Funcţii continue- teorie

Funcţii continue - Esențial var.25.02.2013

Pentru viitorii studenți, care vor da un examen de analiză matematică în anul întâi de facultate, care doresc să recapituleze în cel mai scurt timp subiectul, la un nivel mediu.

Funcţii continue

Fiind dată o funcţie f : E → R, E  R, proprietăţile ei se pot împărţi în trei categorii: punctuale, locale şi globale. Dacă aE, ne interesează comportarea funcţiei f, în vecinătatea lui a, dar şi în punctul a. Deasemenea ne interesează comportarea funcţiei f pe toată mulțimea E.

1.Noţiunea de funcţie continuă:

1.1.Definiţii echivalente ale unei funcţii continue într-un punct:

1º.Cu vecinătăţi: f : E → R, aER. Spunem că f e continuă în a, dacă () V(f(a)), există U(a), astfel încât f(U∩E \ {a})V, adică dacă xU∩E \ {a}, atunci f(x)V.

2º.Cu şiruri: f e continuă în aER, unde f:E→R, dacă ()(x_n)_nE, cu x_n=a, şirul (f(x_n))_n este convergent şi f(x_n)=f(a).

3º.Cu δ-ε: f e continuă în aER, unde f:E→R, dacă ()ε>0, există un δ_ε>0, astfel încât dacă |x-a|<δ, xE, să rezulte că |f(x)-f(a)|<ε.

4º.Cu limite laterale: f:E→R, ER, este continuă în aE, dacă există f(a-0), f(a+0) şi

f(a-0)=f(a)=f(a+0).

1.2.Completări:

1º. a este un punct izolat al lui E, dacă evident aE şi are o vecinătate U, astfel încât U∩E={a}. Din definiţia cu vecinătăţi, rezultă automat că f e continuă într-un punct izolat.

2º.Dacă f nu e continuă în aE, spunem că e discontinuă în acel punct. Dacă limitele laterale există în a şi sunt finite, atunci a este un punct de discontinuitate de speţa întâi, în caz contrar fiind un punct de discontinuitate de speţa a doua.

3º.Dacă f(a-0) există şi f(a-0)=f(a), spunem că f e continuă la stânga. Analog, dacă f(a+0) există şi f(a)=f(a+0), spunem că f e continuă la dreapta. Prin urmare, dacă f e continuă la stânga şi la dreapta în a, spunem că f e continuă în a. Dacă E=[a,b] continuitatea lui f în a, este echivalentă cu continuitatea la dreapta în punctul a, iar continuitatea lui f în punctul b, este echivalentă cu continuitatea la stânga în punctul b.

4º. Problema continuităţii sau discontinuităţii unei funcţii într-un punct nu se pune decât în punctele care aparţin domeniului de definiţie.

5º. Dacă f este continuă în fiecare punct al domeniului de definiţie, E, atunci spunem că f este continuă pe mulţimea E.

6º. Fie f:E→R o funcţie continuă pe E şi bE. Dacă există o funcţie F:E{b}→R, astfel încât F(x)=f(x), ()xE şi F e continuă în punctul b, adică F(b)=ℓ, unde ℓ=f(x), spunem că f e prelungită prin continuitate în b de către funcţia F.

1.3.Exemple:

1º. F:R→R, f(x)=|x| este continuă în a=0, deoarece f(a-0)=|x|=0=f(0)=|x|=f(a+0).

2º. f:R-{1}→R, f(x)=, nu poate fi prelungită prin continuitate în a=1, deoarece f(1-0)=1 şi f(1+0)=0, însă g:R-{1}→R, g(x)= poate fi, de exemplu de G:R→R, G(x)=.

3º. Funcţia lui Dirichlet, f:R→R, f(x)= nu e continuă în nici un punct.

Într-adevăr, dacă aQ alegem un şir (x_n')_nR-Q cu x_n' =a. Atunci, f(x_n')=1, în timp ce f(a)=1. Analog, dacă aR-Q, alegem un şir (x_n")_nQ cu x_n" =a. Atunci, f(x_n")=1, în timp ce f(a)=0. Rezultă că f nu e continuă în nici un punct al lui R, toate punctele lui R, fiind puncte de discontinuitate de speţa a doua.

4º. f:R→R, f(x)= este continuă într-un singur punct.

Într-adevăr, dacă a=0, fie (x_n)_n un şir cu x_n=0. Atunci f(x_n)=0=f(0) deci f e continuă în 0. Dacă aQ, a0, fie (x_n)_nR-Q, cu x_n=a. Atunci f(x_n)=0a²=f(a), deci f nu e continuă în a. Analog, dacă aR-Q, alegem un şir (x_n)_nQ, cu x_n=a. Atunci, f(x_n)=a²0=f(a).

2.Proprietăţile locale ale funcţiilor continue:

Observăm că proprietatea de continuitate a unei funcţii într-un punct este o proprietate locală, deoarece depinde doar de valorile ei în vecinătatea punctului.

Prin urmare, dacă f:E→R este continuă în aE şi U e o vecinătate a punctului a, atunci f|_U=g:U→R, g(x)=f(x), dacă xU, este deasemenea continuă în punctul a. Altă proprietate locală a unei funcţii continue într-un punct este păstrarea semnului pe o vecinătate. Într-adevăr, dacă f:E→R este continuă în aE şi f(a)>0, atunci există U, o vecinătatew a punctului a, astfel încât f(x)>0, ()xU∩E. Fie L=f(a)>0 şi considerăm vecinătatea V= a punctului L. Cum f e continuă în punctul a, conform criteriului cu vecinătăţi, există U, o vecinătate a lui a, astfel încât, ()xU∩E, să avem f(x)V adică f(x)>>0. Analog se procedează în cazul L<0.

3.Operaţii cu funcţii continue:

3.1.Adunarea, scăderea, înmulţirea, înmulţirea cu scalari şi împărţirea funcţiilor continue.

Fie f,g:E→R, ER, funcţii continue în aE, rR. Atunci funcţiile f+g, f-g, rf, fg sunt continue în punctul a. Dacă, în plus, g(a)0, atunci este şi ea continuă în punctul a.

Demonstraţie: Cum o funcţie e automat continuă într-un punct izolat al domeniului de definiţie studiem numai cazul în care a este un punct de acumulare al domeniului de definiţie, adică aE∩E'. În acest caz, f(x)=f(a), g(x)=g(a). Prin urmare, (f+g)(x)=f(a)+g(a), (f-g)(x)=f(a)-g(a), (rf)(x)=r·f(a), (fg)(x)=(f(x)·g(x)=f(a)·g(a),

3.2.Compunerea funcţiilor continue şi comutarea limitei cu funcţia continuă:

Fie f:E→F, g:F→R, FR.

(i) dacă f e continuă în aE şi g e continuă în b=f(a)F, atunci h=g○f:E→R, este continuă în punctul a.

(ii) dacă a e un punct de acumulare al lui E, există f(x)= bF şi g este continuă în b, atunci g(f(x))=g(b)=g(f(x)), plusul de generalitate fiind dat de faptul că punctul a poate să nu aparţină lui E.

(iii) dacă a e un punct de acumulare al lui E, f(x)=b e un punct de acumulare al mulţimii F, există o vecinătate V a lui a, astfel încât pentru x(V∩E) \ {a}, să avem f(x)f(b) şi, în plus, g(y) există, în , atunci: g(f(x))= g(y).

Demonstraţie: Fie (x_n)_nE, un şir, cu x_n=a şi arătăm că h(x_n)=h(a). Într-adevăr, cum f e continuă în a, avem f(x_n)=b=f(a) în F şi cum g e continuă în b, rezultă că g(f(x_n))=g(b), adică,h(x_n)=g(f(a))=h(a). Analog se pot demonstra (ii)&(iii).

3.3.Alte operaţii cu funcţii continue:

Dacă f,g:E→R, ER, sunt continue în punctul aE, atunci funcţiile g=|f|, h=max(f,g), e=min(f,g):E→R sunt continue şi ele în punctul a.

Demonstraţie: g=|f| este compunerea funcţiilor continue f şi modul şi deci e continuă max(f,g)=(f+g+|f-g|), min(f,g) = ·(f+g-|f-g|) şi deci sunt şi ele continue în punctul a, folosind celelalte operaţii cu funcţii continue.
4.Proprietăţile globale ale funcţiilor continue pe un interval:

4.1.Proprietăţile de mărginire:

În general o funcţie continuă nu e mărginită, chiar dacă este definită pe un interval mărginit, de exemplu, g:(0,1]→R, g(x)=. Fie f : D→R o funcţie mărginită şi m,M marginile lui f, m=f(x), M=f(x).Spunem că f îşi atinge marginile pe D, dacă există un punct aD şi un punct bD, astfel încât, m=f(a), M=f(b). IR e un interval compact, dacă I=[a,b].

