Furye çevrilməsi

Furye çevrilməsi – fizika və mühəndislikdə tətbiq olunan riyazi çevrilmədir. Adətən zamandan aslı olan f(t) funksiyasının tezlikdən aslı və çox vaxt X(f) şəklində işarə olunan funksiyaya çevrilməsidir. Ümumi düsturu belədir:

Bunu ortaya ilk dəfə 1822-ci ildə Baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier atmışdır. Onun bu kəşfi musiqi və fotoqrafiya üçün böyük önəm kəsb edirdi. Bu formula ilə riyaziyyatçılar bir siqnalın hansı növ frekanslara sahib olduğunu bilirlər. Sadə dildə izah etməyə çalışacam. Əvvəlcə üç terminə nəzər salaq.

Amplituda-yırğalanma və dalğavari hərəkətdə dəyişən kəmiyyətin qiymətinin orta qiymətdən maksimal sürüşməsi və ya dəyişməsidir. Məsələn, bir dalğa şkalada -1 və 1 arasında dəyişirsə, demək onun amplitudası 1-dir.

Frekans-Hər hansı hadisənin müəyyən zaman daxilində (Məsələn, 1 saniyə) hansı sıxlıqla, neçə dəfə təkrarlanmasının ölçümüdür.

Faza dəyişməsi-Siqnalların başlandığı yerdir.

Furye sübut etdi ki, hər hansı periodik S(t) siqnalı müxtəlif amplitudlu, frekanslı, fazalı sinus dalğalarının cəmi şəklində yazıla bilər.

Burada:

a-amplituda
ϕ-faza
ω-frekansdır

Frekansların 2ω, 3ω olması harmonika adlanır. Məsələn, bir kvadratik dalğanın Furye genişlənməsi aşağıdakı kimi yazılacaq:

Bunu vizual şəkildə daha yaxşı anlamaq üçün aşağıdakı hərəkətli şəkilə baxmaq lazımdır.

Furyenin sinus dalğalarını necə birləşdirdiyini əyani anlamaq üçün yenə də misallar üzərindən baxaq. Bu məsələni tam bilmək üçün vizual təsvir etmək mütləqdir.

Amplitudu 1 olan bir siqnal dalğası yaradaq və ona S1 deyək.

Bu siqnalın gücünü müəyyən hər hansı anda ölçmək istəyiriksə, onu amplituda ilə edirik. Yəni, ölçü meyarımız amplitudadır.

Eyni göstəriciləri saxlayıb təkcə amplitudunu dəyişməklə (2 amplitudlu) yeni bir siqnal dalğası yaradaq və ona da S2 deyək.

Amplitudları fərqli olan bu iki siqnalı birləşdirsək nə baş verər? Beləliklə, iki siqnalı birləşdirsək onların amplitudalarının cəmi olan başqa bir siqnal yaranacaq (S1+S2).

Amplitud S3 = Amplitud S2 + Amplitud S1 = 2+1=3, yəni yeni siqnal dalğamızın amplitudu 3 olacaq. Ortaya maraqlı bir sual çıxır. S3 siqnalını parçalayaraq əvvəlki S1 və S2 siqnallarını bərpa edə bilərikmi? Bəli, Furye çevrilməsi bunu edir. Bir siqnalı götürür və onu əmələ gətirən frekanslara ayırır.

Arxadakı üç siqnalın cəmi qarşıdakı bir siqnalı əmələ gətirir (S1+S2+S3). Burada Furye çevrilməsinin gördüyü əsas iş bizi zamandan, frekansa aparmasıdır. Bəs, biz frekans hissədən zamana qayıtmaq istəsək? Bu da mümkündür. Buna Furye çevrilməsinin inversiyası deyilir. Aşağıda normal Furye çevrilməsi və inversiyasının düsturu verilmişdir.

Furye çevrilməsinin əsas ideyası budur: Zaman domenindəki hər hansı davamlı bir siqnal, sonsuz bir sinus dalğası ilə bənzərsiz şəkildə ifadə edilə bilər. Yəni sadələşdirsək, davamlı hər bir siqnalı sinus dalğaları ilə ifadə edə bilərik. Hər hansı x(t) funksiyasını f(t) funksiyasına çevirən düstur aşağıdakı kimidir:

Buradan da ortaya bir sual çıxır. Bəs biz siqnalları nüəyyən edən a(k), b(k) ədədlərini necə tapacağıq? Həmin düsturlar da aşağıdakı kimidir:

Bu bərabərlikləri də f(t)-də yerinə qoyduqda, bizə lazım olan nəticəni alırıq. Bütün bunlar Furye çevirilməsini etmək üçün lazım idi. Qısaca, nəzəri formada deməli olsaq, bu çevrilmənin gördüyü iş belədir:

Düsturdakı x(t) ifadəsi sadə dalğalı siqnalları istifadə edərək, əldə etməyə çalışdığımız böyük və qarışıq siqnalı ifadə edir.  Düsturun e ilə ifadə olunan ikinci tərəfi isə sinus dalğalarını ifadə edir. Yəni, bu iki ifadəni bir-birinə vurub inteqrallayanda hər bir sinusoidin frekansını seçmək mümkün olur.

Məsələn, MP3 formatında Furye çevrilməsi belə işləyir: Bu çevrilmə musiqidəki sönük və duymadığımız frekansları çıxarıb təmizləyir. Bunun üçün musiqini milyonlarla kiçik hissələrə bölür, ən önəmli frekansları saxlayır, lazımsız olanları isə atır. Bu işi görməklə həm də musiqinin ölçüsünü əhəmiyyətli dərəcədə azaldır (100 meqabaytdırsa, 1 meqabayt edir).

Bundan başqa Spotify, Google music, internetdəki JPG format da Furye çevrilməsindən istifadə edir. Mahnı tapmaq istəyəndə istifadə etdiyimiz Shazam proqramı da bu məntiqlə işləyir. Shazam proqramının məlum frekanslardan ibarət bazası var. Biz proqrama mahnını dinlədəndə proqram dinlədiyi spesifik frekansları öz bazasındakı ilə müqayisə edib bizim musiqini tapır.

Kənardan səs keçirməyən qulaqcıqlar (noise-cancelling) da Furye çevrilməsi ilə işləyir. Mikrafon ətrafdakı bütün səsləri qeyd edir və daha sonra qulaqcıq bütün səs spektrumundakı frekansları analiz edir. Musiqiyə mane olan frekanslar (ətrafdan gələn səslər) kənarlaşdırılır.

Yekunlaşdırsaq, Furye çevrilməsi müasir rəqəmsal fotoqrafiyanı və musiqi fayllarını daha əlçatan hala gətirir. Bunun sayəsində onları asanlıqla paylaşa bilirik.