Adil Əliyev – İnf – 11, Furye sıraları

Funksiyanın ortoqonal sistemləri

Keçən mövzuda -nin qoyulması mühakiməmizin nümunəsi idi, belə ki, ondan riyazi analizdə müxtəlif ayrılışların öyrənilməsində tez-tez istifadə olunur.

Əgər aralığında təyin olunmuş və funksiyalarının hasilinin inteqralı varsa və sıfra bərabərdirsə, onda və funksiyaları həmin aralıqda ortoqonaldır:


parçasında təyin olunmuş, həmin aralıqda öz kvadratları iləbirlikdə inteqrallanan

Funksiyalar sisteminə baxaq.onda biz bildiyimizə görə cüt-cüt götürülmüş bu funksiyaların hasili də inteqrallanandır. Əgər verilmiş sistemin funksiyaları cüt-cüt ortoqonaldırsa,

(15)
onu funksiyanın ortoqonal sistemləri adlandırırlar.Burada hesab edəcəyik ki,
>0 . (16)
Belə ki, sistemin tərkibində eyniliklə sıfra bərabər olan funksiya yoxdur.

(n=0,1,2,...) şərti gözlənilərsə, belə sistemə normal sistemlər deyilir. Əgər bu şərtlər ödənilməzsə, lazım gəldikdə əvvəlcədən normal hesab ediləcək sisteminə keçmək olar.

Misallara müraciət edək.

1. 
   Funksiyaların ortoqonal sistemlərinə misal, aralığında
   

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,...,cosnx, sinnx,... (17)

triqonometrik sistemləri göstərmək olar.Bu sistemin ortoqonallığı (6),(8),(9) və (13) münasibətlərindən alınır.Lakin (10) və (14)-ə uyğun normal olmayacaq. (17) triqonometrik funksiyasını uyğun vuruğa(множитель) vursaq, aşağıdakı normal sistemi alarıq:

2. 
   Qeyd edək ki, (17) və sistemləri intervalında ortoqonal olmayacaq.Belə ki,
   

, burada n,m müxtəlif misilli ədədlərdir.

Əksinə sistemin hər bir hissəsi ya təkcə kosinuslardan

(18)

ya da təkcə sinuslardan

(19)

ibarətdir, ayrılıqda bu aralıqda ortoqonallığı asan yoxlamaq olar.

3. 
   Əhəmiyyətli dərəcədə ayrılan sistemlərə baxaq:
   

Və

Bunlardan hər biri aralığında ortoqonaldır.

4. 
   Triqonometrik funksiyalardan ibarət daha çətin qrtoqonal sistemlərə misal olaraq transendent tənliyi göstərmək olar:
   

(c=const). (20)

İsbat etmək olar ki, onun sonsuz müsbət kökləri vardır:

Qrafiki olaraq tənliyin kökləri absisi olan tangensoidlə düz xəttinin kəsişməsindən alınan nöqtələr olur.(şəkil2)

Sistemi quraq:

Asanlıqla hesablamaq olar ki,(burada )

Burada , (n≠m) olarsa, (20)-dən istifadə etsək, aşağıdakını alarıq:

(n≠m) .
Bununla göstərilən sistemin aralığında ortoqonallığı quruldu.

Əgər (c=const) tənliyinin müsbət köklər ardıcıllığıdırsa, onda anoloji nəticəni təqribən aşağıdakı sistemə də aid etmək olar:

Ancaq nə bu , nə də digər sistem normal olmayacaq.

5. 
   Ortoqonal sistemlərə əsas misallardan biri aralığında Lejandra çoxhədlisidir:
   

Belə ki,

Onda normal sistemin alınması üçün bu polinomları uyğun olaraq -ə vurmaq lazımdır
6) Nəhayət, təyinatcız(бесселевый) funksiyalarla əlaqədar misala baxaq. Sadəlik üçün

Funksiyasını götürməklə kifayətlənək, lakin deyilənlər n>0 olduqda funksiyası üçün də doğru olacaq.

Təyinatsız funksiyalar nəzəriyyəsində funksiyası elə qurulur ki, o coxlu müsbət köklərdən ibarət olur.


Tənliyi köçürüb , funksiyasının bu şərti ödədiyini qəbul etsək,

α və β ədədləri necə olursa olsun, asanlıqla aşağıdakıları alarıq:

Birinci bərabərliyi -ə, ikinci bərabərliyi isə -ə vurub, hədbəhəd birini digərindən çıxsaq, aşağıdakı bərabərliyi alarıq:

Buradan alınır ki, əgər α≠β olarsa,

(21)
Əgər α= , olarsa, aşağıdakı münasibətə gələrik:

.

Bu isə onu göstərir ki, aralığında funksiyalar sistemi ortoqonaldır və bu sistem normal olmayacaq.

Tutaq ki, parçasında hər hansı ortoqonal sistemi verilmişdir.

parçasında təyin olunmuş funksiyasını -dən ibarət sıralara ayrılışını qarşımıza məqsəd qoyaq:

(22)
Bu ayrılışdakı əmsalları tapmaq üçün onun mümkünlüyünü qəbul edərək yuxarıdakı xüsusi halı tətbiq edə bilərik.Ayrılışın hər iki tərəfini -ə vurub, hissə-hissə inteqrallasaq alarıq:

Ortoqonallığa əsasən( (15) və (16) ) birindən başqa sağdakı inteqralların hamısı sıfır olacaq və aşağıdakı bərabərlik asanlıqla alınacaq:

(23)

[(7),(11),(12) düsturları yuxarıdakı düsturların xüsusi halıdır. ]

(23) düsturu vasitəsilə düzəlmiş əmsallı (22) sırası verilmiş funksiyanın (ümumiləşdirilmiş)

Furye sıraları adlanır, əmsallar isə sisteminə uyğun Furye əmsalları adlanır.

Normal sistemlərdə (23) düsturu sadə görünür:

(23^*)


funksiyası üçün qurulmuş ümumiləşdirilmiş Furye sıraları onunla formal əlaqədardır.

Ümumi halda bu əlaqə aşağıdakı kimi işarə olunur:

~ (22^*)

Bu sıranın funksiyasına yığılması , triqonometrik sırada olduğu kimi araşdırmaya ehtiyacı var.

Bakı Dövlət Universiteti, tətbiqi – riyaziyyat və kibernetika fakültəsi