Gönül yazgan-sağ1, Ziya argüN1 1

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARI SERİ KAVRAMINDAN NE ANLIYORLAR?
Gönül YAZGAN-SAй, Ziya ARGÜN^1
1Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü
Özet

Analiz matematiğin temel alanlarından biridir (Buccino, 2000). Analizin kendisi ve analizdeki kavramlar matematik eğitimi alanında çalışan birçok araştırmacının ilgisini ve dikkatini çekmektedir. Anlaşılması, öğrenciler tarafından zor olarak değerlendirilen analiz kavramlarından biri olan “sonsuz seri” kavramı yaklaşma fikrini anlamlandırmadaki ve integral kavramını inşa etmedeki rolünden dolayı analizin önemli kavramlarından biri olarak görülmektedir (Cornu,1991). Araştırmanın amacı, ortaöğretim matematik öğretmen adaylarının seri kavramı ile ilgili kavramsal anlamalarını incelemektir. Araştırma; 2011–2012 öğretim yılında, bir kamu üniversitesinin Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalının ikinci sınıfında öğrenim gören 55 öğretmen adayı ile gerçekleştirilmiştir. Araştırma verileri, gömülü teori (grounded theory) tekniklerinden biri olan sürekli karşılaştırmalı analiz yöntemi (Strauss ve Corbin, 1998) ile analiz edilmiştir. Öğretmen adaylarının, serinin sınırlı olması, tanım kümesine sahip olması, serinin tekrarlı olması gibi bazı uygun olmayan anlamalara sahip olduğu da görülmüştür. Sonuç olarak seri kavramı ile ilgili güçlüklerin ana kaynağının, adayların bu kavramı dizi kavramı ile karıştırmaları olduğu görülmüştür.

Anahtar Kelimeler: Ortaöğretim matematik öğretmen adayları, analiz, seri kavramı
1. GİRİŞ

Analiz matematiğin temel alanlarından biridir (Buccino, 2000). Temel alanlardan biri olarak görünmesinin nedenleri arasında, bilimsel araştırmaların verilerinin toplanmasında, tıpta, ekonomide, mühendislikte, laboratuar ortamlarımda yapılan bilimsel çalışmalarda ve sosyal bilimlerde değişim sürecini anlamada gerekli görülmesi sayılabilir (Stewart, 2005). Ayrıca matematiği temel alan fen bilimleri, mühendislik, tıp, ticaret gibi alanlarda kariyer yapmak isteyen bireylerin üniversite eğitimlerinde başarılı olmaları için de analiz, gerekli görülmektedir (Frid, 1994). Bu gibi nedenlerle de, analizin kendisi ve analizdeki kavramlar matematik eğitimi alanında çalışan birçok araştırmacının ilgisini ve dikkatini çekmektedir. Matematik eğitimi literatüründe analiz alanındaki temel kavramlardan olan fonksiyon, limit, türev, integral, dizi ve sonsuz seri gibi kavramlar ile ilgili öğrencilerin kavramsal anlamalarını inceleyen araştırmalar bulunmaktadır (Thompson, 1994; Tall ve Vinner, 1981; Mamona-Downs, 2001;Alcock ve Simpson, 2004;Lithner, 2003).

Anlaşılması, öğrenciler tarafından zor olarak değerlendirilen analiz kavramlarından biri olan “sonsuz seri” kavramı yaklaşma fikrini anlamlandırmadaki ve integral kavramını inşa etmedeki rolünden dolayı analizin önemli kavramlarından biri olarak görülmektedir (Cornu, 1991; Schwarzenberger ve Tall, 1978; Tall ve Vinner, 1981). Serilerin matematik ve fen bilimlerinde çok kapsamlı uygulamalara sahip olan karmaşık, sezgiye ters düşen bir yapıya sahip olduğu da düşünülmektedir. Matematikte seriler, bir eğrinin altında kalan alanı hesaplama sürecindeki temel elemanlardan biridir. Tıp ve biyoloji alanında ise ilaçların ve popülasyonların dağılımı gibi durumların modellenmesi için çeşitli yollar sağlamaktadır (González-Martín, Nardi ve Biza, 2011). Serinin matematik literatüründe kabul gören tanımı da aşağıdaki gibidir:
“ bir dizi olmak üzere terimlerini sırası ile toplayarak yeniden oluşturulan

