Auto-similaritatea traficului in internet

0 si ,

(15)

Concluzia care se desprinde este ca Y(t) si versiunea sa scalata in timp Y(at)- dupa normalizarea cu - trebuie sa aiba aceeasi distributie. Pentru , are loc o dilatare in timp in timp si un factor de contractie se aplica pentru ca Y(at) sa poata fi comparabil cu Y(t). in cazul in care are loc o contractie in timp si atunci se aplica un factor de dilatare. a este variabil in timp ce H ramane constant. Dezavantajul major este acela ca Y(t) nu poate fi stationar din cauza normalizarii cu factorul . Pentru eliminarea acestei probleme se fac analize doar pe incrementul X(t)=Y(t)-Y(t-1). In cazul in care Y(t) este H-ss si are incrementi stationari, se spune ca Y(t) este H-sssi.

Se presupune ca Y(t) are dispersie finita. Se poate verifica ca E[Y(t)]=0 si .

(16)

Acestea se obtin din faptul ca

Din aceasta relatie se obtine . Aceasta poate fi folosita pentru deducerea functiei de auto-covariatie.
X^(m) poate fi vazut ca si o medie experimentala, un estimator de medie.

(17)

Prin urmare, daca Y(t) este un proces H-sssi, atunci incrementul sau X(t) satisface relatia :

(18)
Relatia de mai sus arata cum este legat X^(m) de X prin intermediul lui H in sensul unor distributii finite dimensional. X si m^1-HX^(m) trebuie sa aiba aceeasi structura de ordinul doi in mod exact sau asimptotic.

Daca procesul in timp discret satisface ecuatia pentru orice sau doar la limita , X(t) este exact auto-similar sau asimptotic auto-similar. In cazul gaussian aceasta definitie coincide cu auto-similaritatea de ordinul doi.

Dispersia estimatorului de medie al unei variabile aleatoare Z satisface relatia unde m este marimea esantionului.

Se deduce ca (19)

Daca X^(m) este vazut ca estimator de medie iar esantioanele sunt extrase independent, var(X^(m)) se reduce la daca Daca si atunci

cu si astfel incat se va forma o dependenta in cadrul careia var(X^(m)) converge catre 0 mai incet decat m^-1.
2.3.3 Dependenta de raza lunga

Se defineste functia de auto-corelatie

(20)

Pentru 0

cand .

Pentru cazul in care , r(k) se comporta asimptotic de forma pentru , unde c>0 este o constanta iar .

(21)

Functia de autocorelatie descreste incet ceea ce reprezinta motivul esential pentru care ea nu este sumabila.

Cand r(k) descreste hiperbolic, astfel incat sa nu fie sumabila, procesul stationar X(t) prezinta dependenta de raza lunga. X(t) prezinta dependenta de raza scurta daca functia de autocorelatie este sumabila.

O definitie echivalenta se poate da si in domeniul frecventa. Densitatea spectrala trebuie sa satisfaca relatia:

. (22)

Unde c>0 este o constanta si . Deci diverge in jurul originii ceea ce inseamna o contributie crescuta din partea componentelor de frecventa joasa.

Daca , atunci r(k)=0 iar X(t) prezinta dependenta de raza scurta deoarece este complet necorelat. In cazul in care , atunci , conditie rar intalnita de altfel. Daca H=1, r(k)=1 pentru toti si aceasta situatie se exclude. Valorile lui H mai mari decat 1 sunt interzise datorita conditiei de stationaritate a lui X(t).
Exista procese auto-similare care nu prezinta dependenta de raza lunga si procese care desi prezinta dependenta de raza lunga nu sunt auto-similare. De exemplu miscarea browniana este de tip fata de zgomotul alb gaussian ca increment al acesteia dar zgomotul alb gaussian nu prezinta dependenta de raza lunga. In cazul auto-similaritatii de ordinul 2 asimptotice, punand restrictia , auto-similaritatea implica dependenta de raza lunga si invers.
2.3.4 Distributia de tip coada lunga

Exista o stransa relatie intre distributiile cu coada lunga si dependenta de raza lunga.

O variabila aleatoare Z este distribuita dupa o lege cu coada lunga daca

cand (23)

Unde reprezinta indexul cozii sau parametrul de forma iar c este o constanta. Distributiile de tip coada scurta au cozi care descresc exponential spre deosebire de cele de tip coada lunga care descresc exponential.

