Aksiomatik metod haqida tushuncha. Aksiomalar sistemasina qо‘yiladigan talablar

Aksiomatika masalalari

Reja:

1. 
   Aksiomatik metod haqida tushuncha.
   
2. 
   Aksiomalar sistemasina qо‘yiladigan talablar.
   

Geometriya asoslari matematikag bir qismi bо‘lib, unda geometriyaning asosiy tushunchalari, aksiomalari va umuman geometrik sistemaning deduktiv tarzda qurilishi, shuning bilan birga aksiomalar orasidagi munosabatlar о‘rganiladi.
Matematikada aksiomatik (deduktiv) metodning yaratilishiga grek olimlaridan Pifagor, Aristotel, Platon, Yevklid ilk qadam quyganlar, Bu borada ayniqsa Yevklidnnng (eramizdan avvalgi 340—287 y.y.) xizmati kattadir. Yevklid «Negizlar» («Asoslar») deb atalgan asarida geometriyani mantiqiy jihatdan mukammal asoslash maqsadida avval ta’riflar keltirib, keyin aksiomalar, postо‘latlar sistemasini qabul qildi. Shu asosda u о‘z zamonasi talablariga tо‘la-tо‘kis javob beradigan geometriya «binosini» qurishga erishdi.
Noyevklidiy geometriyanpng vujudga kelishi va tо‘plamlar nazariyasinnng yaratilishi fanning deyarli barcha tarmoqlari uchun muhim omil rolini uynadi.
Aksiomatik metodnkng mohiyatini tushunish maqsadida maktabda о‘rganiladigan geometriya kursiga murojaat qilayliq Unda bir qancha teoremalar isboglangan bо‘lib, isbotlangan hap bir teorema о‘zidan oldin kelgan teoremalarga asoslanadi, shu yusinda ish kо‘rishda isbotsiz qabul qilinishi zarur bо‘lgan ibora (jumla) lar va tushunchalarga duch kelamiz: natijada ta’rifsiz qabul qilingan obyektlar (masalan, nuqta, tо‘g‘ri chiziq, tekisliq masofa tushunchalari), ularni bog‘lovchi nisbatlar (masalan, nuqtaning tug‘ri chiziqda yotishi, tug‘ri chiziqdagi nuqtaniig shu tug‘ri chiziqdaagi boshqa ikki nuqta «orasida» yotishi, kesma va burchaklarning teng (kongruent) ligi) vu­judga keladi.
Asosiy obyektlar, ularni bog‘lovchn nisbatlar va tegishli aksio­malar sistemasini tanlab olish muhim masaladir. Aksiomatik metod asosida muhokama yuritishii qisqaroq qilib quyidagicha tavsiflash mumkin: avvalo ta’riflanmaydigan asosiy obyektlar tanlab olinadi, keyin ularni о‘zaro bog‘lovchi asosiy munosabatlar - aksiomalar sistemasi tanlab olinadi, sо‘ngra esa shu aksiomalar asosida mantiq (logika) kridalariga asoslangan holda yangi-yangi jumlalar (teoremalar) isbotlanadn.
Qabul kilinadigan aksiomalar sistemasi quyidagi talablarga javob berishi kerak:
1) mantiq qonunlari asosida aksiomalar sistemasidan bir-birini inkor etuvchi ikkita jumla (gap) kelib chiqmaydigan bо‘lsin, ya’ni aksiomalar sistemasi zidlikka ega bо‘lmasin;
2) muayyan aksiomalar sistemasida ishtirok etadigan har bir aksioma qolganlarining mantikny xulosasi bо‘lmasligi teorema sifatida isbotlanmasligi, ya’ni aksiomalar sistemasidagi har bir aksioma erkinlik xususiyatiga ega 6о‘lishi kerak;
3) aksiomalar sistemasi katoriga shu sistemadan mantiqan kelib chiqmaydigan yangi aksioma) si qо‘shish mumkinmi, ya’ni aksiomalar sistemasi tuliq (mukammal)lik xossasiga bunsunadimi.
Geometriyani aksiomatik qurishdagi bu muhim savollarga XIX asrdagina tо‘la javob topildi. Bu savolga javob berishda ulur rus matematigi N. I. Lobachevskiy ijodi va XIX asr olimlaridan YE. Beltrami, A. Puankare, F. Kleyn tadqiqotlari hal qiluvchi rol uyiadi. Aksiomalarning belgili snstemasi asosida olib boriladigan muhokamalarning zidlikka olib kelish - kelmasligi masalasini hal qilib berish uchun matematikada model (interpretatsiya, sharxlanish) royasi ishlatiladi.
Ta’rif - Ma’lum obyektlarning biror tо‘plami aniqlangan bо‘lib, shu tо‘plam elementlari orasida asosiy munosabat (nisbatlar) saklanib, unda aksiomalarning barcha shartlari bajarilsa, bu aksiomalar sistemasining modeli qurilgan deyiladi.
Misollar. 1. Butu i sonlar tо‘plami qushish amaliga nisbatan, gruppa tashkil qilgani uchun, bu tо‘plam gruppaviy aksiomalar sistemasiniig modeli bо‘la oladi (bunda asosiy obyektlar butun sonlar bо‘lib, asosiy munosabat qushish amalidir).
2. Tekislikdagi barcha geometrik vektorlar tо‘plami chiziqli fazo hosil qilgani uchun, u chiziqli fazo aksiomalari sistemasining mo­deli bо‘la oladi (bunda asosiy obyekt geometrik vektor bо‘lib, asosiy nisbatlar vektorlar ustidagi chiziqli amallar — qushish, vektorni son (skalyar) ga kо‘paytirishdir).
Ta’rif. Aksiomalar sistemasidan bir-birini inkor kiladigan ikkita jumla mantiqan kelib chiqmasa, bu sistema zidsiz (qarama-qarshiliksiz) sistema deb ataladi. Aks xrlda aksiomalar snstemasi zidli sistema deyiladi.
Matematikada zidli sistema bilan ish kurilmaydi. Aksiomalar sistemasining zidsiz ligi qanday isbot qilinadi?
Aksiomalar sistemasining zidsizligi shu sistema modelining tan­lab olinishi bilan hal qilinadi.
Eramizdan avvalgi VI - V asrlarda geometriya kо‘proq Janubiy Italiyada rivojlana bordi. Bu davrni Pifagor davri deyish mumkin. Bu davrda ham faktlarni ilmiy asoslashga urinish bо‘lgan. Quyidagi teoremalarning mantiqan nsboti ham shu davrga tо‘g‘ri keladi:
1. Uchburchak inki burchaklarining yigindisi 180° ga teng.
2. Tekislikni muktazam uchburchaklar, turtburchaklar va olti burchaklar bilan qoplab chiqish mumkin.
3. Tо‘g‘ri burchakli uchburchak gipotenо‘zasiga yasalgan, kvadrat yuzi katetlariga yasalgan kvadratlar yuzlari yig‘indisiga teng.
Bundan boshqa kо‘pgina ma’lumotlar ham bu davrning mahsuli bо‘lgan. Masalan, kvadrat tenglamani geometrii yechish usuli, muntazam kо‘pyoqning besh turi (tetraedr, geksaedr, oktaedr, dodekaedr va ikosa­edr). Erishilgan yutuqlarning eng muhimi-umumiy о‘lchovga ega bо‘lmagan kesmalarning mavjudligimi isbotlash katta ilmiy yutuq hisoblanadi.
Eramizdan avvalgi IV asrda geometriyaning rivojlanish markazi Afina shahriga kо‘chadi. Matematika fanining bu davrdagi rivojida Platon, Aristotel, Demokritning falsafa maktablari va Yevdoks, Menexm kabi ulkan matematiklarning xissalari katta. Bu ilmiy maktab namoyandalari quyidagi ikki masalani hal qilishga uringan:
1) geometriyani ilmiy asosda bayon etib berish prinsipi, uning jumla iboralarini aksioma, ta’rif va teoremalarga ajratish; 2) isbotlashning formasi va metodini ishlab chiqish: analiz, sintez, teskarisidan isbot qilish va hokazo.
Bu masalalar asosan mantiq (logika) fanining yaratuvchisi Aris­totel (eramizdan avvalgi 384 — 322 yillar) ishlarida о‘z aksini topdi. Xulosa qilib aytganda, Yevklidgacha bо‘lgan davrda fanni (ayniqsa geometriyani) deduktiv negizda qurishning asosiy prinsiplari mukammal ishlab chiqilgan, ular quyidagilardir:
1. Asosiy tushunchalar (obyektlar, ularni о‘zaro bog‘lovchi nisbatlar) kursatiladi.
2. Barcha kerakli aksiomalar bayoni beriladi.
3. Teoremalar keltiriladi.
4. Har bir teorema о‘zidan avvalgi teoremalarga va aksiomalarga asoslanib isbotlanadi.
5. Yangi kiritilgan tushunchalarga ta’rif beriladi. Geometriyani deduktiv prinsipda qurishni grek olimi Yevklid о‘z zamonasiga nisbatan qoniqarli hal qilib, 13 ta kitobdai iborat «Negizlar» nomli asarini yozdi.
Insoniyat tarixida Yovklidnipg «Negnzlar» asari bilan taqqoslash mumkin bо‘lgan va hanо‘zgacha о‘z qadr-qiymatini yuqotmay kelgan, о‘z zamonasiga nisbatan chuqur ilmiy asosda qaratilgan birorta asarni kursatib bо‘lmaydi. Uning faqat 1482 ynldan boshlab 500 martadan kо‘proq nashr kilingan va dunyodagi juda kо‘p tillarga tarjima qilingani quyidagi fikrimizning yorqin dalilidir. «Negizlar» ning qisqacha mazmuniga tuxtalib о‘taylik.
I kitobda uchburchaklarning tenglik shartlari, uchburchak tomonlari bilan burchaklari orasidagi munosabatlar, uchburchaklarni yasash, tug‘ri chiziqlarning parallellash va perpendikulyarligi, parallelogramm va uchburchakning yuzlari hamda Pifagor teoremasi bor.
II kitobda , va shu kabi ayniyatlar geometrik formada talqin qilinadi. Bu kitob kvadrat tenglamani geometrik usulda yechish bilan tugallashdi. kitob aylanaga bag‘ishlanadi. Bunda asosan aylanaga о‘tkazilgan kssuvchi, urinma, markaziy burchaklar, ichki chizilgan burchaklar
qaraladi. kitobda aylanaga ichki va tashqi chizilgai kо‘pburchaklar qaralib, muntazam turtburchak, beshburchak, oltiburchak va un beshburchaklarni yasash kо‘rsatiladi.
V kitob asosan proporsiyalar nazariyasiga bag‘ishlangan.
VI kitobda prsporsiyalar nazariyasining tatbiqi sifatida kо‘pburchaklar uxshashligi nazariyasi va kо‘pburchak yoqlariii topish beriladi.
VII-IX kitoblar arifmetika va sonlar iizariyasiga bag‘ishlangan.
Shunisi diqqatga sazovorki, bu kitoblarda ikki butun sonning eng katta umumiy buluvchisini topish algoritmi hamda tub sonlarning cheksiz kо‘p ekanligi isbotlanadi.
X kitobda proporsional miqdorlar nazariyasi qaraladi.
XI-XIII kitoblar stereometriyaga bag‘ishlangan bо‘lib, ularda kо‘pyoklar, aylanma jismlar va ularning hajmlari qaralib, muntazam kо‘pyoklar haqida ma’lumot beriladi. Keltirilgan 13 ta kitobning har biri tushunchalarning ta’riflaridan boshlanadi, masalan, 1 kitobda 23 ta ta’rif berilgan, ulardan ba’zilarini keltiramiz.
I. Nuqta shudirkim, u bо‘laklarga ega emas.
II. Chiziq ensiz о‘zunlikdir.
III. Chiziqning chegaralari nuqtalardir.
IV. Tug‘ri chiziq deb shunday chiziqqa aytiladiki, u о‘zining hamma
nuqtalariga nnsbatan bir xil joylashgandir.
V. Sirt shudirkim, u о‘zunlikka va enga ega.
VI. Sirtnnng chegaralari chiziqlardir.
VII: Tekislik shunday sirtki, u о‘zidagi hamma tо‘g‘ri chiziqlarga nnsbatan bir xil joylashgandir.
VI11. Yassi burchak deb, bir-biri bilan kesishgan va bir tekislikda joylashgan, leknn bir tо‘g‘ri chiziqda yotmagan ikki chiziqning bir-biriga qiyaligiga aytiladn va hokazo.
Ta’riflardan sо‘ng postо‘latlar (hozirgi vaqtda postо‘lat bilan ak­sioma bir-biridan farklanmaydi) va aksiomalar beriladi.
Postо‘latlar:
I. Har bir nuqtadan istalgan nuqtagacha tug‘ri chiziq utkazish mumkin bо‘lsin.
P. Chegaralangan har bir tug‘ri chiziqni istalgancha davom ettirnsh mumkii bо‘lsin.
III. Istalgan markazdan har qanday radius bilan aylana chizish mumkin bо‘lsin.

1- chizma

IV. Hamma tug‘ri burchaklar о‘zaro teng bо‘lsin.

V. Bir tug‘ri chiziq ikki tug‘ri chiziq bilan kesishib, ular bilan yig‘indisi 2d dan kichik bо‘lgan nchki bir tomonli burchaklar tashkil qilsa, ularni bu yig‘indi 2d dan kichik tomonga qarab davom qildirganda, ular shu tomonda kesishadngan bо‘lsin.
Bu oxirgi postо‘lat parallellar haqidagi Yevklidning mashhur beshinchi postо‘latidir.
Aksiomalar:
I. Uchinchi mikdorga teng bо‘lgan miqdorlar о‘zaro teng.
P. Teng miqdorlarga baravardai qо‘shilsa, ularning yig‘indilari ham teng bо‘ladi.
III. Teng mikdordan baravardan ayirilsa, qoldiqlari ham teng bо‘ladi va hokazo.
Postо‘lat va aksiomalardan sо‘ng jumlalar nomi bilan teoremalar va yasashga doir masalalar keltiriladi.
1. Jumla (teorema). Belgili kesmada (tо‘g‘ri chiziqda) teng tomon­li uchburchak yasalsin.
Yasash: AV kesma (tо‘g‘ri chiziq) berilgan bо‘lsin (1-chizma). A ni markaz qilib AV radius bilan sirkul yordamida BCD yoy chizamiz (III postо‘lat), sо‘ngra V ni markaz qilib VA radius bilan ASE yoy chizamiz (III postо‘lat), bu yoylariing kesishish nuqtasi S orqali SA, SV tо‘g‘ri chiziqlarni о‘tkazamiz (I postо‘lat). A nuqta DBC aylananing markazi bо‘lgani uchun AS kesma AV ga tengdir (XV ta’rif), sо‘ngra V nuqta ASE aylananing markazi bо‘lgani uchun VS kesma AV ga tengdir (XV ta’rif). I aksiomaga asosan SA kesma SV ga teng. Demak, SA, AV, VS kesmalar о‘zaro teng, demak ABC teng tomonli uchburchak (XX ta’rif). Shuni isbotlash (yasash) talab qilingan edi.
«Negizlar» ning muhim tarixiy ahamiyatidan yana biri shundan iboratki, u geometriyani mantiqiy jihatdan jiddiy ravishda bayon etish g‘oyasini bizning davrimizgacha yetkazdn. Bizning davrimizga bо‘lgan fan tarixining buyuk namoyandalaridan Kopernik, Galiley, Dekart, Nyuton, Leybnits, Eyler, Lomonosov, Lobachevskiy, al-Xorazmiy, Beruniy, Ibn-Sino, Ulug‘bek, Umar Xayyom va boshqalar ham matematikani Yevklidning «Negizlar» idan о‘rganishgan. Lekin bu asar ham kamchiliklardan xoli emas. «Negizlar» ning asosiy kamchiliklarn nimalardan iborat?
1. Yevklid tomonidan bsfilgan ba’zi ta’riflar hech narsani aniqlamaydi (masalan, nuqta ta’rifi) va Yevklidning о‘zi bu ta’riflardan fondalanmaydi. Tariflarda о‘zi ta’riflanishi kerak bо‘lgan tushunchalar bor, masalan «о‘zunlik», «en», «chegara» va hokazo. Lekin aylana, uchburchaq tukrnburchaq utmas va utkir burchakka bergan ta’riflarn krniqarli.
2. Yevklid ayrim jumlalarni postо‘lat, ayrimlarini esa aksioma deb
atagan, bu ikki tushuncha orasida mantiliy farq yuq, ba’zi kishilarning fikriga saragaida u postо‘lat deb faqat geometrik figuralarning xossalarnni aniqlanadigan jumlalarni olgan, qolgan har qanday miqdorlar xossalarini aniqlovchi jumlalarni aksiomalar sifatida qabul qilgan. Zamonavny adabiyotda aksioma bilan postо‘lat bir ma’noda ishlatiladi.
«Negizlar» ning asosiy kamchiliklaridan yana bnri unda berilmagan aksnomalardan, masalan, о‘zluksizlik aksiomasidan foydalanish qoidarining yuz berishidir. Yuqorida teng tomonli uchburchakni yasash masalasini kurganimizda ikki aylananing S nuqtada kesishish fakta hech joyda kayd qilinmagan. Mantiqiy jihatdan bu yerda puasson bor, bu aylanalarning kesishishi keyinchalik keladigan mulohaza (о‘zluk­sizlik tushunchasi) ga asoslanadi.
Xuddi shunga uxshash targ‘ib va harakat aksiomalari ham yetishmaydi (bu aksiomalarning mazmuni bilan keyinroq tanishamiz).
«Negizlar» ga tanqidiy nuqtai nazardan qaraganda, shuni ham
e’tiborga olish kerakki, uning asosiy kamchiliklari faqat XIX asrning oxirlaridagnna oshkor qilindi.