Ish Tasodifiy miqdorlar. Diskret va

ta’rif. Bosh to’plam elementlari belgisining chetlanishlari kvadratidan olingan o’rta arifmetik qiymatga bosh dispersiya deyiladi va quyidagi formula bilan ifodalanadi:

k
 ⁿ i

( x _i

Б
 x ) ²

_{D B } i  1
N
k
(1)

bu yerda
_ n _i  n .
i  1

Agar
x ₁ , x ₂ ,.., x _n
variantalar har xil bo’lsa, u holda
n

_ ( x _i  x )
2



_{D B } i 1 _.
n

B
D bosh dispersiyaning siljilgan bahosidir.

1. 
   formulani ko’rinishini o’zgartiramiz:
   

k
_ n _i ( x _i  x ) _{ }

2

2
2

i
_{D } i  1 _
n
^{ n} i ^x i
 2 x  x  ( x )

n

Demak,
_ n _i


n

2



x
ⁱ  2 x
n _i x _i
n

 x  [ x ] ²

^{ n} i
n


 x ²


 2 x  x  ( x ) ²


2
 x  [ x ] ² .

D  x ²  [ x ] ²
, (2)

_ n x _ n x ²

i

i
bu yerda x  ,
n
deyiladi.
x ² 
i i . (2) formulaga dispersiyani hisoblash formulasi
n

Tuzatilgan tanlanma dispersiya quyidagi formula asosida hisoblanadi

Т
k

 ⁿ i
( x _i
 x ) ²

_S ² _ i  1 _.
n  1

1. 
   misol. Bosh to’plamdan
   

n  50
hajmli tanlanma olingan

varianta		2	5	7	10
chastota		16	12	8	14

Bosh o’rtacha qiymatning siljimagan bahosini toping.
Yechilishi. Bosh o’rtacha qiymatning siljimagan bahosi o’rtacha tanlanma qiymat bo’ladi:


^{ n} i ^x i

t
x
n
16  2  12

 5  8  7  14
50
 10

 5 ,76

2. 
   misol.
   

n  10
hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha

o’rtacha tanlanma qiymati toping:

x _i 1250
n _i 2
1270
5
1280
3

Yechilishi. Dastlabki variantalar katta sonlar, shuning uchun shartli

i
variantalarga o’tamiz: u
qilamiz:
 x _i
 1270
. Natijada shartli variantalar taqsimotini hosil

i
u  20 0 10
n _i 2 5 3
Izlanayotgan o’rtacha tanlama qiymatni topamiz:

t
x  C
_ ^{ n} i ^x i
n
 1270
 ( 20 )  2  0  5  3  10

10

 1270

 1  1269 .

3. 
   misol.
   

n  41 hajmli tanlanma bo’yicha bosh dispersiyaning
D  3

t
siljigan bahosi topilgan. Bosh to’plam dispersiyasining siljimagan bahosini toping.
Yechilishi. Izlanayotgan siljimagan baho tuzatilgan dispersiyaga teng:

S ² 
n 41
D 
n  1 t 40
 3  3,075 .

4. 
   misol. hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo’yicha tanlanma dispersiyasini toping:
   

x _i 186
n _i 2
192
5
194
3

Yechilishi. Variantalar – nisbatan katta sonlar, shuning uchun u
 x _i
 191

i
shartli variantalarga o’tamiz (biz variantalardan o’rtacha tanlanma qiymatga eng

yaqin son C
 19
ni ayirdik). Natijada shartli variantalar taqsimotini hosil qilamiz:

i
u  5 1 3
n _i 2 5 3
Izlanayotgan tanlanma dispersiyani topamiz:

i i
_ n u ^2
 _ n _i u _i ^
2  5 ²

• 
  5  1²
  
• 
  3  3 ²
  

2


 ^{2  5  5  1  3  3} 

t

2
D   _{ } 
n _ n _ 10
 _ 
_ 10 _

 8 , 2  0 ,16  8 ,04 .
1-topshiriq
Tanlama taqsimotining a) tanlanma o’rta qiymatini; b) tanlanma dispersiyasini
x  c

i
_{u } i
h
formula yordamida soddalashtirib hisoblang.

17	x i	2,1	2,3	2,5	2,7	2,9	3,1	3,3	3,5
	n i	19	25	28	30	40	35	24	15

4. 
   mustaqil ish
   

Chiziqli regressiya tenglamasi(eng kichik kvadratlar usuli)
Mustaqil ishni bajarish:

1. 
   Mustaqil ish mavzusini yetarlicha yoritish.
   
2. 
   Berilgan topshiriqlarni har bir talaba tartib raqami bo’yicha tanlab olib, topshiriqlarni ma’ruza va amaliy mashg’ulotlarda olgan bilimlarini qo’llab tushuntirishlar bergan holda bajarish.
   

Ma’lumki, ikkita o’zgaruvchi miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchisini ham o’zgarishga majbur etsa, bu miqdorlar o’zaro funksional bog’langan deb atalar edi. Masalan, doira radiusi R ning o’zgarishi uning yuzi S (S=πR²) ni ham o’zgarishga majbur qiladi, bunda R va S o’zaro funksional bog’langan. Funksional bog’lanish tasodifiy miqdorlar orasida ham bo’lishi mumkin.

Statistik bog’lanish deb shunday bog’lanishga aytiladiki, unda miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchisi taqsimotining o’zgarishiga olib keladi. Xususan, statistik bog’liqlik miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchisining o’rtacha qiymatini o’zgarishiga olib kelsa, bu holda statistik bog’lanish korrelyasion bog’lanish deb ataladi.
Masalan, maydoni bir xil bo’lgan yer uchastkalariga bir xil miqdorda o’g’it solingan taqdirda ham har xil hosil olinadi. Lekin o’rtacha hosildorlik solingan o’g’it miqdoriga bog’liq bo’ladi. Bu yerda hosildorlikning o’rtacha qiymati bilan o’g’it miqdori orasida korrelyasion bog’lanish mavjud deb qarash mumkin.
X ^va Y ^{belgilar berilgan bo’lsin.}

Shartli o’rtacha qiymat
y ^deb Y ^ning
X  x
qiymatga mos qiymatlarining o’rtacha

x
arifmetik qiymatiga aytiladi.
Y ^ning X ^{ga korrelyasion bog’liqligi deb,} funksional bog’liqligiga aytiladi:



x
y ^{shartli o’rtacha qiymatning x ga}

x
y  f ( x ) ^{.
Bu tenglama} Y ^ning X ^{ga regressiya tenglamasi deyiladi;
f  x  funksiya} Y ^ning X ^{ga regressiyasi, uning grafigi esa} Y ^ning X ^{ga regressiya}
chizig’i deyiladi.
Ushbu
^x y ^{  ( y )
tenglama} X ^ning Y ^{ga regressiya tenglamasi deyiladi.} Korrelyasion bog’liqlik ikki xil bo’ladi: chiziqli va egri chiziqli. Korrelyasion bog’liqlik chiziqli bo’lganda regressiya tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.

x
y  ax  b

Bu tenglamadagi a tanlanmaning regressiya koeffisiyenti deyiladi.

a va b ni yeng kichik kvadratlar usuli yordamida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasidan topamiz:

n
b _
i  1
n

2
x _i  a _ x _i
i  1


n n
n
 _
i  1

^x i ^y i , _



bn  a _ x _i
i  1
 _
i  1
y _i .






Y ^ning X ^{ga regressiyasi to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasi}


x

T


y  y  r y ( x  x )
x

x
^{ko’rinishda bo’ladi, bu yerda} y ^{- shartli o’rtacha qiymat, x va y tekshirilayotgan} X

x y

T
^va Y ^{belgilarning tanlanma o’rtacha qiymatlari;  ,  - tanlanma o’rtacha kvadratik}

chetlanishlari, topiladi:
r -tanlanma korrelyasiya koeffisiyenti quyidagi formula orqali

_ n _xy XY  nXY

T
r  .
n  _x  _y

T
Chiziqli korrelyasion bog’lanish zichligini baholash uchun ana shu tanlanma

T
korrelyasiya koeffisiyenti r
shuncha kuchli bo’ladi.
^{xizmat qiladi;} r
birga qancha yaqin bo’lsa, bog’lanish

^{Hisoblashlarni soddalashtirish uchun hisoblash jadvalini tuzish ma’qul. Agar} X ^va Y
belgilar ustida kuzatish ma’lumotlari jadvalini
x  C y  C

i

i
_{u } i 1 _{, v } i 2
h₁ h ₂
shartli variantalarni kiritib soddalashtirish mumkin, bunda C₁ va C₂ mos ravishda x_i

n

1
va ^y
larning variasion qatorining taxminan o’rtasida joylashgan qiymatlari; h
va h ₂

u
mos ravishda ^x
va ^y _n
ning qo’shni qiymatlari orasidagi masofa.

Shartli variantalar orqali tanlanma korrelyasiya koeffisiyenti quyidagicha topiladi:

bu yerda
_ n _uv uv

T
r 

u
n 

 n u v


,
v


_ n _u u
u , V
n
_{ } n _v v
n

,  _u





^{, } v ^{ .}

_ n _uv uv ^{ni hisoblash jadvali orqali topamiz.}




Ularni topgandan so’ngi regressiya tenglamasidagi ifodalarni quyidagicha topamiz:

1 1
x  uh  C ,


2 2
y  vh  C ,
  h ,
  h

u 1

v 2

x

y
1-misol. To’g’ri to’rtburchak plitkaning uzunliklari x(sm) va massalari y (kg)
bo’yicha taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan:

v u	6	8	10	12	14	n x
30	2	17	9	3	-	31
35	-	10	17	9	-	36

40	-	3	24	16	13	56
45	-	-	6	24	12	42
50	-	-	2	11	22	35
n y	2	30	58	63	47	200

Regressiya to’g’ri chiziqlarining tanlanma tenglamalarini tuzing.

