Uzluksiz funksiyalarga doir teoremalar 1. x0 nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo`ladi.
2. Agar f(x0)¹0 bo`lsa, x0 nuqtaning yetarli kichik atrofida f(x) o’z ishorasini saqlaydi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya X to`plamda va z=j(y) funksiya Y to`plamda aniqlangan bo`lib, ular yordamida z=j(f(x)) murakkab funksiya tuzilgan bo`lsin.
Teorema (murakkab funksiya uzluksizligi haqida). Agar f(x) funksiya x0 nuqtada, z=j(y) funksiya x0 ga mos kelgan f(x0) nuqtada uzluksiz bo`lsa z=j(f(x)) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo`ladi.
Teorema (Boltsano-Koshining 1-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, segmentning a va b nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega bo`lsa, u holda shunday c (a<c<b) nuqta topiladiki, u nuqtada funksiya 0 ga aylanadi, f(c)=0.
Teorema (Veyershtrassning 1-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u holda shu segmentda chegaralangan bo`ladi.
Teorema (Veyershtrassning 2-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda o`zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi.
Misol. Ushbu f(x)= funksiyani uzluksizlikka tekshiring
Yechish. Ma’lumki,
bundan foydalanib,
x=0 nuqtada funksiya aniqlanmagan bo`lib, , munosabatlar o`rinlidir, bu esa ta’rifga ko’ra x=0 nuqta f(x) funksiya uchun 2 tur uzilish nuqtasi ekanligini bildiradi.