Teorema lui Weierstrass de mărginire:

O funcţie continuă pe un interval compact este mărginită şi-şi atinge marginile.

Demonstraţie: Fie I=[a,b], f:I→R o funcţie continuă. Arătăm, mai întâi, că este mărginită.

Presupunem, prin absurd, că f nu e mărginită. Pentru a fixa ideile, presupunem că f nu e mărginită superior. Atunci există un şir (x_n)_n[a,b], care are proprietatea că f(x_n)= y_n=+∞. Cum şirul (x_n)_n[a,b], rezultă că este mărginit şi deci, conform lemei lui Césaro, conţine un subşir convergent )_n către un punct u, care în mod necesar, aparţine lui [a,b]. Cum f e continuă în u, avem = f(u). Pe de altă parte, şirul ()_n=(f())_n ca subşir al şirului (y_n)_n ce tinde spre +∞, ceea ce este absurd, deoarece, datorită unicităţii limitei, ar rezulta că f(u)=+∞. Rezultă că f este mărginită superior. Analog se tratează cazul în care f s-ar presupune nemărginită inferior. Prin urmare f este mărginită.

Arătăm acum că f îşi atinge marginile. Fie m,M marginile lui f pe intervalul I=[a,b]. Vom arăta că există aI, astfel încât f(a)=M. Presupunem, prin absurd, că nu există un astfel de a. Atunci f(a)M, ()aI şi, prin urmare, funcţia g:I→R₊, g(x)= este continuă pe I. Din prima parte a demonstraţiei, rezultă că g e mărginită, adică există M₁>0, astfel încât 0<≤M₁, ()xI. Rezultă că f(x)≤M-, ()xI, ceea ce contrazice faptul că M=f(x), adică e cel mai mic majorant al mulţimii f (I). Analog se demonstrează că marginea inferioară m, este atinsă.

4.2.Funcţii uniform continue:

În legătură cu continuitatea unei funcţii pe o mulţime, se pune următoarea întrebare: dacă f:E→R, ER este continuă pe E, adică este continuă în fiecare punct al mulţimii E şi ε>0, atunci ()xE, există un δ_x(ε)>0, astfel încât |x-x'|<δ_x(ε) să implice |f(x)-f(x')|<ε. Cum aceste numere pozitive δ_x(ε) pot varia odată cu x, întrebarea este dacă există un δ=δ_x(ε) bun pentru toţi xE, sau altfel, dacă δ_x(ε)=δ este strict pozitiv, pentru că, în acest caz, |x-x'|<δ, x,x'E, implică |f(x)-f(x')| ≤ε. Acest lucru nu este întotdeauna adevărat, aşa cum va arăta exemplul 2 de mai jos. Când se va întâmpla vom spune că avem de-a face cu funcţii uniform continue: Deci, f este uniform continuă pe E, dacă ()ε>0, există δ(ε)>0, astfel încât ()x,yE, |x-y|<δ(ε), implică |f(x)-f(y)|<ε.

Exemple:

1°. F:R→R, f(x)=ax+b, a,bR este uniform continuă pe R. Într-adevăr, ()ε>0, luăm 0<δ< dacă a0 şi δ=1, dacă a=0; pentru |x-y|<δ, avem |f(x)-f(y)|=|a|·|x-y|≤|a|·δ<ε.

2°. f:(0,1]→R, f(x)= nu este uniform continuă pe (0,1]. Într-adevăr, dacă f ar fi uniform continuă ar rezulta că pentru ε=1, există δ>0 astfel încât ()x,y(0,1], |x-y|<δ implică |f(x)-f(y)|<1. Luăm x=, y=. Alegînd nN convenabil, avem <δ, deci <1. Dar şi ar rezulta că 2<1, contradicţie! Rezultă că f nu e uniformă continuă pe (0,1].

Teorema lui Bolzano:

O funcţie continuă pe un interval compact este uniform continuă pe acel interval.

Demonstraţie:Presupunem, prin absurd, că f nu e uniform continuă. Rezultă, prin urmare, că există un ε>0 astfel încât ()nN*, există x_n,y_nI, unde f:I→R continuă pe I, astfel încât |x_n-y_n|≤ să implice |f(x_n)-f(y_n)| ≥ε. Cum I e compactă, este mărginită şi, prin urmare şirul (x_n)_n e mărginit. Aplicînd lema lui Césaro, rezultă că posedă un subşir convergent ()_k către un punct xI. Atunci |x-|≤|x-|+|| care tinde spre 0, când k tinde spre +∞, deci =x. Trecînd la limită când k tinde spre +∞, în relaţia |f()-f()|≥ε, k≥1, obţinem, ţinînd cont de faptul că f este continuă, relaţia absurdă |f(x)-f(x)|≥ε. Contradicţie!. Rezultă că f este uniform continuă.

