Kafedra: Mexatronika və maşın dizaynı

Fakultə: Maşınqayırma və robototexnika

Kafedra: Mexatronika və maşın dizaynı

İxtisas: Yükqaldıran maşınların dinamikası

Qrup: M581a1

Fənn: Mühəndis Riyaziyyatı

Mövzu: Maşınqayırmada diferensial formada hərəkət tənliklərinin tərtibi. Diferensial tənliklərin normal sistemi

Sərbəst iş №3

Tələbə: Əlizadə Cavid

Müəllim: Kərimov Savalan

Maşınqayırmada diferensial formada hərəkət tənliklərinin tərtibi

y dəyişəni x-dən asılı funksiya olduqda F(x,y,y')=0 şəklindəki funksional tənliyə birinci tərtib diferensial tənlik deyilir. F(x,y,y')=0 tənliyini y'-ə nəzərən həll etmək mümkün olduqda,onu y'=f(x,y) şəklində yazırlar.y'=f(x,y) şəklində yazırlar. y'=f(x,y)-yə törəməyə nəzərən həll olunmuş diferensial tənlik deyilir.Törəməyə nəzərən həll olunmuş birinci tərtib diferensial tənliyi M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 kimi də yazmaq olar.y'=f(x,y) tənliyini M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 şəklinə salmaq üçün y'-in əvəzinə dy/dx yazıb,alınan tənliyə çevirirlər.Əksinə çevirmək üçün dy/dx -in əvəzinə y' yazmaq kifayətdir.

(a,b) intervalında birinci tərtib kəsilməyən törəməyə malik y=φ(x) funksiyası yuxarıdakı 3 tənliyi istənilən x∈(a,b) üçün eyniliyə çevirirsə,φ(x) funksiyasına bu tənliklərin (a,b) intervalında həlli deyilir.Əgər birinci tərtib diferensial tənliyi eyniliyə çevirən funksiya qeyri aşkar φ(x,y)=0 şəklində verilmişdirsə,onda ϕ(x,y)=0 tənliyinə həmin diferensial tənliyin inteqralı deyilir.Diferensial tənliyin həlli varsa,onun həlləri sonsuz saydadır.Birinci tərtib diferensial tənliyin y|_x=x0=y₀ şərtini ödəyən həllinə bu diferensial tənliyin xüsusi həlli deyilir.

İxtiyari bir c sabitindən asılı y=φ(x,c) həllinə (φ(x,y,c)=0 tənliyinə) o zaman birinci tərtib diferensial tənliyin ümumi həlli(ümumi inteqralı) deyilir ki, c sabitini seçməklə bu həlldən(bu tənlikdən) həmin tənliyin istənilən y|_x=x0=y₀ şəkilli başlanğıc şərtini ödəyən xüsusi həllini(xüsusi inteqralı) almaq mümkün olsun.

Ən sadə birinci tərtib diferensial tənlik dy/dx=f(x) şəklindədir.Bu tənliyin ümumi həlli həmin tənliyin hər iki tərəfini x-ə nəzərən birbaşa inteqrallamaqla alınır:

dy/dx=f(x)-in y|_x-x0=y₀ başlanğıc şərtini ödəyən həllini tapmaq üçün ümumi həlli

şəklində yazmaq əlverişlidir.Sonuncu bərabərlikdə hər iki tərəfdə x=x0 yazdıqda c=y0 alındığı üçün həmin xüsusi həll

olar.

f₁(x)dx + f₂(y)dy=0 tənliyinə dəyişənlərinə ayrılmış differensial tənlik deyilir.

Belə tənliklərin ümumi inteqralı həmin tənliyin sol tərəfindəki birinci həddi x-ə,ikincini isə y-ə nəzərən inteqrallamaqla alınır:

dy/dx=f₁(x)f₂(y) şəklində tənliklərə dəyişənlərinə ayrılabilən tənliklər deyilir.Bu tənlikləri

şəklində yazdıqda dəyişənlərinə ayrılan tənlik alınır ki,onun da ümumi inteqralı

kimi tapılır.

f₁(x)f₂(y)dx+f₃(x)f₄(y)dy=0 şəklində tənlik də dəyişənlərinə ayrıla bilən tənlikdir.Bu tənliyin bütün həddlərini f2(y)f3(x)-ə bölsək,

dəyişənlərinə ayrıla bilən tənliyə çevirirlər.

φ(x,y,c)=0 əyrilər ailəsinin ortoqonal trayektoriyası bu ailənin hər bir əyrisini düz bucaq altında kəsən xətlərə deyilir

Ortoqonal trayektoriyaların diferensial tənliyini almaq üçün φ(x,y,c)=0 tənliyini x-ə nəzərən diferensiyallayıb,alınmış tənliklə φ

(x,y,c) tənliyindən c parametrini yox edərək,verilmiş əyrilər ailəsinin y'=f(x,y) şəkilli diferensial tənliyini tapmaq,sonra isə ortoqonal trayektoriyanın y'=-1/f(x,y) şəklində olan diferensial tənliyini yazmaq olar.

y'=f(ax+by+c) şəkilli diferensial tənlikləru=ax+by+c əvəzləməsi vasitəsilə dəyişənlərinə ayrılan diferensial tənliyə gətirilir.

y'=e^x+y tənliyinin həlli

İnteqrallasaq,

e^-ydy=e^xdx buradan alırıq ki, -e^-y=e^x+c

e^x+e^-y+c=0

Sonuncu münasibətdə verilmiş diferensial tənliyin ümumi inteqralıdır.

Diferensial tənliklərin normal sistemi

X sərbəst dəyişən,y₁(x),y₂(x),...y_n(x) isə bu arqumentin funksiyaları olduqda

şəklində tənliklər sisteminə adi diferensial tənliklərin normal sistemi deyilir.Sistemin intervaldakı həlli,bu intervaldakı tənliklərin hamısını eyniliyə çevirən n dənə diferensiallanan y₁(x),y₂(x)...y_n(x) funksiyalarına deyilir.

Ψ(x,y₁,y₂,...y_n) funksiyasının özü və onun törəmələri (n+1) ölçülü fəzanın müəyyən bir D oblastında kəsilməyən olub,bu funksiyada y₁,y₂,...,y_n əvəzinə şəkildəki tənliklər sistemin həllinin hər hansı birini yazdıqda istənilən x∈(a,b) üçün sabit qiyməti alırsa,onda Ψ(x,y₁,y₂,...,y_n) funksiyasına yuxarıdakı normal sistemin(a,b) intervalındakı inteqralı deyilir.

Ψ(x,y₁,y₂,...,y_n) funksiyası yuxarıdakı tənliklər sisteminin inteqralı,C isə ixtiyari sabit olduqda

Ψ(x,y₁,y₁,...,y_n)=C bərabərliyinə tənliklər sisteminin ilk inteqralı deyilir.

Qeyd edək ki, n tərtibli f(x,y,y',...,y^(n-1))şəklində olan hər bir yüksək tərtibli adi diferensial tənliyi normal sistemə,və yaxud əksinə gətirmək mümkündür.

Diferensial tənliklərin normal sisteminin həll üsullarından biri naməlum funksiyalarının aradan çıxma metodudur.Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, verilən sistemi çevirərək hər bir tənlikdə bir naməlum funksiya olan bir və bir neçə yeni tənlikdən ibarət olan sistem alırlar.

Normal sistemin həll üsullarından biri də inteqrallanan kombinasiyalar üsuludur.Bu həll üsulunun mahiyyəti isə ondan ibarətdir ki,sistemin n dənə asılı olmayan ilk inteqralı tapılır və bu ilk inteqrallar birlikdə həmin sistemin ümumi həllini ifadə edirlər.