Çoxluqlar nəzəriyyəsi alman alimi Q. Kantor tərəfindən XIX əsrdə riyaziyyata daxil edilmişdir. Kantora görə çoxluq bizim intuisiyamızın müəyyənləşdirdiyi müəyyən obyektlərin yığımıdır

Mühazirə 1

§ 1.1. Çoxluq. Çoxluqlar üzərində əməllər.

Çoxluqlar nəzəriyyəsi alman alimi Q. Kantor tərəfindən XIX əsrdə riyaziyyata daxil edilmişdir. Kantora görə çoxluq bizim intuisiyamızın müəyyənləşdirdiyi müəyyən obyektlərin yığımıdır. Bu obyektlər çoxluğun elementləri adlanırlar.

Çoxluqlar latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarə olunur. Məsələn: A, B, C, D, ... , X, Y; çoxluğun elementləri isə kiçik hərflərlə işarə olunur: a, b, c, ...,x, y, z,... .

Çoxluqların elementləri müxtəlif təbiətli ola bilər. Məsələn, çoxluq yaşıl almalardan, natural ədədlərdən, dənizdəki müxtəlif növ balıqlardan və sairdən ibarət ola bilər.

Çoxluğun elementlərinin sayı sonlu və ya sonsuz ola bilər.

a elementinin A çoxluğunun elementi olması a -nın A-ya daxil olması kimi başa düşülür və simvolu vasitəsi ilə şəklində işarə olunur. Əgər a elementi A çoxluğunun elementi deyilsə, onda bu simvolik olaraq şəklində işarə olunur. şərtləri qısa olaraq kimi işarə edilir.

Əgər A çoxluğu elementlərindən ibarətdirsə, onda bu simvolik olaraq şəklində işarə olunur. Xüsusi halda A çoxluğu yalnız bir elementindən ibarətdirsə, onda o, kimi işarə olunur.

İki çoxluq o vaxt bərabər hesab olunur ki, onlar yalnız eyni elementlərdən ibarət olsun. Çoxluqların bərabərliyi X=Y kimi yazılır.

Tərifdən aydındır ki, iki A və B çoxluğunun bərabər olmasını göstərmək üçün göstərmək lazımdır ki, əgər -dırsa, onda həm də -dir və tərsinə, -dirsə, onda həm də olur.

Qeyd edək ki, çoxluğun hər hansı bir elementi elə çoxluq da ola bilər. Məsələn, ABŞ-a çoxluq kimi baxsaq və onun elementlərini ştatlar qəbul etsək, onda bu çoxluq 50 elementdən (ştatdan) ibarət çoxluq olar. Bu çoxluğun elementləri – ştatlar da əyalətlərdən ibarətdir.

çoxluğu və kimi 3 elementdən ibarətdir. çoxluğu çoxluğuna bərabər deyil. Belə ki, birinci çoxluğun elementləri , ikinci çoxluğun elementləri isə 1, 2, 3 -dür.

Əgər A çoxluğunun bütün elementləri B çoxluğunun elementləridirsə, onda A çoxluğuna B çoxluğunun alt çoxluğu deyilir. A çoxluğunun B çoxluğunun alt çoxluğu olması kimi işarə olunur. Əgər və elə varsa ki, , onda A çoxluğuna B çoxluğunun məxsusi alt çoxluğu deyilir.

Təriflərdən aydın olur ki, alt çoxluq çoxluğun özü ilə üst-üstə düşə bilər. Lakin məxsusi alt çoxluq çoxluğun özü ilə üst-üstə düşə bilməz.

Heç bir elementi olmayan çoxluğa boş çoxluq deyilir və kimi işarə olunur. Boş çoxluğun bütün çoxluqlara daxil olduğu fərz olunur: .

Əgər çoxluğun elementləri hər hansı şərti ödəyirsə, onda bu aşağıdakı kimi işarə edilir: .

Tutaq ki, A və B çoxluqları verilmişdir (şəkil 1).

Şəkil 1.
Bu çoxluqların cəmi və ya birləşməsi elə çoxluğa deyilir ki, bu çoxluğun elementi A və B çoxluqlarından heç olmazsa birinin elementi olsun. İki A və B çoxluğunun cəmi kimi işarə olunur. Şəkil 1-də verilmiş A və B çoxluqlarının cəmi şəkil 2-də göstərilmişdir.

Şəkil 2.

Beləliklə tərifdən aydındır ki, əgər hər hansı element çoxluğuna daxildirsə, onda bu element ya yalnız A çoxluğuna, ya yalnız B çoxluğuna, ya da həm A çoxluğuna, həm də B çoxluğuna daxildir.

simvolu ilə A və B çoxluqlarının kəsişməsi işarə olunur. A və B çoxluqlarının kəsişməsi A və B çoxluqlarına eyni zamanda daxil olan elementlərdən ibarət çoxluğa deyilir (şəkil 3).

Şəkil 3.
simvolu ilə isə A və B çoxluqlarının fərqi işarə edilir. çoxluğu A çoxluğuna daxil olan və B çoxluğuna daxil olmayan elementlərdən ibarət çoxluqdur (şəkil 4).

Şəkil 4.
Əgər -dırsa, onda fərqi B çoxluğunun A çoxluğuna tamamlanması və yaxud B -nin A -da tamamlayıcısı adlanır.

Fərz edək ki. çoxluqları verilmişdir. işarə edək. çoxluqlarının birləşməsi elə çoxluğa deyilir ki, onun elementləri çoxluqlarından heç olmazsa birinə daxil olsun. Yəni, olması şərti x elementinin çoxluqlarından heç olmazsa birinə daxil olması ilə eynigüclüdür.

çoxluqlarının kəsişməsi şəklində işarə olunur və elə elementlərdən təşkil olunmuşdur ki, bu element çoxluqlarının hamısına eyni zamanda daxil olsun.

Qeyd edək ki, çoxluqları boş çoxluq olmadıqda onların birləşməsi də boş çoxluq olmaz. Lakin bu təklif çoxluqların kəsişməsi üçün doğru olmaya da bilər.

Misal. Fərz edək ki, - tələbə qızların çoxluğu, - isə tələbə oğlanların çoxluğudur. Onda tərifə görə - tələbələrin (qız və oğlanların) çoxluğu olar. olar.

Çoxluqların birləşməsi və kəsişməsi aşağıdakı xassələrə malikdir:

1˚. , (kommutativlik)

2˚. , (assosiativlik)

3˚. , (distributivlik)

4˚. əgər -dirsə, onda və olar.

Bu xassələrin doğruluğu yuxarıdakı təriflərin köməyi ilə asanlıqla isbat oluna bilər.