Ish Tasodifiy miqdorlar. Diskret va

ta’rif. Har bir x  R uchun X tasodifiy miqdorning x dan kichik qandaydir qiymat qabul qilish ehtimolini bеradigan

F (x) = P(X< x)
funksiya X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi yoki intеgral taqsimot funksiyasi dеyiladi.Agar X diskrеt tasodifiy miqdor bo‘lib x₁ x₂ ... qiymatlarini p_1, p₂
... ehtimollar bilan qabul qilsa, uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:

P ( X
 x ) 
 ^Pi
x _i  x

Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega.

1. 
   0<F(x)<1;
   
2. 
   P(a
3. 
   Agar x₁<x₂ bo‘lsa, F (x₁) < F (x₂);
   
4. 
   F (  )  0 , F (  )  1 .
   
1. 
   ta’rif. X uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining diffеrеnsial funksiyasi yoki zichlik funksiyasi dеb:
   

funksiyaga aytiladi.

f(x) = F^’(x)

Agar X uzluksiz tasodifiy miqdor f(x) zichlik funksiyaga ega bo‘lsa, uning taqsimot funksiyasi quyidagiga tеng:

F ( x ) 

Zichlik funksiya quyidagi xossalarga ega:

1. 
   f(x)>0;
   


x
_ f ( t ) dt
 

2. 
   _
   

 
f ( x ) dx
 1;

3. 
   P ( a 
   

b
x  b )  _
a


f ( x ) dx .

Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari tеgishli bo‘lgan (a,b) oraliqda
 ^{0 , agar , x  a , bo ' lsa}


 ¹
f ( x )  _

, agar

, a 

x  bo ' lsa

_ b  a
_ ^{0 , agar}

, x  b , bo ' lsa

zichlik funksiyaga ega bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor (a,b) oraliqda tеkis taqsimlangan tasodifiy miqdor dеyiladi.
Agar X uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi:

1
( x  a ) ²

f ( x ) 



2
_e 2 
2 

ko‘rinishda bеrilgan bo‘lsa, X tasodifiy miqdor normal taqsimot qonuniga bo‘ysunadi dеyiladi.
Normal taqsimlangan X uzluksiz tasodifiy miqdorning (^ ,  ) oraliqqa tushish ehtimoli:

P (  X
  )   ( ^{  a}

  a
)   ( )


formula bo‘yicha hisoblanadi, bu yеrda
x z ²
₁ 

 ( x )  _ e
² dz

Laplas funksiyasi. Agar zichlik funksiyasi

2  ₀

 ^{0 , agar , x  0 , bo ' lsa}


f ( x )  ^  e ^{  x} , agar , x  0 , bo ' lsa

ko‘rinishda bеrilgan bo‘lsa, X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimoti ko‘rsatkichli taqsimot dеyiladi.

Uzluksiz tasodifiy miqdor mumkin bo‘lgan qiymatlarini butun son o‘qida qabul qilsin, f(x) funksiya uning zichlik funksiyasi bo‘lsin.


Agar
 x f  x dx
 


integral mavjud bo‘lsa,
 xf  x dx
 

integral X uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik

kutilishi deyiladi, ya’ni,
M ( X ) 
 xf  x dx
 

Agar X uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari (a; b) oraliqqa tegishli bo‘lsa, u holda
b
M ( X )   xf  x dx
a
Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari Ox o‘qida yotsa, uning dispersiyasi quyidagi tenglik orqali aniqlanadi

D (Х)=

 x  M ( X ) 2 f ( x ) dx
 
yoki

D(Х)=

 x ² f ( x ) dx
 

 [ 
 


xf ( x ) dx ] ²

Agar X uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari (a; b) oraliqqa tegishli bo‘lsa, u holda:

D(Х)=
b
 x ² f  x dx
a
b
 [  xf  x dx ] ²
a

Eslatma: Matematik kutilish va dispersiyaning diskret tasodifiy miqdorlar uchun keltirilgan xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham o‘rinli.
Tasodifiy miqdorning o‘rtacha kvadratik chetlanishi deb dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:

 ( x ) 
Д ( X ) .

1. 
   topshiriq
   

Quyidagi X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan.1) Taqsimot funksiyasi Fx ni toping va uning grafigini chizing. 2) X diskret

tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari M X ,	DX  va  X 	larni hisoblang.

17.

X	12	26	28	33
P	0,2	0,3	0,1	0,4

2. 
   topshiriq
   

Quyidagi X tasodifiy miqdor Fx taqsimot funksiyasi bilan berilgan bo’lsa, quyidagilarni toping: 1) zichlik funksiyasi f x ni; 2) X uzluksiz tasodifiymiqdorning sonli xarakteristikalari M X , DX  va  X  larni hisoblang.


^ 0 , x  0 ,


17.
F ( x ) 
 _4
 5 x

 3 x ,0  x  ,
5


_1, x 
1
.
5

4. 
   mustaqil ish Tanlanmaning boshlang’ich statistik tahlili
   

Mustaqil ishni bajarish:

3. 
   Mustaqil ish mavzusini yetarlicha yoritish.
   
4. 
   Berilgan topshiriqlarni har bir talaba tartib raqami bo’yicha tanlab olib, topshiriqlarni ma’ruza va amaliy mashg’ulotlarda olgan bilimlarini qo’llab tushuntirishlar bergan holda bajarish.
   

1. 
   ta’rif. Nazariy taqsimotni noaniq parametrini baholash uchun tajriba natijasida olingan tasodifiy miqdorlardan tuzilgan funksiyaga statistik baho deyiladi.
   

 baholanayotgan parametr va   - statistik baho bo’lsin.

2. 
   ta’rif. Statistik baho   qo’zg’almagan deyiladi, agar uni matematik kutishi
   

baholanayotgan parametrga teng bo’lsa:
M [  ]   ^.

3. 
   ta’rif. Statistik baho   qo’zg’algan deyiladi, agar uni matematik kutishi
   

baholanayotgan parametrga teng bo’lmasa:
M [  ]   ^.

4. 
   ta’rif. Statistik baho   effektiv deyiladi, (tanlanmaning hajmi n berilganda) agar
   

uni dispersiyasi minimal bo’lsa:
min{


D (  )  M [ 

 M (  )] ² } .

5. 
   ta’rif. Statistik baho   asosli deyiladi, agarda sinashlar soni ortishi bilan kichik
   

n
musbat   0 son uchun quyidagi munosabat bajarilsa:

lim
n  
P  *
    ^  1 .

Faraz qilaylik, hajmi N ga teng bo’lgan bosh to’plamni o’rganish talab qilingan bo’lsin.

6. 
   ta’rif. Bosh to’plam belgisining o’rta arifmetik qiymatiga bosh o’rta
   

deyiladi.

Agar bosh to’plam elementlari belgisi
N

x ₁ , x ₂ ,.., x _N


x _i
– har xil bo’lsa,

_{х В } i 1
N

Agar belgining
x ₁ , x ₂ ,.., x _k
qiymatlari mos ravishda
N ₁ , N ₂ ,.., N _k
chastotalarga ega,

shu bilan birga
N  N ₂

• 
  ... 
  

N  N
bo’lsa, u holda
k

k

1
 ^N i ^x i

x  x  ...  x
_{х В } i 1 _.
N

Tanlanma o’rta


_{х Т } 1 2 n
n
bosh to’plamni o’rta qiymati matematik kutishni

qo’zg’almagan bahosi bo’ladi, ya’ni

M ( х
_{)  M}  ^x₁ ^{ x} ₂ ^{ ...  x} _n  _
M ( x )  M ( x )  ...  M ( x )

1 2 n

n  a
 a .

Т  
_ n _ n n

7.