ifadesine sonsuz seri veya kısaca seri denilmektedir. veya şeklinde gösterilir.” (Stewart,2005, s.573).
Yukarıda verilen tanıma göre seri kavramının, sonsuz tane sayının toplamını bulmaya çalışırken ortaya atılmış bir kavram olduğu görülmektedir. Bir serinin toplamının olup olmadığını araştırılırken kısmi toplamlar dizisi göz önünde bulundurulmaktadır:
“ toplamında e serinin birinci terimi, ye serinin ikinci

terimi, ... , ye de serinin genel terimi adı verilir.

serinin 1. kısmi toplamı

serinin 2. kısmi toplamı

serinin 3. kısmi toplamı

serinin 4. kısmi toplamı
ve genel olarak,
serinin n. kısmi toplamı
olmak üzere yukarıdaki kısmi toplamlar, şeklide yeni bir dizi tanımlamaktadır. Eğer kısmı toplamlar dizisi yakınsak ise yani olacak şekilde bir reel sayısı varsa serisi yakınsaktır denir ve
veya
şeklinde gösterilir. sayısına da serinin toplamı denilir. Eğer kısmı toplamlar serisi ıraksak ise o zaman seriye ıraksak denir.” (Stewart, 2005, s.574).
Serinin yakınsaklığı için yapılan tanıma bakıldığında, serisinin yakınsaması, serinin kısmi toplamlar dizisi olan dizisinin yakınsamasına dayandırılmıştır. Yapılan matematiksel tanımda da görüldüğü gibi sonsuz seri kavramı, sonsuzluk fikri, limit ve yakınsaklık, fonksiyon, dizi gibi birçok matematiksel kavramı bünyesinde barındırmaktadır. Matematik eğitimi literatüründe seri kavramının bağlantılı olduğu bu matematiksel kavramlar ile ilgili birçok araştırma yapılmıştır (Tall, 200; Alcock ve Simpson, 2004; Mamona-Downs, 2001; Przenioslo, 2004; Thompson, 1994). Ancak literatürde doğrudan sonsuz seriler ile ilgili öğrencilerin anlamalarına yönelik çalışmaların sayısının, seri kavramıyla bağlantılı olan diğer kavramlar ile ilgili yapılan çalışmalara göre çok daha az olduğu görülmektedir (Nardi, Biza ve González-Martín, 2008).

Etkili bir öğretmen olabilmek için oldukça önemli niteliklerden birinin de sağlam bir matematik bilgisi olduğu düşünüldüğünde (Farah-Sirkis, 1999) ve de matematik öğretmen adaylarının ileride sahip olacakları mesleki yaşantılarında öğrencilerine seri kavramını tanıtacakları göz önünde bulundurulduğunda, bu kavramı adayların anlamaları önem kazanmaktadır. Araştırmanın amacı ortaöğretim matematik öğretmen adaylarının seri kavramı ile ilgili kavramsal anlamalarını incelemektir.

2. YÖNTEM

Bu araştırmada matematik öğretmen adaylarının sonsuz seri kavramı ile ilgili kavramsal anlamalarının detaylı bir şekilde incelenmesi amaçlandığından, nitel yöntem benimsenmiştir. Araştırma; 2011–2012 öğretim yılında, bir kamu üniversitesinin Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği Anabilim Dalının ikinci sınıfında öğrenim gören ve çok değişkenli analiz dersini almakta olan 55 öğretmen adayı ile gerçekleştirilmiştir. Ayrıca zengin veri vereceği düşünülen 5 aday ile bireysel görüşmeler yapılmıştır. Bu dersin ilk sekiz haftasında dizi, seri kavramları ve bu kavramlar ile ilgili diğer kavramlar öğretmen adaylarına tanıtılmıştır. Çok değişkenli analiz dersinin vize sınavında ise öğretmen adaylarına yöneltilen sorular arasında, bu kavramlardan ne anladıkları ile ilgili olan iki soru yer almıştır. “Dizi ve yakınsak dizi kavramlarını açıklayınız” ve “Sonsuz seriyi ve bir serinin toplamının bir reel sayı olmasının ne demek olduğunu açıklayınız” soruları vize sınavında yer almıştır. Çok değişkenli analiz dersini yürüten öğretim elemanları-aynı zamanda bu araştırmayı yapan araştırmacılar- sınava katılan 90 öğretmen adayının cevaplarını incelemiştir. Ancak çoğu öğretmen adayının bu kavramların sadece matematiksel tanımlarını verdiği görülmüştür. Bu durum üzerine araştırmacılar hazırladıkları açık uçlu sorular yoluyla çok değişkenli analiz dersini ilk defa alan öğretmen adaylarının, dizi ve seri kavramları ile ilgili görüşlerini yazılı olarak almışlardır. Bu açık uçlu sorular arasında ise “Dizi ve dizinin yakınsamasından ne anlıyorsunuz?” ile “Seri ve serinin yakınsamasından ne anlıyorsunuz?”soruları yer almıştır. Ayrıca araştırmacılar öğretmen adaylarına, bu açık uçlu soruları herhangi bir resmi değerlendirmeye almayacaklarını, sadece kavramların anlaşılıp anlaşılmadığı ile ilgili bilgi edinmek istediklerini belirtmişlerdir. Öğretmen adayları, açık uçlu soruları cevaplandırırken herhangi bir süre sınırlamasında bulunulmamıştır ve adayların bu soruları cevaplamaları yaklaşık 30-40 dakika kadar sürmüştür.

Bu kavramlarla ilgili öğrencilerin açıklamaları araştırmacılar tarafından değerlendirilmiş ve bu değerlendirme doğrultusunda, katılımcılar arasından zengin veri veren sekiz aday belirlenmiştir. Bu sekiz öğretmen adayına, gönüllü olup olmadıkları sorulduğunda üç katılımcı gönüllü olmamış ve belirlenen diğer beş katılımcı ile görüşmeler yapılmıştır. Bireysel görüşmelerin yapılacağı ortamın sessiz olmasına dikkat edilmiştir. Yaklaşık 15-20 dakika süren görüşmeler sırasında veri kaybını en aza indirmek için ses kayıt cihazı kullanılmıştır.

Veri analizi sırasında her bir katılımcıya takma ad verilmiştir. Elde edilen veriler, detaylı bir biçimde incelenmiştir. Bu incelemeler sonucunda veriler, öğretmen adaylarının dizi ve seri kavramları ile ilgili anlamalarını tespit etmeye yönelik olarak gömülü teori (grounded theory) tekniklerinden biri olan sürekli karşılaştırmalı analiz yöntemi (Strauss ve Corbin, 1998) kullanılarak kodlanmış ve kategorilere ayrılmıştır. Oluşturulan bu kategoriler doğrultusunda elde edilen bulgular, araştırmacılar tarafından yorumlanmıştır. Bu araştırmada ise sadece seri kavramı ve serinin yakınsaklığı ile ilgili bulgulara yer verilecektir.

3. BULGULAR VE YORUMLAR

Elde edilen veriler analiz edildiğinde, öğretmen adaylarının bazılarının matematiksel sembolleri ve mantıksal açıklamaları formal biçimde kullanırken zorlandıkları görülmüştür. Aşağıdaki şekilde görüşme yapılan öğrencilerden birisi olan Elif, açık uçlu sorulara verdiği cevaplardan biri yer almaktadır:

Şekil 1. Elif’in seri ile ilgili açıklaması

Elif ile yapılan görüşmede “” şeklindeki ifadesi ile ne kasttediği sorulmuştur. Elif ise 1’den sonsuza kadar olan terimlerinin toplamını ifade etmeye çalıştığını belirtmiştir. Burada Elif’in notasyonların kullanımında sıkıntı yaşadığı tespit edilmiştir (Tall ve Razali, 1993). Ancak Elif’in Şekil 1’de yer alan açıklamasında da görüldüğü gibi kısmı toplamlar dizinin ne demek olduğunu anlamlandıramadığı söylenilebilir.

