Dış lastik bak lastik

y(xj₊ı) -y(xj) =

*j+l -Xj

fark terimleriyle yaklaştırılarak k tane denklem elde edilir. Bu denklemlerin çözümüyle elde edilen y(x\) değerleri yaklaşık sonucu verir. Böyle bir yöntemde iki sorun söz konusudur. Birincisi, denklemleri bilgisayarda verimli bir biçimde çözülebilecek duruma indirgemektir, ikinci sorun ise hata çözümlemesidir. Yaklaşık çözümlerin anlamlı olabilmesi için yapılan hatanın önceden kestirilebilmesi gerekir. Bu iki sorun da sayısal çözümleme ve diferansiyel denklem- lerdeki temel kuramsal araştırma konuları arasındadır.

Kısmi diferansiyel denklem. İki değişkenli bir f(x,y) fonksiyonunda f_x(x,y) = df/dx kısmi türevi, fonksiyonun x'e göre değişimini, f_y (x,y) = Sf/dx ise f nin y değişkenine göre değişimini gösterir. dfldx türevi hesaplanırken, öteki değişken y sabit olarak düşünülür ve x'e göre türev alınır. Örneğin, fxy (x,y) = 8^}f/dx²dy üçüncü basamak türevi, diferansiyel geometri 138

iki kez x ve bir kez y'ye göre türev alınarak hesaplanır. Çözümlemenin temel sonucu, tüm türevleri sürekli olan fonksiyonlar için bu türevlerin almışındaki sıranın önemli olmadığını gösterir. Yani iki x, bir y türevi hangi sırayla alınırsa alınsın sonuç aynı çıkmalıdır.

Kısmi diferansiyel denklemlerde değişken sayısının birden çok olması, adi diferansiyel denklemlerde gözlenmeyen özelliklerin ve sorunların ortaya çıkmasına neden olur. Örneğin, adi diferansiyel denklemlerde olduğu gibi doğrusal kısmi diferansiyel denklemlerde de, çözümler bir vektör uzayı oluşturur, ama bu uzayın sonsuz boyutlu oluşu doğrusal cebrin uygulanabilirliğini oldukça kısıtlar. Bununla birlikte doğrusal denklemler, üzerinde en çok araştırma yapılmış ve sistematik özellikleri en çok belirlenmiş sınıflan oluşturur.

Kısmi diferansiyel denklemlerde de başlangıç değer, sınır değer gibi ek koşullu problemler vardır, k değişkenli bir başlangıç değer probleminde, başlangıç değerleri bir noktada değil, k boyutlu uzayın içinde k-1 boyutlu bir yüzey (eğri) üzerinde verilir. İki değişken durumunda bile düzlemdeki başlangıç eğrisi çok karmaşık bir yapıda olabilir; bu da kısmi diferansiyel denklem- lerdeki zorlukların bir göstergesidir. Adi diferansiyel denklemlerden farklı olarak kısmi diferansiyel denklemlerde başlangıç değer problemi için genel bir varlık, tekillik kuramı yoktur.

Doğrusal denklemler kendi içinde tümüyle farklı özellikler taşıyan alt sınıflara ayrılır. Tarihsel olarak ilk incelenen üç denklem örneği bu alt sınıfların birer temel örneğini oluşturur ve genel doğrusal denklemler kuramındaki belirgin özelliklerin çoğunu kapsar. Günümüzde yapılan araştırmaların büyük bir bölümü bu üç temel denklem çevresindedir.Bunlar,dalga denklemi (Un = Uxx + U_yy + U_zz), ısı denklemi, (Ut = U_xx + U_yy + U_zz ve Laplace denklemidir (U_Xx+Uyy+U_zz=ü).Fiziksel yorumlarda t zamanı, x, y ve z uzaydaki koordinatları gösterir. Adlarından da anlaşılacağı gibi dalga denklemi dalga hareketini, ısı denklemi ısı iletimi ve yayınımı olayını gösterir. Laplace denklemi, fizikte elektromagnetiz- ma kuramı gibi birçok uygulama alanında ortaya çıkar.

Adi diferansiyel denklemlerde olduğu gibi kısmi diferansiyel denklemlerde de doğrusal olmayan denklemler ve sayısal çözümlemeye ilişkin problemler önemli araştırma konuları arasındadır.

Tam diferansiyel denklem. Konuya ilişkin herhangi bir özel tekniğe gerek kalmaksızın çözülebilen diferansiyel denklemlere, tam diferansiyel denklem denir. Basit bir türev alma işleminin sonucu olan birinci basamaktan bir diferansiyel denklem, tam olarak tanımlanır. P(x,y)y' + Q(x,y) = 0 denklemi, Px(x,y) = Qy (x, y) koşulu durumunda tamdır. Bu durumda, x'e göre kısmi türevi P olan ve y'ye göre kısmi türevi Q olan bir R(x,y) fonksiyonu bulunur ve R(x,y) = c (c bir sabittir) denklemi, ilk diferansiyel denklemi sağlayan bir y fonksiyonunu tanımlar.

Örneğin, (x² + 2y)y' + 2xy +1=0 denkleminde, x²+2y'nin x'e göre türevi 2x, 2xy+Vin y'ye göre türevi de 2x'tir ve R-yx¹-+x+y² fonksiyonu, R_x=P ve R_y= Q koşullarını sağlar. yx²+x+y²=c denklemiyle tanımlanan fonksiyon, ilk denklemi çözer. Eğer bir denklem tam değilse, kimi zaman her teriminin, integral çarpanı olarak adlandırılan ve çoğunlukla 1 l(P_x±Q_y) olarak verilen uygun bir faktörle çarpılmasıyla tam hale getirilir. Örneğin, eğer 3y+2xy'=0 denklemi l/xy ile çarpılırsa, 3/x + 2y'ly=0 elde edilir ve bu da, denkleme uygulanan türev alma işleminin doğrudan sonucudur; bu sonucun doğal logaritmik fonksiyonu olan 3 İn x+2 İn y=c (ya da x³y²=c), ilk denklemi sağlayacak fonksiyonu tanımlar.