Déterminants

Déterminants

Objectifs :

1- Calculs pratiques de déterminants : opérations sur les lignes et les colonnes, factorisations, développements par rapport à une ligne ou une colonne...

2- Utilisation de la formule det(AB) = det A det B.

3- Utilisation du déterminant pour montrer qu'une famille est libre ou liée, pour montrer qu'une matrice est inversible, pour inverser une matrice

4- Formules de Cramer pour résoudre les systèmes de Cramer

Exercice 1

Calculer les déterminants suivants :

, , ,

,

, (de taille m)
Exercice 2

Soit a et soit .

1- Soient les vecteurs colonnes de . Expliciter, à l'aide de , le déterminant =det(K₁+K₃, K₂, K₃-K₁, K₄).

2- Calculer  et en déduire la valeur de .

Exercice 3

Soit x un paramètre réel et soit D(x) le déterminant suivant : .

1. 
   Calculer D(0).
   
2. 
   Montrer que D(x) est un polynôme de degré 3.
   
3. 
   Calculer D(x). (Indication : remplacer par exemple C₁ par C₁+C₂) et déterminer pour quelles valeurs de x il s’annule.
   

Exercice 4

On considère le déterminant suivant, de taille n 2 : .

1- Calculer ₃.

2- Montrer que pour tout n* on a _n+2=3_n+1–2_n (avec la convention ₀=1, _l=3).

3- En déduire par récurrence que pour tout n*, _n = 2^n+l - 1.
Exercice 5

Soit AM_n(). Calculer les valeurs possibles de det(A) dans les cas suivants :

1- Il existe k tel que A^k = 0

2- A² = A

3- A²=I_n

4- A est antisymétrique et n est impair

5- A⁴ = -I_n
Exercice 6

Soit B = avec m.

Pour quelles valeurs de m cette matrice est-elle inversible ?
Exercice 7

Soit E un espace vectoriel de dimension 3, soit (e_l, e₂, e₃) une base de E et soit m.

Soient V_l = e_l + 2e₂ + me₃, V₂ = 2e₁ + e₂ + me₃ et V₃ = 3me₁ + e₃.

Pour quelle(s) valeur(s) de m ces vecteurs forment-ils une famille liée ?

Exercice 8

Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leur inverse à l'aide de la comatrice :

A=, B=, C=, D= avec j=
Exercice 9

Résoudre les systèmes suivants par les formules de Cramer :

(S₁) , (S₂) , (S₃)