Bir diğer bulgu ise öğretmen adaylarının büyük bir çoğunluğunun seriyi bir fonksiyon olarak anlamlandırmaları olmuştur. Bu yönde fikirlerini belirten öğrencilerden birisi olan Aylin, seriyi tanım kümesi doğal sayılar değer kümesi reel sayılar olan fonksiyon olarak tanımlamıştır. Kendisi ile yapılan bireysel görüşmede ise Aylin, serinin diziler yardımıyla tanımlaman bir fonksiyon olarak ifade etmiştir.

Seriyi bir fonksiyon olarak tanımlayan Aylin’e benzer şekilde öğretmen adaylarının bir kısmının seriyi direkt olarak dizi kavramı ile ilişkilendirmekte olduğu görülmüştür (Schwarzenberger ve Tall, 1978). Örneğin görüşme yapılan öğretmen adaylarından birisi olan Serhat, seriyi “dizinin tanım kümesinin sonsuz olması hali” olarak tanımlamıştır. Ayrıca Serhat’ın serinin yakınsak olmasını da dizinin yakınsak olması ile aynı anlamda algıladığı görüşme sırasında ortaya çıkmıştır. Eda ise yapılan görüşme sırasında serilerin yakınsaklığı ile ilgili olarak aşağıdaki açıklamayı yapmıştır:

“Dizide olduğu gibi seride de benzer bir yakınsaklık tanımını yapabiliriz, tek farklılık terimlerimiz değil, onun yerine dizinin terimlerinin olmasıdır”

Eda ayrıca seriyi dizinin terimlerinin toplanmasıyla oluşan fonksiyon olarak tanımlamıştır. Göze çarpan bir diğer bulgu ise öğretmen adaylarından bazılarının, serinin de dizi gibi sınırlı ve tekrarlı olması gibi çeşitlerinin olduğunu belirtmeleri olmuştur. Bu yöndeki görüşünü belirten öğrencilerden birisi olan ve kendisi ile görüşme yapılan Yekta, serinin terimlerinin birbirine bağlı olarak tekrar ettiğini, örneğin teriminin, , gibi serinin tüm terimlerinde yer aldığını ifade etmiştir. Burada Yekta’nın uygun olmayan bir anlamaya sahip olduğu görülmektedir.

Matematik eğitimi alanında yapılan araştırmalarda da görüldüğü gibi (McDonald, Mathews ve Strobel, 2000; Sierpinska, 1987; Tall ve Vinner, 1981) öğretmen adaylarının seri ile ilgili kavramsal anlamalarında birçok güçlüğe sahip oldukları yapılan bu araştırmada da görülmüştür.
4.TARTIŞMA VE ÖNERİLER

Elde edilen bulgulara göre, ortaöğretim matematik öğretmen adaylarının matematiksel sembolleri ve mantıksal açıklamaları formal biçimde kullanırken zorlandıkları belirlenmiştir. Öğretmen adaylarının, serinin sınırlı olması, serinin tanım kümesine sahip olması, serinin tekrarlı olması gibi bazı uygun olmayan anlamalara sahip olduğu da görülmüştür. Sonuç olarak seri kavramı ile ilgili güçlüklerin ana kaynağının, adayların bu kavramı dizi kavramı ile karıştırmaları olduğu görülmüştür (Schwarzenberger ve Tall, 1978). Ayrıca seri kavramının tam olarak ne anlama geldiği ile görsel bir imajlarının olmadığı da yapılan bu araştırma ile belirlenmiştir.

Seri kavramı öğrencilere tanıtılırken diğer matematiksel kavramlar ile ilişkisinin ve özellikle de dizi kavramı ile ilgili karıştırılabilecek yönlerinin vurgulanmasının gerekli olduğu araştırmacılar tarafından düşünmektedir.