4.3.Proprietatea lui Darboux:

Fie IR un interval şi f:I→R o funcţie. Spunem că f are proprietatea lui Darboux,

dacă: ()a,bI, a

Această definiţie e echivalentă cu:

(i) ()a,bI, a

(ii) ()a,bI, a

(iii) ()a,bI, a
Observaţii:

1°. Dacă f:I→R, IR un interval şi f are proprietatea că ()a,bI, aare proprietatea lui Darboux, ci numai faptul că f(I) este un interval.

2°. Punctul c din definiţie nu e unic determinat. Pot exista o infinitate de astfel de puncte c(a,b) astfel încât f(c)=γ.

Lema 1: () a,bR, aR| x=(1-λ)a+λb, 0≤λ≤1}.

Lema 2: Fie AR o mulţime. Atunci, următoarele sunt echivalente:

1°. A este un interval;

2°. ()x,yA, xA;

3°. A e convexă, adică () x,yA şi 0≤λ≤1, rezultă că (1-λ)x+λyA; 4°. ()λ_iA şi ()λ_i≥0, i= cu _I=1, avem: _ix_iA.

Teorema de caracterizare a funcţiilor care au proprietatea lui Darboux:

Fie IR un interval şi f:I→R o funcţie. Atunci următoarele sunt echivalente:

1°. f are proprietatea lui Darboux; 2°. ()JI un interval, f(J) e interval;

3°. ()a,bI, a4°. ()AI convexă, f(A) e convexă.

Demonstraţie:1° 2° Fie JI un interval. Fixăm y₁,y₂f(J), y₁2 şi y₁<λ2. Evident există x₁,x₂J cu f(x_i)=y_i, i=1,2. Din 1°, există x₀ cuprins între x₁ şi x₂ cu f(x₀)=λ. Cum J este un interval, avem x₀J, deci λ=f(x₀)f(J), astfel încât [y₁,y₂]f(J). Conform lemei 2, rezultă că f(J) este interval.

2°3°. Evident;

3°4°. Evident, AI convexă, conform lemei 2, dacă şi numai dacă A e un interval;

4°1°.Fie a,bI, a0[a,b] cu f(x₀)=λ. Prin urmare, f are proprietatea lui Darboux.

Corolar 1: Fie IR un interval şi f:I→R o funcţie care are proprietatea lui Darboux. Atunci f e strict monotonă, dacă şi numai dacă, f e injectivă.

Demonstraţie: Evident că, dacă f e strict monotonă, atunci e injectivă. Demonstrăm că, dacă e injectivă, atunci e strict monotonă. Într-adevăr, fie x_iI, i=1,2,3, cu x₁23 fixaţi. Atunci din 2°, din teorema de caracterizare, J₁=f([x₁,x₂]) şi J₂=f([x₂,x₃]) sunt intervale. Cum f(x₂)J₁∩J₂ şi f e injectivă, rezultă că J₁∩J₂={f(x₂)}.Prin urmare, f(x₁)2)3) sau f(x₃)2)1) adică f e strict monotonă

f(x₁) f(x₂) f(x₃) f(x₃) f(x₂) f(x₁)

× × × × × ×

J₁ J₂ J₂ J₁

Corolar 2: Fie IR un interval, f:I→R o funcţie care are proprietatea lui Darboux şi f(I) este cel mult numărabilă. Atunci f este constantă.

Demonstraţie: Cum f are proprietatea lui Darboux, rezultă că f(I) e un interval şi cum f(I) e cel mult numărabilă, rezultă că se reduce la un punct. Prin urmare, există un cR, astfel încât f(I)={c} deci f e constantă.

Teorema Bolzano-Darboux a valorilor intermediare:

O funcţie continuă pe un interval, are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Lemă: Dacă g:[a,b]→R este o funcţie continuă cu g(a)·g(b)<0, există cel puţin un punct ξ(a,b), astfel încât g(ξ)=0.

