Fonction de transfert d’un système lti

Fonction de transfert d’un système LTI

La fonction de transfert de tout système automatisé, correspond au gain complexe du système. En résumé, c’est le calcul de la valeur de sortie sur la valeur d’entrée. Elle permet de mettre en évidence les particularités des systèmes étudiés, notamment l’ordre de celui-ci. Un système d’ordre « 1 » n’aura pas la même fonction de transfert qu’un système ordre supérieur. C’est une notion clé de l’automatique.

I.Définition de la fonction de transfert d’un système

On appelle fonction de transfert la fonction :

Remarque :

Lorsque la fonction est irreductible le degré du dénominateur D(s) nous donne l’ordre du système.

Elle s’obtient en calculant la transformé de Laplace de la réponse impulsionnelle. Mais on peut aussi l’obtenir en la calculant directement si on connaît l’équation du système.

Pour obtenir cette réponse on utilise l’équation différentielle du système. Prenons un exemple :

Avec m £n de telle manière que le système soit causal (la sortie ne précède pas l’entrée).

Pour simplifier le calcul on supposera les conditions initiales nulles.

Dès lors on applique la TL pour obtenir l’équation suivante :

On regroupe de chaque coté de l’équation les Y(s) et de l’autres les X(s) pour obtenir :

Il ne nous reste plus qu’à mettre ce résultat sous la forme. Ce qui donne :

Nous avons bien obtenu la fonction de transfert du système.

II.Mise en application

Appliquons le calcul précédent à un système simple :

le circuit RLC D’après les lois de l’électricité nous avons : & => On en déduit que : Et par le même raisonnement que précédemment on obtient la fonction de transfert suivante :

le circuit RC On a les équations suivantes : On applique la TL : => ce qui donne avec :