O caracteristica a distributiilor de tip coada lunga este ca ele au varianta finita pentru .

In domeniul retelisticii de interes este doar domeniul .

Una din distributiile cu coada lunga des folosite este distributia Pareto caracterizata de functia de repartitie :

cu (24)

Unde reprezinta parametrul de forma iar b este parametrul de localizare.

Media este . Exista distributii, ca de exemplu Weibull si log normal care au cozi ce descresc subexponential dar care poseda varianta finita.

Principala caracteristica a unei variabile aleatoare care este distribuita dupa o lege de tip coada lunga este ca prezinta variabilitate extrema. O distributie cu coada lunga genereaza multe valori de probabilitati neneglijabile. Efectuand esantionari dintr-o astfel de distributie, se obtin multe valori mici si cateva valori foarte mari.

Coada lunga afecteaza esantionarea prin incetinirea convergentei mediei esantionului catre media populatiei prin marirea mediei pe masura ce se apropie de 1. De exemplu, in cazul unei legi de tip Pareto acest lucru poate rezulta intr-o subestimare astfel inact trebuie luata in considerare eroare absoluta in estimarea mediei pentru a evita deteriorarea estimarii rezultatelor.
2.3.5 Distributiile de tip coada lunga si predictibilitatea

Anumite variabile ale retelei- de exemplu marimea fisierelor si duratele conexiunilor- prezinta datorita traficului de retea dependenta de raza lunga si auto-similaritate.

Spre exemplificare se considera o variabila aleatoare Z distribuita dupa o lege cu coada lunga. Aceasta variabila aleatoare Z se considera ca descrie durata medie de viata a unei conexiuni in retea (exemplu conexiune TCP, fluxuri IP). Duratele conexiunilor sunt evenimente masurabile fizic in sensul ca se poate observa de exemplu ca o conexiune a fost activa timp de secunde. Pentru simplificarea discutiei, se considera ca timpul este discret, . Se considera , o functie indicator astfel incat A(t)=1 daca . Ceea ce intereseaza este probabilitatea ca cconexiunea sa persiste in timp daca a fost activa timp de secunde. Se estimeaza astfel probabilitatea conditionata:

(25)

poate fi exprimata ca :

(26)

Daca se calculeaza in cazul unor distributii cu coada scurta, adica pentru distributii ale caror cozi descresc exponential dupa legea unde c₁,c₂>0 sunt constante.

Al doilea termen al ecuatiei (26) se calculeaza astfel :

. (27)

Pentru valori ale luimari se obtine . Deci, in cazul distributiilor cu coada scurta predictia nu este influentata de cresterea lungimii perioadei de observatie.

In cazul distributiilor cu coada lunga,

. (28)

pe masura ce .

Astfel ca pe masura ce perioada de observabilitate a conexiunii creste, cu atat mai probabil este ca aceasta sa persiste.

Se defineste persistenta activitatii in unitati de timp.

(29)

In cazul unei distributii cu coada lunga, are un comportament asimptotic dupa legea .

astfel incat predictibilitatea este sensibila exponential la intervalul . Pentru orice , conditionand predictia de de o observatie pe termen lung al unei anumite activitati, eroarea de predictie poate fi redusa semnificativ.

In cazul unei distributii empirice cu suport finit, faptul ca are un punct finit de anulare nu va influenta in mod semnificativ calculele computationale privind predictibilitatea atat timp cat coada este suficient de lunga.

2.3.6 Distributiile cu coada lunga si dependenta de raza lunga

Distributiile cu coada lunga permit predictibilitatea si genereaza dependenta de raza lunga in traficul de retea.

Mandelbrot a introdus notiunile de miscare browniana fractionara si zgomot gaussian fractionar, acesta din urma fiind incrementul miscarii browniene fractionare. Acestea procese auto-similare gausiene care au in general dependenta de raza lunga. Structura gaussiana le face extrem de folositoare ca modele de trafic agregat unde agregarea surselor independente de traffic- conform teoremei limita centrala- conduce la o structura gaussiana. In practica, fluxurile de trafic nu trebuie sa fie independente daca sunt implicate in control de tip feedback si impart resurse commune in routere de tip bottleneck.

Miscarea browniana fractionara (FBM): Y(t), poarta denumirea de miscare browniana fractionara cu parametrul H, 0