Yapılan araştırmalarda öğretmenlerin, üniversite eğitimlerindeki matematiksel konular ile kendi okullarında öğrencilerine öğrettikleri konular arasında bir bağ kuramadıklarını göstermektedir (Wu, 1999). Bu nedenle, eğitim fakültelerinde matematik öğretmen adaylarını yetiştiren öğretim elemanlarının görev önceliklerinden birisi de, matematiksel kavramların doğasını ve temel karakteristiklerini öğretmen adaylarının anlamlandırmalarını sağlayacak ortamlar oluşturmak olmalıdır.

5. KAYNAKLAR

Alcock, L., & Simpson, A. (2004). Convergence of sequences and series: Interactions between visual reasoning and the learner’s beliefs about their own role. Educational Studies in Mathematics, 57, 1-32.

Buccino, A. (2000) Politics and professional beliefs in evaluation: The case of calculus renewal. In S. Ganter, (Ed.) Calculus renewal: Issues for undergraduate mathematics education in the next decade (pp. 121-146). Kluwer Academic Press/Plenum Publishers: New York.

Cornu, B. (1991). Limits. In D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp.153-166). Dordrecht: Kluwer Academic Press.

Farah-Sarkis, F. (1999). Inservice in Libanon. In B. Jaworski, T.L. Wood, & S. Dawson (Eds.), Mathematics Teacher Education: Critical International Perspectives (pp. 42-47). London: Falmer Press.

Frid, S. (1994). Three approaches to undergraduate calculus instruction: Their nature and potential impact on students’ language use and sources of conviction. In A. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in collegiate mathematics education I (pp. 69-100). Providence, RI: American Mathematical Society.

González-Martín, A. S., Nardi, E., & Biza, I. (2011). Conceptually driven and visually rich tasks in texts and teaching practice: the case of infinite series. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 42(5), 565-589

Lithner, J. (2003). Students’ mathematical reasoning in university textbook exercises. Education Studies in Mathematics, 52, 29-55.

Mamona-Downs, J. (2001). Letting the intuitive bear on the formal: A didactical approach for the understanding of the limit of a sequence. Educational Studies in Mathematics, 48, 259-288.

McDonald, M., Mathews, D., & Strobel, K. (2000). Understanding sequences: A tale of two objects. In E. Dubinsky, A. Schoenfeld, & J. Kaput, (Eds.), Research in collegiate mathematics education IV (pp. 77-102). Providence, RI: American Mathematical Society.

Nardi, E., Biza, I., & González-Martín, A.S., (2008). Introducing the Concept of Infinite Sum: Preliminary Analyses of Curriculum Content, In M. Joubert(Ed.), Proceedings of the Conference of the British Society for Research into the Learning of Mathematics, (pp. 84–89).London.

Przenioslo, M. (2004). Images of the limit of function formed in the course of mathematical studies at the university. Educational Studies in Mathematics, 55, 103-132.

Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles relatedto limits. Educational Studies in Mathematics, 18, 371-397.

Stewart, J. (2005).Calculus: Concepts and contexts. Belmont, CA: Thomson Corporation.

Strauss, A. &, Corbin, J. (1998).Basics of qualitative research: Grounded theory procedures and techniques. London: Sage.

Schwarzenberger, R.L.E. & Tall, D.O. (1978). Conflicts in the learning of real numbers and limits, Mathematics Teaching, 8(2), 44–49.

Tall, D. O. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48, 199-238.

Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept images and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169.

Tall, D., & Razali, M. (1993). Diagnosing students difficulties in learning mathematics. International Journal of Mathematics Education, Science & Technology,24, 209-202.

Thompson, P. W. (1994). Students, functions, and the undergraduate curriculum. In A. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in collegiate mathematics education I (pp. 21-44). Providence, RI: American Mathematical Society.

Wu, H. H. (1999). On the education of mathematics majors. In E. Gavosto, S. G. Krantz, & W. G. McCallum (Eds.), Contemporary Issues in Mathematics Education (pp. 9–23). New York: Cambridge University Press