2. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

4-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning berilgan M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasi

f=Ax+By+αx +βy (5)

ko‘rinishda ifodalanib, unda A=A(x,y) va B=B(x,y) argumentlarning x va y orttirmalariga bog‘liq bo‘lmagan sonlar, α va β esa x→0, y→0 holda cheksiz kichik miqdorlar bo‘lsa, unda bu funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi. To‘la orttirmaning x va y orttirmalariga nisbatan bosh, chiziqli qismi Ax+By funksiyaning differensiali deyiladi.

z=f(x,y) funksiyaning differensiali df yoki df(x,y) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, (5) tenglikdan

df=Ax+By (6)

formula orqali topiladi.

Misol sifatida f(x,y)=x2+xy+3y funksiyaning differensiallanuvchi ekanligini ta’rif bo‘yicha tekshiramiz. Buning uchun dastlab funksiyaning to‘la orttirmasini topamiz:

Misol sifatida f(x,y)=x2+xy+3y funksiyaning differensiallanuvchi ekanligini ta’rif bo‘yicha tekshiramiz. Buning uchun dastlab funksiyaning to‘la orttirmasini topamiz:

f = [( x +x)2+ (x +x)( y + y)+3(y + y)] –[ x2+xy+3y]=

=2xx+(x)2+ xy+ yx+ xy+3y= (2x+y)x+(x+3)y+xx+xy.

Bu tenglikni (5) bilan taqqoslab, A=2x+y, B=x+3, α=x , β=x ekanligini ko‘ramiz. Bunda 4-ta’rifdagi barcha shartlar bajarilmoqda va shu sababli bu funksiya tekislikdagi ixtiyoriy M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali , (6) tenglikka asosan, quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: