Harmonik rəqsi hərəkət(yerdıyişmə,sürət, təcil)

Sizin üçün oyun:

Google Play'də əldə edin


Yüklə 83.63 Kb.
tarix14.07.2018
ölçüsü83.63 Kb.

- -

Mühazirə 7
Harmonik rəqsi hərəkət (yerdəyişmə,sürət, təcil)
Təbiətdəki hərəkətlər icərisində ən çox yayılan periodik hərəkətlərdir.Periodik hərəkətlərə misal olaraq ayrı-ayrı mexanizmlərin, maşın hissələrinin,planetlərin və Günəşin öz oxu ətrafındakı hərəkətini və s. göstərmək olar. Bu periodik hərəkətlər içərisində xüsusi yer tutan harmonik rəqsi hərəkətdir. Harmonik rəqsi hərəkəti yaydan asılmış kürənin hərəkətində, maddi nöqtənin çevrə boyunca hərəkəti zamanı almaq olar. Fərz edək ki, maddi nöqtə çevrə boyunca bərabər sürətli hərəkət edir. t=0 olduqda maddi nöqtə A vəziyyətindədir. t zaman fasiləsindən sonra nöqtə -də olmuşdur. Bu halda radius bucağı qədər dönmüşdür.

Şəkildə göründüyü kimi maddi nöqtə A –dan B-yə gəldikdə onun BD diametr üzərindəki proyeksiyası O-dan B-yə doğru, B-dən C-yə gəldikdə proyeksiya B-dən O -ya doğru və i.a.yerini dəyişəcək.

Beləliklə, maddi nöqtə çevrə boyunca bərabər sürətli hərəkəti zamanı, onun BD diametri üzərindəki proyeksiyası O nöqtəsi ətrafında rəqsi hərəkətdə olur. Bu halda O-nöqtəsi tarazlıq vəziyyəti, tarazlıq vəziyyətindən olan maksimum uzaq-laşmaya rəqsin amplitudu deyilir.





Maddi nöqtənin bir tam rəqsinə sərf olunan zamana rəqsin periodu,bir saniyədəki rəqslərin sayına tezlik deyilir. İndi isə harmonik rəqsi hərəkətdə olan nöqtənin yerdəyişməsini, sürətinin və təcilinin tənliyini hesablayaq.

; ,-olduğundan (1) alınar.

(1) – yerdəyişmə tənlikləridi

Əgər t zamanı maddi müvazinət vəziyyətindən keçən andan hesablanmazsa, onda -nin üzərinə - başlanğıc fazanı gəlmək lazımdı.

Bu halda olar.

Bir sadəlik üçün qəbul edək. ; - olduğundan



(2)

və ya olar (3).

Deməli, harmonik rəqsi hərəkət elə periodik hərəkətdir ki, bu hərəkətdə olan nöqtənin təcili qiymətcə müvazinət vəziyyətindən olan yerdəyişmə ilə düz, istiqamətcə isə tarazlıq vəziyyətinə doğru yönəlmişdir. Elastiki cisimlərin deformasiyası zamanı meydana çıxan elastiki qüvvənin nəticəsində cisim harmonik rəqsi hərəkətdə olur. Ola bilər ki, qüvvə başqa təbiətli olsun, lakin yerdəyişmədən asılılığı Hüq qanununa tabe olsun. Təbiətindıən asılı olmayaraq, bu qanuna tabe olan qüvvələr kvazielastiki qüvvələr adlanır.



İndi isə rəqs edən maddi nöqtənin periodun müxtəlif hissələrində s, v,a-nı hesablayaq.
































































Cədvəldən göründüyü kimi, harmonik rəqsi hərəkətdə olan nöqtənin sürəti müvazinət vəziyyətindən keçdikdə ən böyük, təcili işə ən kiçik olur


Harmonik rəqsi hərəkətdə olan nöqtənin enerjisi

Kvazielastiki qüvvə konservativ qüvvə olduğundan, onn təsiri nəticəsində rəqs edən nöqtənin tam enerjisi sabit kəmiyyətdir: . Yuxarıda göstərdik ki, maddi nöqtənin harmonik rəqsi hərətkəti zamanı onun sürəti tarazlıq vəziyətində max, ən kənar vəziyyətdə isə min olur. Bu isə kinetik enerjinin potensial enerjiyə və əksinə çevirilməsi deməkdir.

Aydındır ki, rəqsi hərəkətdə olan nöqtənin potensial enerjisi kvazielastiki qüvvənin gördüyü işə bərabər olacaqdır. Beləliklə, kvazielastiki qüvvənin gördüyü iş. - düsturuna əsasən yaza bilərik:

və ya olar.

Nyutonun ikinci qanununa əsasən , , olduğundan





Rəqsi hərəkətdə olan nöqtənin kinetik enerjisi






Tam enerjisi isə




Beləliklə, harmonik rəqs edəmn maddi nöqtənin tam enerjisi həmin rəqsin amplitudunun kvadratı ilə mütənasibdir.
Rəqqaslar
Riyazi rəqqas
Uzanmayan nazik sapdan asılmış maddi nöqtəyə riyazi rəqqas deyilir.Bu rəqqası hərəkətə gətirmək üçün, onu tarazlıq vəziyyətindən çıxarıb sərbəst buraxmaq lazımdır. Rəqqas tarazlıq vəziyyətində olduqda rəqqasın ağırlıq qüvvəsi onun aslıdığı nöqtənin reaksiu\ya qüvvəsi ilə müvazinətə gəlir. Onu müvazinət vəziyyətindən çıxarıb B nöqtəsinə gətirdikdə ağırlıq qüvvəsi ilə dayağın reaksiya qüvvəsinin əvəzləyicisi əmələ gəlir (F2). Bu qüvvənin təsiri altında rəqqas rəqs edir. Tarazlıq vəziyyətinə qayıtmış rəqqas öz ətaləti üzrə hərəkətini davam etdirir. Riyazi rəqqasın həqiqətən harmonik rəqs etdiyini isbat edək.

Riyazi rəqqasın kiçik yerdəyişmələrində () əvəz etmək olar. ~-in oxşarlığından

;

(4)



tənliyin harmonik rəqsi hərəkətin tənliyi ilə (3) müqayisə etsək,

;

Buradan göründüyü kimi , riyazi rəqqasın periodu onun kütləsindən asılı olmayıb uzunluğunun kvadrat kökü ilə düz mütənasibdir.




Fiziki rəqqas

Ağırlıq mərkəzindən kənarda götürülmüş bir nöqtədən asılmış və ağırlıq qüvvəsənin təsiri altında rəqs edən bərk cismə fiziki rəqqas deyilir. O-ağır cismin asıldığı nöqtə, C -ağırlıq mərkəzidir. M- rəqqasın kütləsi, l-isə. O nöqtəsilə C ağırlıq mərkəzi arasındakı məsafədir.



Rəqqası hərəkətə gətirmək üçün onu tarazlıq vəziyyətindən çıxarıb,sərbəst buraxmaq kifayətdir. Tarazlıq vəziyyətindən çıxarılmış rəqqasın ağırlıq qüvvəsini iki toplanana ayırmaq olar. F1 toplananı rəqqasın asıldığı nöqtənin reaksiya qüvvəsilə tarazlığa gəlir və nəticədə rəqqas F2 kvazielastiki qüvvənin təsiri altında rəqs hərəkət edir. Şəkil odən göründüyü kimi

- bu qüvvənin fırladıcı momenti isə (K)







Digər tərəfdən fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyinə görə

olar.
Onda - bucağının kiçik qiymətləri



(6)
(6) tənliyini (3) tənliyi ilə müqayisı etsək

- alınar.

Buradanda



(7)
alarıq. Burada - nisbətinə fiziki rəqqasın çevrilmiş uzunluğu (lçev) deyilir. (7) və (5) tənliklərinin müqayisəsi göstərir ki, uzunluğu -ə bərabər olan riyazi rəqqasın periodu elə fiziki rəqqasın perioduna bərabər olar.

Fırlanma oxundan lçev - qədər məsafədə yerləşən O nöqtəsinə rəqqasın yırğalanma nöqtəsi deyilir. Şteyney teoreminə əsasən



, J0-ağırlıq mərkəzindən keçən oxa görə ətalət momentidir.

,
Bu ifadədən göründüyü kimi, lçev -çevrilmiş uzunluq l -dən həmişə böyük olur. Bu isə o deməkdir ki, asılma nöqtəsi ilə yırğalanma nöqtəsi ağırlıq mərkəzindən əks tərəflərdə yerləşməlidir. Aydındır ki, əgər rəqqası O nöqtəsindən assaq, onda O nöqtəsi yırğalanma nöqtəsi olar, b.s. yırğalanma nöqtəsi və asılma nöqtəsi qarşılıqlı yerlərini dəyişə bilərlər. Bu xassədən istifadə edərək, sərbəstdüşmə təcilini təyin etmək olar. Digər tərəfdən, riyazi rəqqasın müxtəlif hündürlüklərdə periodunu ölçməkləş cismin Yer səthindən hansı hündürlükdə olmasını təyin etmək olar.

