Reja: Aksiomatik metod

2-Mavzu: Butun nomanfiy sonlar to’plamini aksiomatik qurish.

Reja:

Aksiomatik metod.

Piano aksiomalari.

Matematik induksiya prinsipi

Adabiyotlar: [1], [2], [3], [5], [8]

«Aksioma» - aksios so’zidan kelib chiqan bo’lib shubha qilinmaydigan tasdiqni bildiradi. Natural sonlar haqidagi aksiomalar grek matematigi O. Piano nomi bilan bog’liq. U birinchi marta quyidagi aksiomalar sistemasining yaratdi.

Natural sonlar qatorida shunday bir element mavjudki u hech bir sondan keyin kelmaydi. U 1 sonidir.

Ixtiyoriy natural sondan keyin keladigan va undan bitta ortiq bo’lgan bittagina son mavjud.

Birdan boshqa har bir natural sondan oldin keladigan va undan bitta kam bo’lgan bittagina natural son mavjud.

Agar a va b natural sonlar teng bo’lsa ulardan keyin keluvchi va lar ham teng bo’ladi.

Agar biror xossa natural sonlar qatoridagi birga nisbatan hamda ixtiyoriy natural sonlarga nisbatan to’g’ri bo’lib bevosita undan keyin keladigan natural songa nisbatan ham o’rinli bo’lsa bu xossa natural qatorning hamma sonlari uchun ham o’rinlidir.

Biror qoida n=1 uchun o’rinli, n=2 uchun o’rinli, n=3 uchun o‘rinli bo’lsa barcha n lar uchun o’rinlidir deb xulosa chiqarish har doim ham to’g’ri bo’lavermaydi. Ammo n=1, n=2, n=3 da to’g’ri bo’lgan holda n=k da to’g’ri ekanligi faraz qilingan holda n=k+1 da to’g’riligi keltirib chiqarilsa bu qoida ixtiyoriy natural son uchun o’rinli bo’ladi deb xulosa qilish mumkin. Bunday xulosa chiqarish usulini matematik induksiya usuli deyiladi.

Masalan: Magazin vetrenasida piramida qilib olma terilgan bo’lib eng tepasida bitta olma uning tagida 2·2=4 ta va uning tagida 3·3=9 ta

olma … eng tagida n·n=n2 ta olma bor. Uyimda hammasi bo’lib

1·1+2·2+3·3+…+n·n dona olma bor. Bu yig’indini eramizdan oldin (287-212) yillarida yashagan buyuk olim «Arximed» ushbu formulani topgan. Uning o’rinliligini matematik induksiya metodida quyidagicha ko’rsatgan:

1·1+2·2+3·3+…+n·n = (1)

ning to’g’riligini isbotlaymiz n = 1 da 1·1=

1 = 1 to’g’ri

n = 2 da 1·1+2·2=  5 = 5 to’g’ri

ixtiyoriy n = k uchun tog’ri deb faraz qilamiz

1·1+2·2+3·3+…+k·k=

va k dan keyin keluvchi n = k + 1 uchun to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz n = k + 1 da

1·1+2·2+3·3+…+k·k+ (k+1) (k+1) =

n=k da to’g’ri deb faraz qilinib n = k+1 da ham to’g’riligi ko’rsatildi, Demak xulosa ixtiyoriy natural sonda

1·1+2·2+3·3+…+n·n = tenglik to’g’ri bo’ladi.

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar:

Aksioma nima?

Piano aksiomasini ayting?

Matematik induksiya usulini tushuntiring?