Demonstraţia lemei: Pentru a fixa ideile, presupunem că g(a)<0 şi g(b)>0. Fie A={x[a,b]| g(x)≤0}. Mulţimea A nu este vidă (e nevidă), deoarece, conform ipotezei, g(a)<0 şi deci aA. Mulţimea A este mărginită, deoarece A[a,b]. Deci mulţimea A este nevidă şi mărginită. Atunci conform axiomei lui Cantor, există ξ=supA. Desigur ξ[a,b]. Demonstrăm că g(ξ)=0. Într-adevăr, avem ξA sau ξA. Dacă ξA, atunci g(ξ)>0 şi există un şir (x_n)_nA, cu x_n=ξ; avem g(x_n)≤0 şi g fiind continuă, g(x_n)=g(ξ)≤0. Contradicţie!. Ramâne cazul ξA, deci g(ξ)≤0. Dacă g(ξ)<0, atunci, din continuitatea lui g în punctul ξ rezultă existenţa unei vecinătăţi U a punctului ξ, astfel încât xU să implice g(x)<0, deci există, în particular, puncte x>ξ pentru care g(x)<0, ceea ce contrazice faptul că ξ=supA. Prin urmare, în mod necesar, g(ξ)=0.

Demonstraţia teoremei: Fie deci f:I→R o funcţie continuă, x₁2, puncte oarecare din intervalul I şi c un număr situat între f(x₁) şi f(x₂). Considerăm funcţia g:I→R, definită prin

g(x)=f(x)-c; avem g(x₁)·g(x₂)=(f(x₁)-c)·(f(x₂)-c)≤0 şi deci, conform lemei, există ξ[x₁,x₂], astfel încât g(ξ)=0, adică f(ξ)=c, c.c.t.d.

4.4.Imaginea unei funcţii continue pe un interval:

Din teorema Bolzano-Darboux, rezultă conform teoremei de caracterizare a funcţiilor care au proprietatea lui Darboux, că funcţiile continue duc intervale în intervale, adică imaginea unui interval printr-o funcţie continuă pe acel interval este tot un interval. Se poate da şi o demonstraţie independentă a acestui fapt şi se poate demonstra chiar ceva mai mult:

Corolar la teorema Bolzano-Darboux (imaginea unei funcţii continue):

Fie IR un interval, f:I→R o funcţie continuă pe I. Atunci:

(i) J=f(I) e un interval;

(ii) Dacă I e compact, atunci J=f(I) e compact.

Demonstraţie: (i) Avem de arătat că, dacă α,β aparţin lui J şi α1), β=f(x₂) cu x₁,x₂I şi x₁x₂, dar odată cu valorile α,β funcţia f ia şi valoarea intermediară c, adică există ξ între x₁ şi x₂, astfel încât f(ξ)=c, deci cJ.

(ii) Fie m=f(x), M=f(x). Atunci arătăm că J=[m,M]. Dacă uJ, atunci există xI, astfel încât u=f(x) şi cum m≤f(x)≤M, rezultă că u[m,M]; invers, dacă u[m,M], atunci, cum valorile m,M sunt atinse de f, este atinsă şi valoarea intermediară u, adică există xI, cu proprietatea că u=f(x), adică uJ. q.e.d.

Observaţii: 1°. Cu ajutorul corolarului se demonstrează surjectivitatea unor funcţii elementare. De exemplu, fie f:R→R, f(x)=sin x; cum f=-1 şi f=1 şi din continuitatea funcţiei f, rezultă că putem aplica teorema Bolzano-Darboux a valorilor intermediare. Prin urmare, f=[-1,1], adică aplicaţia f:R→[-1,1] e surjectivă.

În general, dacă marginile m,M ale unei funcţii continue f:I→R pe un interval sunt atinse, atunci f(I)=[m,M]; dacă nici una din marginile m,M ale funcţiei, nu este atinsă, atunci f(I)=(m,M). De exemplu, funcţia f:→R, f(x)=tg x; Avem m=-∞, M=∞ şi deci f=(-∞,+∞). Rezultă că f e surjectivă şi cum era injectivă, rezultă că este bijectivă.

2°. Dacă I=[a,b] şi f e continuă pe I, nu rezultă că neapărat m,M sunt atinse în capetele lui I.

3°. Dacă I=(a,b) e un interval deschis şi f:I→R e continuă pe I, nu putem afirma decât că J=f(I) e un interval, fără a putea specifica dacă e închis, deschis, închis la un capăt. Se poate întâmpla ca intervalul J să fie compact sau nemărginit.

4°. Funcţia f:[0,3]→R, f(x)= nu are proprietatea lui Darboux, dar transformă intervalul I=[0,3] în el însuşi.

4.5.Inversarea unei funcţii continue pe un interval:

În acest paragraf, vom demonstra că o funcţie continuă pe un interval este inversabilă dacă şi numai dacă este strict monotonă şi atunci inversa ei este continuă şi strict monotonă, adică inversarea funcţiilor continue e posibilă numai pe intevalele pe care este strict monotonă.

Teoremă (inversarea funcţiilor continue pe un interval): Fie IR un interval, f:I→R o funcţie continuă pe I şi J=f(I). Atunci funcţia f:I→J este bijectivă, dacă şi numai dacă este strict monotonă şi în acest caz, funcţia f ^-1:J→I este continuă şi strict monotonă.

Demonstraţie:Din corolarul 1 al teoremei de caracterizare a funcţiilor care au proprietatea lui Darboux (pag.6), rezultă că f e bijectivă dacă şi numai dacă e strict monotonă. Rămâne să demonstrăm că şi f: ^-1:J→I este strict monotonă şi continuă. Să presupunem, pentru a fixa ideile, că f e strict crescătoare pe I. Atunci, cum dacă u₁2 în J, u₁=f(x₁), u₂=f(x₂), avem neapărat x₁2, adică f ^–1(u₁)–1(u₂), rezultă că şi f ^–1 este strict crescătoare pe J. Mai rămâne să demonstrăm că f ^–1 este continuă pe J. Fie y₀J, un punct oarecare, deci există un x₀I, cu y₀=f(x₀). Presupunem că y₀ nu este o extremitate a lui J (celălalt caz tratîndu-se asemănător). Pentru a arăta că f ^–1 este continuă în y₀, vom aplica definiţia cu vecinătăţi a funcţiilor continue: fie U o vecinătate oarecare a lui x₀=f ^–1(y₀). Alegem α,β astfel încât (α,β)U şi α0<β. Cum f e strict crescătoare, avem f(α)0)0). Arătăm că ()yV, avem f ^–1(y)U: într-adevăr, conform teoremei valorilor intermediare a lui Bolzano-Darboux, pentru acest y există un x(α,β) astfel încât y=f(x). Dar atunci x=f ^–1(y) aparţine intervalului (α,β), deci şi lui U. q.e.d.

Observaţie:Teorema ne asigură continuitatea inverselor funcţiilor elementare. Într-adevăr, de exemplu funcţia sin:→[-1,1] este inversabilă, fiind bijectivă şi atunci, conform teoremei, rezultă că inversa sa arcsin:[-1,1]→ este continuă, sin fiind continuă..

5.Aplicaţii:

5.1.Rezolvarea unor ecuaţii:

Dacă funcţia continuă f:[a,b]→R ia valori de semne contrare la capetele intervalului, adică f(a)·f(b)<0, atunci ecuaţia f(x)=0 are cel puţin o soluţie ξ pe intervalul (a,b), adică funcţia are un zero pe acest interval. Dacă, în plus, funcţia f este strict monotonă pe intervalul [a,b], atunci soluţia ξ este unică.

5.2.Semnul unei funcţii continue pe un interval:

Dacă funcţia continuă pe un interval I, f:I→R nu se anulează în nici unul dintre punctele intervalului I, adică ecuaţia f(x)=0, nu are soluţii pe I, atunci funcţia f are, în mod necesar, semn constant pe I, deoarece, în caz contrar, ar exista puncte x₁2 pe I, astfel încât f(x₁)·f(x₂)<0 şi atunci f s-ar anula într-un punct ξ(x₁,x₂) care aparţine lui I.

În general, a studia semnul unei funcţii înseamnă a indica mulţimile de puncte pe care funcţia păstrează semn constant, adică e numai negativă sau numai pozitivă. Pentru aceasta se procedează în felul următor: presupunem că zerourile reale ale funcţiei continue f:I→R sunt a₁2<…p<…, ele putînd fi în număr infinit. Atunci pe fiecare din intervalele (a₁,a₂), (a₂,a₃), …, (a_p-1,a_p) etc., funcţia are semn constant şi, prin urmare, este suficient ca în fiecare din aceste intervale să alegem câte un singur punct şi să determinăm semnul lui f în el.
6.Studiul continuităţii funcţiilor monotone.

6.1.Mulţime derivată la dreapta (la stânga):

Fie AR o mulţime. Un punct x₀ se numeşte punct de acumulare din dreapta al mulţimii A, dacă ()V(x₀) rezultă că A∩(x₀,+∞)=Ø, ceea ce este echivalent cu faptul că există un şir nestaţionar (x_n)_n în A, ce converge din dreapta la x₀: x_n→x₀. Mulţimea tuturor punctelor de acumulare din dreapta ale lui A se notează cu A'^d, şi se numeşte mulţimea derivată din dreapta a lui A. Analog se defineşte punctul de acumulare la stânga al lui A şi mulţimea derivată dinspre stânga a lui A, A'^s.

Teoremă: Fie AR o mulţime şi f:A→R o funcţie monoton crescătoare. Atunci:

(i) Dacă x₀A'^s, rezultă că f(x₀-0) există şi avem f(x₀)=f(x). Analog x₀A'^d, implică f(x₀+0) există şi f(x₀+0)=f(x).

(ii) Dacă x₀A∩A'^s, atunci f(x₀-0) e finită şi f(x₀-0)= f(x)≤f(x₀). Analog f(x₀+0) e finită şi f(x₀+0)= f(x)≥f(x₀)

Demonstraţie: (i) Fie ℓ_s=f(x) şi c<ℓ_s fixat. Atunci există un x₁I, x₁0, astfel încât f(x₁)≥c, deci c1)≤f(x)≤ℓ_s, ()x(x₁,x₀) şi trecînd la limită în inegalităţi, f(x₀-0)=ℓ_s.

(ii) Cum f(x)≤f(x₀), ()xI, x0, rezultă că f(x₀-0)=f(x)≤f(x₀)<+∞.

Corolar: Fie IR un interval şi f:I→R o funcţie monotonă. Atunci f are numai discontinuităţi de speţa întâi. Mai mult, mulţimea lor e cel mult numărabilă.

Demonstraţie: Fie a=inf I, b=sup I. Dacă x₀I-{a} (resp. I-{b}), avem x₀I∩I'^s (resp. x₀I∩I'^d), deci f(x₀-0) (resp. f(x₀+0)) există şi sunt finite, conform teoremei. Rezultă că f are numai puncte de discontinuitate de speţa întâi.

Propoziţie: Fie IR un interval, a=inf I, b=sup I, f:I→R o funcţie care are proprietatea lui Darboux. Atunci ()x₀I-{a} (resp. I-{b}), există x_nI, x_n→x₀ (resp. x_n→x₀) astfel încât f(x_n)=f(x₀).

Demonstraţie: Fie x₀I-{a} fixat şi r_n→0 cu proprietatea că I_n=(x₀-r_n,x₀)I, ()nN*. Cum f are proprietatea lui Darboux, rezultă că f(I_n) şi f(I_n∩{x₀}) sunt intervale, evident care diferă între ele cel mult prin punctul y₀=f(x₀). Atunci, (")nÎN*, avem că y₀f(I_n), sau y₀ este un capăt al lui f(I_n), deci există y_nÎf(I_n) cu |y_n-y₀|<; fie x_nÎI_n cu f(x_n)=y_n. Cum 00-x_nn şi |y_n-f(x_n)|< , (")nÎN*, rezultă că x_n=x₀ şi că f(x_n)=f(x₀). Extragem mai departe un subşir crescător al şirului (x_n)_n şi rezultă c.c.t.d.

Corolar 1: Fie IÌR un interval, a=inf I, b=sup I şi f:I→R o funcţie care are proprietatea lui Darboux. Dacă x₀ÎI-{a} (resp. I-{b}) şi f(x₀-0) (resp. f(x₀+0)) există, atunci f(x₀-0)=f(x₀) (resp. f(x₀+0)=f(x₀)). Prin urmare, f nu are discontinuităţi de speţa întâi.

Demonstraţie: Din propoziţie, rezultă că există x_nÎI, x_n→x₀ cu f(x_n)=f(x₀). Atunci f(x_n)=f(x₀-0), deci f(x₀)=f(x₀-0).

Corolar 2: Fie IÌR un interval şi f:I→R o funcţie monotonă, care are proprietatea lui Darbaux. Atunci f este continuă pe I.

Demonstraţie: Din corolarul 1, rezultă că f nu are puncte de discontinuitate de speţa întâi, iar din corolar, rezultă că f nu are puncte de discontinuitate de speţa a doua. Prin urmare, rezultă că f este continuă.
7.Exerciţii

1. Dacă f,g:R→R sunt discontinue în x₀ÎR, atunci f+g putea fi continuă în x₀? Dar f·g? Dar dacă f e continuă în x₀ şi g discontinuă în x₀, f+g poate fi continuă în x₀?

