2. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

4.Yuqori tartibli differensiallar. Endi yuqori tartibli differensiallar tushunchasini kiritamiz. z=f(x,y) funksiya II tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin. Bu holda
to‘la differensial ikki o‘zgaruvchili funksiya sifatida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘ladi. Shu sababli df differensialning d(df)differensiali haqida so‘z yuritish mumkin .
6-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiya df differensialning d(df)differensiali
mavjud bo‘lsa, u funksiyaning II tartibli differensiali deb ataladi va d2f kabi belgilanadi.
Agar z=f(x,y) funksiya II tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uning II
tartibli differensiali d2f mavjud va uning ta’rifi hamda to‘la differensial formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:
Bunda argument differensiallari dx va dy o‘zgarmas son singari qaraldi hamda
aralash hosilalar haqidagi teoremadan foydalanildi.
Demak, II tartibli differensial d2f funksiyaning II tartibli hosilalari orqali quyidagicha ifodalanadi:
(16)
I tartibli df differensialni ifodalovchi (13) tenglikdan f “umumiy ko‘paytuvchini” shartli ravishda qavsdan tashqariga chiqarib va tenglikni ikkala tomonini unga “qisqartirib”, ushbu operator belgisiga ega bo‘lamiz:
(17)
Izoh: Matematik analizda operator atamasi funksiyaga funksiyani mos qo‘yadigan akslantirishni ifodalaydi. (17) operator har bir f funksiyaga uning df to‘la differensialini mos qo‘yadi.
(17) operator orqali II tartibli d2f differensialni hisoblashni ifodalaydigan (16) formulani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
Umuman olganda, z=f(x,y) funksiya n-tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uning n-tartibli differensiali dnf mavjud bo‘lib, dnf=d(dn–1f) rekurrent formula orqali aniqlanadi va
operator formula yordamida hisoblanadi. Nyuton binomi formulasidan (I bob,§3, (5) formula) foydalanib, (19) operatorli tenglikdan n-tartibli dnf differensialni
z=f(x,y) funksiyaning n-tartibli hosilalari orqali ifodalovchi ushbu formulaga ega bo‘lamiz:
(18)
(19)
(20)
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning n-tartibli dnf differensiali bir o‘zgaruvchili funksiyaning n-tartibli differensialiga o‘xshash vazifani bajaradi va ulardan funksiyalarning xususiyatlarini o‘rganishda va turli masalalarni yechishda foydalaniladi.
http://fayllar.org