vahid alt qrupu onun normal bölYnidir. Çünki qrupun istYnilYn a elementi üçün ae=ea şYrti hYmişY doğrudur.}

_{2. G qrupu özü özünün normal bölYnidir. Çünki qrupun istYnilYn elementi üçün aG=Ga.}

_{3. Abel qrupunun bütün alt qrupları normal bölYndir. Çünki Abel qrupunda vurma YmYli kommutativlik xassYsinY malikdir.}

Faktor-qrup vY ona aid misallar

_{Tutuaq ki, G qrupu verilmişdir vY H onun normal bölYnidir. G qrupunun qonşu siniflYri çoxluğunu G/H ilY işarY edYk. İxtiyari a vY b elementlYri götürYk vY aH vY bH qonşu siniflYri cütünY (ab)H qonşu sinfini qarşı qoyaq. GöstYrYk ki, bu uyğunluq a vY b elementlYrindYn asılı deyil. Başqa sözlY, bu siniflYrdYn birini (yaxud, hYr ikisini), mYsYlYn, aH sinfini müYyyYn edYn}

_{başqa c elementi götürülYrsY, onda (ab)H=(cb)H. Bunun üçün qeyd edYk ki,}

_{Onda, yaza bilYrik:}

_çünki

_BelYliklY,

_{kimi tYyin olunan inikas vardır vY bu binar YmYl ilY G/H faktor çoxluğu qrup YmYlY gYtirir. Bu qrupa G qrupunun H normal bölYninY nYzYrYnfaktor-qrupu deyilir.}

_{Qrupun sonlu vY ya sonsuz olmasından asılı olmayaraq, onunfaktor-qrupu sonlu da ola bilYr, sonsuz da ola bilYr. Sonlu G qrupunun G/Hfaktor-qrupunun tYrtibi H normal bölYninin indeksinY bYrabYrdir.faktor-qrupa aid aşağıdakı misallara baxaq.}

Misal.1. Tam YdYdlYrin qrupunda bütün 7-yY bölünYm YdYdlYrin alt çoxluğu normal bölYndir. Z/7Z faktor çoxluğu 7 sinifdYn ibarYtdir:

7Z, 1+7Z, 2+7Z, 3+7Z, 4+7Z, 5+7Z, 6+7Z.

Bu siniflYr cYbri YmYli ilYfaktor-qrup YmYlY gYtirir.

2.HYqiqi YdYdlYrin multiplikativ qrupunda bütün müsbYt YdYdlYrin qrupu normal bölYndir. funksiyası hYr bir sıfırdan fYrqli hYqiqi YdYdY onun işarYsini qarşı qoyur. Bu inikas multiplikativ qrupların homomorfizmidir vY onun nüvYsi çoxluğudur. İki qonşu sinif vardır: müsbYt hYqiqi YdYdlYr çoxluğu ( ) vY mYnfi hYqiqi YdYdlYr çoxluğu

( ).

ŞYk. 1.

3.MustYvi üzYrindY düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindY koordinat başlanğıcından çıxan vektorlar (istiqamYtlYnmiş parçalar) çoxluğunu V ilY işarY edYk. Bu çoxluqda vektorların toplanması adi üçbucaq qaydası ilY müYyyYn olunur. Ox oxu üzYrindY yerlYşYn bütün vektorların H çoxluğu alt qrupdur. vektorunun qonşu sinfi şYklindYdir, yYni Ox oxunun vektoru ilY paralel köçürülmYsindYn alınır. Bütün koordinat müstYvisi, bir-birinY paralel belY düz xYtlYrY bölünür vY hYr bir düz xYtt bir qonşu sinif müYyyYn edir. HYr bir düz xYtt Oy oxunu ancaq bir noqtYdY kYsir (bax şYkil 1). HYmin nöqtY Oy oxu üzYrindY yeganY istiqamYtlYnmiş parçasını müYyyYn edir vY bu qonşu sinif kimi yazıla bilYr. çoxluğu bütün qonşu siniflYrin çoxluğu olacaqdır. oldudqa, iki qonşu sinfin cYmi

kimi birqiymYtli tYyin olunur. BelYliklY, qonşu siniflYrin toplanması Oy oxu üzYrindY yerlYşYn istiqamYtlYnmiş parçaların toplanmasına gYtirilir.

Normal bölYn homomorfizmin nüvYsi olması ilY xarakterizY olunur.

_{Teorem 8.}_H_{alt qrupunun normal bölYn olmas}_ı_{üçün onun}_G_{qrupunun hYr hans}_ı_ba_ş_{qa bir qrupa}

_{homomorfizminin nüvYsi olması zYruri vY kafi şYrtdir.}

_İ_sbat_ı_._{vvYlcY fYrz edYk ki,}_H=Kerf_{hYr hans}_ı_{homomorfizmin nüvYsidir. GöstYrYk ki,}_G_{qrupunun ixtiyari}_x_{elementi üçün}_xH=Hx_{vY ya}

HYmin nYticY isY aşağıdakı münasibYtlYrdYn alınır:

DemYli, . Eyni qayda ilY göstYrY bilYrik ki, vY ya . DemYli,

İndi isY göstYrYk ki, hYr bir normal bölYn müYyyYn bir homomorfizmin nüvYsidir. H normal bölYn olarsa, G/Hfaktor-qrupu vardır. G qrupunun bufaktor-qrupa hYr bir xH qonşu sinfinY qarşı f(x) elementini uyğun qoyan inikasına baxaq. GöstYrYk ki, o, biyektiv homomorfizmdir. İnikasın süryektivliyi aydındır. gYr

olarsa, yYni x vY y elementlYri eyni qonşu sinfY daxil olarsa, onda

DemYli, tYyin olunan inikas ancaq sinifdYn asılıdır. Bu inikas homomorfizmdir. Doğrudan da, iki sinfin hasili onları müYyyYn edYn elementlYrin hasilinin sinfinY bYrabYrdir: . NYhayYt, göstYrYk ki, bu inikas inyektivdir, yYni

olmasından alınır. Doğrudan da,

Bu halda vY demYli . Teorem 8 isbat olundu.

Aşağıdakı teorem homomorfizmlYr haqında Ysas teorem adlanır.

_{Teorem 9.}_{Tutaq ki,}

_{G qrupunun başqa U qrupuna süryektiv homomorfizmi, H isY onun nüvYsidir. Onda,}

.

_{İsbatı. G/Hfaktor-qrupunun U-ya hYr bir xH qonşu sinfinY qarşı f(x) elementini uyğun qoyan}

_{inikasına baxaq. Yuxarıda deyildiyi kimi o, x elementindYn asılı deyil vY inyektivdir. Teoremin şYrtindYn bu inikasın süryektivliyi alınır. DemYli o, biyektiv inikasdır. GöstYrYk ki, tYyin etdiyimiz inikas homomorfizmdir. Bu aşağıdakı münasibYtdYn alınır:}

_{Teorem 9 isbat olundu.}

Yüklə 1,87 Mb.

Dostları ilə paylaş:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11