2. Să se determine valoarea constantei aÎR pentru ca funcţiile următoare să fie continue pe domeniul lor de definiţie: f:[0,3]→R, g,h:R→R, unde



3. Să se studieze continuitatea funcţiei f:(0,1)→(0,1), f(x)=.

4. Fie f:R→R o funcţie continuă cu f(ax)=f(x), (")xÎR, unde a>1 fixat. Atunci f e constantă pe R.

5. Fie IÌR un interval şi f:I→Q o funcţie continuă pe I. Atunci f e constantă pe I.

6. Fie IÌR un interval şi f:I→R o funcţie care are proprietatea lui Darboux, care nu se anulează în nici un punct al lui I. Atunci f păstrează semn constant pe I.

7. Să se determine o funcţie continuă f:R→R, pentru care f(0)=a şi f(x)-f(ax)=x, (")xÎR unde aÎ(0,1) e fixat.

8. Fie a,bÎR, aR o funcţie continuă. Atunci există un cÎ(a,b) cu

f(c)=.

9. Fie f:R→(-∞,1), g:R→(1,∞) două funcţii continue. Să se demonstreze că dacă există x₁,x₂Î(0,∞), x₁2, astfel încât f(x₁)=x₁, g(x₂)=x₂, atunci există cel puţin un x₃Î(x₁,x₂) astfel încât f(x₃)g(x₃)=x₃.

10. Fie I=[a,b] şi f:I→I. Atunci f are un punct fix.

11. Fie IÌR un interval, f,g:I→R astfel încât f e mărginită, f discontinuă şi g continuă în x₀ÎI fixat. Atunci fg e continuă în x₀, dacă şi numai dacă g(x₀)=0.

12. Fie f:R→R o funcţie neconstantă care verifică condiţiile:

(i) f(x+y)=f(x)+f(y), (")x,yÎR; (ii) există f(x) ÎR*. Atunci f e continuă în 0.

13. Să se arate că, dacă o funcţie neconstantă f:R→R care verifică condiţia f(x+y)=f(x)+f(y), (")x,yÎR este continuă într-un punct, atunci este continuă în orice punct.

14. (i) Funcţia f(x)=[x], xÎR e continuă în x₀, dacă şi numai dacă, x₀Z;

(ii) Funcţia f(x)=x-[x], xÎR e continuă în x₀, dacă şi numai dacă, x₀Z;

(iii) Funcţia f(x)=, dacă xÎR* şi f(0)=0. Atunci f este continuă în x₀, dacă şi numai dacă, x₀¹0 şi x₀=, nÎN;

(iv) Funcţia f(x)=x²-[x²], xÎR este continuă în x₀, dacă şi numai dacă, x₀N.

15. Să se studieze punctele de continuitate ale funcţiei f:R→R, definită prin:

f(x)=·sgn(sin), dacă x0 şi f(0)=0.

16. Fie funcţia f:R→R definită prin f(x)=sin, dacă x=0 şi f(0)=0. Atunci f nu are limite laterale în 0, adică 0 e punct de discontinuitate de speţa a doua.

17. Să se arate că funcţia f:[-1,1]{2}→R, f(x)=este continuă.

18. Să se arate că, (")aÎR, ecuaţia x⁵-x²+3ax-1=0 admite cel puţin o rădăcină pozitivă.

19. Dacă f:R→R este o funcţie continuă şi f○f are puncte fixe , atunci f are şi ea puncte fixe.

20. Dacă f,g:[a,b]→R sunt două funcţii continue cu f(a)>g(a) şi f(b)0Î(a,b) cu f(x₀)=g(x₀).

21. Fie IÌR un interval şi f:I→R o funcţie continuă. Modificînd f într-un număr finit de puncte x₁,x₂,…,x_n din I, funcţia rezultată nu mai are proprietatea lui Darboux.


Bibliografie selectivă

[1] Ion Colojoară, Analiză Matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.

[2] Găină,St.,Câmpu,E.,Bucur,Gh.,Culegere de Probleme de Calcul Diferențial și Integral, vol.1-3, Editura Tehnică, București, 1966,1967.

[3] Nicolescu, M., Dinculeanu,N., Marcus,S., Analiză Matematică, vol.1-2, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1971.

[4] Gh.Sirețchi, Calcul Diferențial și Integral, vol.1-2, Editura Științifică și Enciclopedică, București,1985.