Ümumi cazibə qanunundan məlumdur ki,



Bu ifadəni, Yerin səthində və Yer səthindən h hündürlüyündə olan cisim üçün yazaq.



olar
Digər tərəfdən,


hər tərəfdən kvadrat kök alsaq

alınar.
Bir düzxətt boyunca olan rəqslərin toplanması
Praktikada bir cismin eyni zamanda bir neçə rəqsdə iştirak etdiyi hallara rast gəlmək olur. Bu hallarda yekun rəqsi tapmaq üçün vektor diaqramından istifadə etmək əlverişli olur. Bir OX götürək və onu x oxu adlandıraq. X oxu üzərində bir O nöqtəsi qeyd edək, sonra isə bu nöqtədən rəqsin başlanğıc fazasına bərabər bucaq altında hər hansı miqyasla ədədi qiymətcə rəqsin amplituduna bərabər bir vektor çəkək.

Bu vektorun O nöqtəsi ətrafında bucaq sürətilə fırladaq. Bu halda A vektorunun x və ya y oxu üzrə proyeksiyaları və ya qanunu üzrə dəyişəcək, yəni harmonik rəqs edəcək. Şəkildən göründüyü kimi.

olar.

Fərz edək ki, cisim eyni zamanda iki rəqsi hərəkətdə iştirak edir.Bu rəqslərin periodları eyni, amplitud və başlanğıc fazaları fərqlidir.






Bu rəqslər üçün yerdəyişmə tənliklərini yazaq.

Bu halda yekun rəqsdəki yerdəyişmə ayrı- ayrı rəqslərdəki yerdəyişmələrin cəminə bərabər olur.



Bu ifadələri açıb , - yə görə qruplaşdırsaq,



alarıq.

Bu tənlikdən göründüyü kimi, yekun rəqsdə həmin periodlu harmonik rəqsdir. Alınan yekun rəqsin amplitudu vektorların toplanma qaydasına görə belə təyin olunur.






Xüsusi hallara baxaq.

Qeyd edək ki, (+1)-dən böyük, (-1) kiçik qiymət ola bilməz. Ona görə də, yekun rəqsin amplitudu toplana rəqslərin amplitudalarının cəmindən böyük, fərqindən isə kiçik ola bilməz.


  1. Hal. Fərz edək ki, toplanan rəqslərin fazalar fərqi -nin cüt misillərinə bərabərdir,yəni

()





  1. Hal.Toplan rəqslərin fazalar fərqi -nin tək misillərinə bərabərdir.. yəni

()



əgər A1=A2 olarsa, , yəni rəqslər bir birini söndürər.

İndi isə fərz edək ki, toplaqnan rəqslərin periodları da müxtəlifdir. Rəqslərin tənlikləri aşağıdakı kimidir.

Başlanğıc hal olaraq, götürək. Bu halda yekun rəqsin ampletudu



olar., yəni, yekun rəqsin amplitudu zaman keçdikcə dəyişir, b.s. alınan rəqs harmonuk olmaz.Əgər rəqslərin amplitudları eyni, periodları bir-birindən çox az fərqlənərsə, alınan yekun rəqsin amplitudu zamandan asılı olaraq periodik dəyişər. ;






olacaq, yəni A - t-dən asılı olaraq harmonik dəyişəcək. Bu hadisəyə döyünmə deyilir.






Qarşılıqlı perpendikulyar olan rəqslərin toplanması
Fərz edək ki, cisim eyni zamanda bir- birinə perpendikulyar olan iki rəqsdə iştirak. Bi rəqslərin amplitud və fazaları müxtəlif periodları(tezlikkləri) eynidir. Rəqslərin tənliklərini aşağıdakı kimi yazaq:

əvəzləməsini aparaq
Bu halda


Bu tənliklərin hər iki tərəfini , sonra isə - ya vuraq.


tərfə tərəfə çıxaq


Bu tənliklərin hər iki tərəfini kvadrata yüksəldib tərəf tərəfə toplasaq,

(1)

(1) tənliyi yekun rəqsin tənliyidir



(2)
Xüsusi hallara baxaqI

1) Hal. Tutaq ki, toplanan rəqslərin fazalar fərqi sifra bərəbərdir,




- bu isə düz öətt tənliyidirş

Dəməli, fazalar fərqi (0) olan bir-birinə perpendikulyar iki rəqsdə iştirak edən cisim nəticədə koordinat başlanğıcından keçəy düz öətt üzrə hərəkət edər





2) Hal. Fərz edək ki, rəqslərin başlanğic fazalar fərqi -yə bərabərdir

- bu tənlik ellips tənliyidir, əgər olarsa - bu isə çevrə tənliyidir. Əgər bir-birinə perpendikulyar olan rəqslərin periodları bir-birindən fərqlənərsə, onda yekun rəqsin trayektoriyası çox müxtəlif mürəkkəb quruluşlu fiqurlar verir. Bu figurlara Lissacu figurları deyilir.
Sönən rəqslər
Harmonik rəqsi hərəkətin tənliyini çıxartdıqda biz rəqs edən nöqtənin yalnız kvazielastiki qüvvənin təsiri altında olduğunu qəbul etmişdik. Bütün real rəqs edən sistemlərdə müqavimət qüvvələi vardır ki, bu da sistemin enerjisini getdikcə azaldır. Aydındır ki, enerjinin bu azalmasını xarici qüvvələrin işi hesabına artırılmazsa rəqslər sönəcəkdir. Məsələn, rəqqasın rəqslərinin sönməsinin səbəbi onun asılma nöqtəsində meydana çıxan sürtünmə qüvvəsi, havanın müqavimət qüvvəsi və sairə təsirlər olur.

Göstərdik ki, rəqqası xarici qüvvənin təsiri ilə tarazlıq vəziyyətindən çıxarıb özbaşına buraxsaq, o rəqs edəcəkdir.Onun bu rəqsləri sərbəst və ya məxsusi rəqslər adlanlır. Kiçik rəqslər zamanı sistemin sürəti dəkiçik olur və müqavimət qüvvəsi sürətlə mütənasib ollur.

Müqavimət qüvvəsi aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:

- burada r- sabit olub müqavimət əmsalı adlanır. (-) - si isə qüvvənin sürətin əksinə yönəldiyini göstərir.

Onda rəqs edən maddi nöqtə üçün Nyutonun ikinci qanununa əsasən yaza bilərik:



bu differensial tənliyin həlli



şəklimdədir.

burada - mühitin müqavimət qüvvəsi olmadığı halda rəqs edən sistemin tezliyidir ki, -buna da məxsusi tezlik deyilir. X-in t-dən asılılıq qrafiki aşağıdakı kimidir.




Sönən rəqslərdə iki ardıcıl rəqslərin amplitudları nisbəti sabit qalmaqla həmin nisbətin natural loqarifması rəqsin periodu ilə düz mütənasib olur.

Yəni


bu ifadələri tərəf tərəfə toplasaq , burada .

Rəqs başlanandan keçən zaman olduğunda



-a sönmənin loqarifmik dekrementi deyilir.

Beləliklə, məxsusi rəqslərin amplitudu zamna keçdikcə eksponensial qanun üzrə azalır.



Məcburi rəqslər. Rezonans

Rəqs edən sistemə xarici periodik dəyişən qüvvə tətbiq olunarsa, yaranan rəqslər məcburi rəqslər adlanır. Fərz edək ki, rəqsi hərəkətdə iştirak edən yaya periodik dəyişən qüvvəsi təsir göstərir. Onda hərəkət tənliyi aşağıdakı şəklə düşər.



Etdiyimiz işarələrdən istifadə etsək,



almış olarıq.

Bu qeyri bircinsli differensial tənliyin həlli iki hissədən ibarət olur. Bircinsli differensial tənliyin ümumi həlli və qeyri bircinsli differemsial tənliyin xüsusi həlli.Bircinsli tənliyin həllini sönən rəqslərdə nəzərdən keçirdik. Xüsusi həll şəklində olur. Burada



yekun rəqsin amplitudası və ilk fazasıdır,

Deməli, yekun rəqs harmonik rəqsi hərəkətdir və onun tezliyi məcburedici qüvvənin tezliyinə bərabərdir. Xarici qüvənin tezliyi rəqs sisteminin məxsusi tezliyinə bərabər olarsa, onda rəqsim amplitudası maksimal qiymətini alır. Bu hadisə rezonans adlanır. Rezonans tezliyini təyin etməkdən ötrü () düsturunda kökaltı ifadənin minimal qiymətini təyin etmək lazımdır.Kökaltı ifadədən törəmə alıb sıfra bərabər etsək rezonans tezliyi üçün alarıq.