1
Yechilishi. C
 40 , C
 10 ,
h  5 ,
h  2
bo’lganligi sababli

1

2

2
x  40 y  10

i
u  ⁱ ,
5
_{v } i

i
2

almashtirish olib quyidagi jadvalga ega bo’lamiz.

v y	-2	-1	0	1	2	n u
-2	2	17	9	3	-	31
-1	-	10	17	9	-	36
0	-	3	24	16	13	56
1	-	-	6	24	12	42
2	-	-	2	11	22	35
n v	2	30	58	63	47	200=n

Jadvaldan foydalanib quyidagilarni hisoblaymiz.

_ n _u u
u 
n
 2  31

 1  36
 0  56
200
 1  42
 2  35
 0 ,07 ;

_ n _v v
v 
n
 2  2  1  30


2
 0  58

200
 1  63
 2  47
 0 ,62 ;

2 _ ⁿ _u ^u u 
n
(  2 ) ²  31  (  1) ²  36  0 ²  56  1 ²  42  2 ²  35

200
 1,71 ;

2
2 _ ⁿ _v ^v v 
n
(  2 ) ²  2  (  1) ²  30

 0 ²  58
200
 1 ²  63
 2 ²  47
^{ 1, 45} ;

^ u <sup> 


</sup> v ^{ 
 1,31 ;} ;

^{ 1,025} .

_ n _UV UV ^{yig’indini hisoblash uchun ushbu hisoblash jadvalini tuzamiz.}

v u	-2				-1							0						1						2				V   vn uv			u  V
-2			-4		17				- 17						0		3				3		-				-18			36
	2										9
	-4			- 34				-18						-6
-1	-				10				- 10		17				0						9		-				-1			1
																				9
					-						-17						-9

		10
0	-	3		-3		24					0			16					16			13				26					39			0
		0				0								0								0
1	-	-			6					0								2 4			12				24					48			48
																24
					6							24			12
2	-	-			2					0			11					11						2 2				44		55			110
					4								22								44
U   un UV	-4	-44			-25								31								56											195
V  U	8	44			0								31								112								195

Korrelyasion jadval har bir katagining yuqoridagi o’ng burchagiga
vn _uv
ko’paytmani

yozamiz. Katakning quyi chap burchagiga
un _uv
ko’paytmani yozamiz.

Barcha kataklarning yuqoridagi o’ng burchagidagi va quyidagi chap burchagidagi

^{sonlarni qo’shib,} V
 _ vn _uv
^va U
 _ un _uv
qiymatlarni hosil qilamiz. Barcha uV va

vU ko’paytmalarni hisoblab, natijalarni qo’shimcha satr va ustunga yozamiz, bunda

_ uV
 _ vU
ko’paytma nazorat uchun xizmat qiladi. U holda

_ n _uv uv
 _ Vu
 _ Uv ^.

Endi korrelyasiya koeffisiyentini hisoblaymiz:

_ n _uv uv

T
r 

• 
  nuv
  

195


• 
  200
  

 0 ,07  0 ,62
 0 ,69 .

^n u ^{ } v
200
 1,3  1,67

(8) formulalarga asoslanib quyidagilarni hosil qilamiz:

x  0 ,07  5  40
 40 ,35 ,

y  0 ,62  2  10
 11 ,24 ,   5 1,31  6 ,55 ,
  2 1,025
 2 ,05 .

x

y
^{U holda (5) formulaga ko’ra} Y ^ning X ^{ga tanlanma regressiya to’g’ri chizig’i} tenglamasi

x
y  11 , 24

 0 ,69

2 ,05
6 ,55

( x  40 ,35 )

yoki


y  0 , 21 x  2 ,77

x
ko’rinishda bo’ladi.

y
Shunga o’xshash ^{x  x  r  x ( y  y )}

formuladan foydalanib X ning Y ga tanlanma


T
y
regressiya to’g’ri chizig’i tenglamasi

^x y ^{ 2 ,1 y  16 ,75}
ko’rinishga ega bo’lishini topamiz.
Topshiriq
To’g’ri to’rtburchak plitkaning uzunliklari x(sm) va massalari y (kg) bo’yicha taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan: regressiya to’g’ri chiziqlarining tanlanma tenglamalarini tuzing.
17.

x y	3	7	11	15	19	23	n y
6	5	3	-	2	-	-	10
16	7	10	1	2	-	-	20
26	2	18	15	20	-	-	55
36	-	-	30	26	-	-	56
46	-	-	-	19	12	-	31
56	-	-	-	-	21	7	28
n x	14	31	46	69	33	7	n  200