Tutash muhit zarrasi tezligi uchun Koshi-Gelmgols formulasini yozaylik

Stоks fоrmulasi
Tutash muhit zarrasi tezligi uchun Koshi-Gelmgols formulasini yozaylik:

Endi tutash muhitda yopiq S kontur olaylik va shu kontur bo’yicha sirkulatsiyani hisoblaylik. Agar S konturga shu tutash muhitga tegishli sirt tortilgan va u N ta konturi S_k va sirti lardan iborat qilib bo’lingan deb tasavvur qilinsa, u holda yoza olamiz:

Tenglikning o’ng tomonida o’zaro teskari yo’nalishlar bo’yicha olingan va miqdor jihatdan faqat ishoralari bilan farq qila oladigan integrallar o’zaro qisqarib chap qismiga, ya’ni birinchi navbatda olingan S kontur bo’yicha tezlik vektori sirkulatsiyasini beradi.
Endi har bir uchun lar yetarlicha kichik deb qaraylik (N ni yetarlicha katta son qilib tanlash hisobiga bunga erishish mumkin). U holda konturi S_k va unga tortilgan sirt nuqtalari harakatlanuvchi tutash muhit uchun tegishli deb qarasak, ularning har biri uchun Koshi-Gelmgols formulasini yoza olamiz:

Bu ifodani yuqoridagi yig’indi ifodasiga qo’yib, hisoblashlar bajarilsa, topa olamiz:

Bu yerda birinchi va uchinchi hadlar potensialli bo’lgani tufayli, ulardan olingan integrallar nolga tengligi hisobga olindi. Endi ni hisoblaylik. sirt yetarlicha kichik bo’lganligi uchun:


yoki, bari bir,

ga ega bo’lamiz. Bu formulalar esa Stoks formulalari deyiladi.


TEZLIK VEKTORINING DIVERGENSIyaSI.
GAUSS-OSTROGRADSKIY TEOREMASI hAQiDA

Tezlik vektorining Divergensiyasi tushunchasini kiritaylik. Buning uchun biror onda cheksiz kichik hajmli sferani olaylik va uning hajmi bo’lsin deylik. Tutash muhit harakati tufayli ko’rilayotgan tutash muhit zarrasi vaqtda uning hajmi quyidagicha hisoblanadi:

bu yerda:

Tezlik vektori ning divergensiyasi deb - skalyar miqdor ga aytiladi:

yig’indi, ravshanki, deformatsiya tezligi tenzorining birinchi invariantidir va, demak, bu miqdor koordinatalar sistemasini almashtirganda o’zgarmaydi:

Shunday qilib, tezlik vektorining divergensiyasi deb, ta’rifga ko’ra, quyidagi miqdorga aytish mumkin:

Dekart koordinatalari sistemasida:

Matematik analiz kursida to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida olingan hajmda aniqlangan P, Q, R funksiyalar shu hajmni chegaralovchi sirtda ham aniqlangan bo’lsa, ushbu formula olingan edi:

Bu yerda sirtga normal va tashqi yo’nalgan birlik vektordir.
Agar biror

vektor olinsa, yoza olamiz:

Bu formula Gauss-Ostrogradskiy formulasi deyiladi. Agar umumiy holda olingan vektori o’rniga tutash muhit tezlik maydonini aniqlovchi vektor olinsa, ushbu muhim formulaga ega bo’lamiz:

Agar ajratilgan hajm cheksiz kichik hajm sifatida qaralsa, o’rta qiymat haqida teorema asosida yoza olamiz:
,
.