Reja: Yakinlashuvchi ketma ketlik ketma-ketliklar va ularning xossalari

4-MAVZU. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari.
REJA:

1. 
   Yakinlashuvchi ketma ketlik ketma-ketliklar va ularning xossalari.
   
2. 
   Limitning yagonaligi.
   

1-ta’rif. Agar biror M son mavjud bo’lib, barcha n₀ N lar uchun |x_n|M tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda ( ) ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
1 . Agar va >r ( Isbot. bo’lsin, ni tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. bo’lganidan uchun son topilib, larda bo’ladi. dan bo’lib, ekanligi kelib chiqadi. ( hol ham shu kabi isbotlanadi).
Natija. Agar va ( ) bo’lsa, y holda biror nomerdan boshlab bo’ladi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi.
Isbot. bo’lsin. Biror son olaylik. U holda biror nomerdan boshlab tengsizlik o’rinli bo’ladi. sonlarning eng kattasini M desak, ixtiyoriy lar uchun ekanligi kelib chiqadi. Bundan ₀ ketma-ketlikning chegaralanganligi isbot bo’ladi.
3⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega.
Isbot. Faraz qilaylik ketma-ketlik va limitlarga ega bo’lib, bo’lsin. Haqiqiy sonlar to’plamining zichlik xossasiga binoan shunday r son mavjud bo’lib, bo’ladi. bo’lganligi uchun biror nomerdan boshlab, bo’lganligi uchun biror nomerdan boshlab bo’ladi. deb olsak, n>n₀ larda va kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi.
Tenglik va tengsizlikda limitga o’tish.
1. Agar barcha nN lar uchun bo’lib, , bo’lsa, u holda bo’ladi.
Isbot. Isboti limitning yagonaligidan kelib chiqadi.
2. Agar barcha n lar uchun bo’lib, , =b bo’lsa, u holda a b bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik ,bo’lsin. , va b sonlar orasida r son olsak, , , ,bo’lgani uchun biror , nomerdan boshlab x >r, lim =b, b0=max{n₁,n₂} deb olsak, n>n larda x >r va u 3. Agar barcha n lar uchun y_nz_n bo’lib, =a =a bo’lsa, u holda lim =a bo’ladi.(isbotlang)

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Toshmetov O’., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematik analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -53-56b.
2. Claudia Canuto, Anita Tabacco Mathematical analysis. I. Springer-Verlag. Italia, Milan. 2008.- 72-74p.
3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I T.:«Voris-nashriyot». 2010 y. 44–50 b.