Sönmə əmsalının kiçik qiymətlərində () rezonans tezliyi məxsusi tezliklə eyni olur.Rezonans tezliyinin qiymətini () ifadəsində nəzərə alsaq,



alarıq.

Şəkildə rezonans əyriləri verilmişdir.

Şəkildən görünür ki, olduqda sonsuzluğa yaxınlaşır.Sönmə əmsalı artdıqca əyrinin maksimal qiyməti sol tərəfə öz yerini dəyişdirir.

Rezonans hadisəsinin müsbət və mənfi cəhətləri vardır.Müxtəlif maşın və mexanizmlərin quraşdırılmasında rezonans hadisəsi nəzərə alınmalıdır. Beləki, qurğuların müxtəlif hissələlərinin




məxsusi tezlikləri, güc sisteminin tezliyindən çox fərqlənməlidir. Əks halda rezonans hadisələri qurğunun hissələrinin dağılmasına səbəb olar. Digər tərəfdən bütün radio- texniki sistemlər rezonans hadisəsi əsasında işləyir.

Mexaniki dalğalar

Rəqslərin bütöv mühitlərdə yayılması dalğa adlanır. Mühitin hissəcikləri dalğa ilə birlikdə hərəkət etmir, ancaq tarazlıq vəziyyətləri ətrafında rəqs edirlər. Dalğa prosesinin əsas xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, bu proses zamanı ancaq enerji daşınır. Elastiki mühitdə yaranan dalğalar mexaniki və ya elastiki dalğalar adlanırlar. Mexaniki dalğalar iki növ olur: uzununa və eninə dalğalar.Uzununa dalğalarda mühitin hissəcikləri dalğanın yayılma istiqamətində rəqs edir. Eninə dalğalarda isə mühitin hissəcikləri dalğanın yayılma istiqamətinə perpendikulyar müstəvidə rəqs edirlər. Uzununa dalğalar qaz, maye və bərk cisimlərdə, eninə dalğalar isə yalnız bərk cisimlərdə yayılır.

Dalğanın eyni fazada rəqs edən ən yaxın iki nöqtəsi arasındakı məsafə dalğa uzunluğu adlanır. Deməli dalğa uzunluğu dalğanın bir period müddətində yayıldığı məsafədir., yəni

burada alarıq.

Eyni fəzada rəqs edən nöqtələrin həndəsi yerinə dalğa səthi deyilir.

Qaçan dalğanın tənliyini təyin etmək üçün, yəni rəqs edən hissəciyin yerdəyişməsinin koordinatdan və zamandan asılılığını müəyyən etmək üçün, x oxu istiqamətindənyayılan müstəvi dalğanı nəzərdən keçirək (Şəkil 1).

Rəqs mənbəindən x məsafəsində yerləşən B nöqtəsində yaranon rəqslər üçün

yazmaq olar.




Şəkil 1

Burada , yəni B nöqtəsində rəqslər O nöqtəsinə nəzərən müəyyən zamanından sonra başlayacaq.

alarıq.

Burada dalğanın fazası, A dalğanın amplitudasıdır. tənliyi qaçan dalğa tənliyidir. Bu tənliyin şəklini dəyişdirsək,



yazmaq olar. Burada - dalğa ədədi adlanır. Onda müstəvi dalğa üçün ümumi halda



ifadəsini yazmaq olar. Dalğanın fazası yayılma zamanı sabit qalarsa, ifadəsin differensillasaq alarıq. Onda



Bu ifadə dalğanın faza sürəti adlanır.

Qarşı-qarşıya yayılan eyni amplitudalı, eyni tezlikli iki dalğa sistemi durğun dalğa adlanır. Durğun dalğanın tənliyini müəyyən edək. qarşı- qarşıya yayılandalğaların tənlikləri

olarsa, onda

durğun dalğanın tənliyi



Bu ifadədən görünür ki, durğun dalğanın amplitudası təyin olunur və x koordinatının funksiyasıdır.



olarsa, rəqsin amplitudası öz maksimal qiymətini, yəni 2A olur.

olarsa, rəqsin amplitudası sıfra bərabər olur.

olan nöqtələr durğun dalğanın düyün nöqtələri, olan nöqtələr durğun dalğaların qarın nöqtələri adlanır.

Azərbaycan Dövlət Neft Akademiyası Fizika kafedrası

Mühazirə № 7 Mühazirətçi-dosent: Akif Ağayev





Dostları ilə paylaş:
Orklarla döyüş:

Google Play'də əldə edin


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə