Kompyuter injiniringi fakulteti

1.2. Matritsa rangi

𝐴 matritsaning rangi deb, noldan farqli minorlaridan eng yuqorisining tartibiga aytiladi, 𝑟 (𝐴) orqali ifodalaniladi. Misol
2 −3 1 4
𝐴 = [0 2 −1 −3] matritsaning rangini toping
4 −4 1 5
2- tartibli minorni ko‘ramiz

2- tartibli minor noldan farqli bo‘lgani uchun 3 – tartibli minorni ko‘ramiz. Bunda
4 ta 3-tartibli minor tuzish mumkin
2 −3 1 2 1 4 2 1 4
[0 2 −1] = 0; [0 −1 −3] = 0; [0 −1 −3] = 0;
4 −4 1 4 1 5 4 1 5
−3 1 4
[ 2 −1 −3] = 0;
−4 1 5
Barcha 3 – tartibli minorlar 0 ga teng bo‘lgani uchun, matritsaning rangi 2 ga teng. Matritsani rangini topishda elemetar shakl almashtirirshlar bajarish maqsadga muvofiq. Matritsalar ustida elementar shakl almashtirishlar deganda quyidagilar tshuniladi:

1. 
   Ixtiyoriy ikki satr yoki ustuning o‘rnlarini mos ravishda almashtirish;
   
2. 
   Qator (ustun) barcha elementlarini biror noldan farqli songa ko‘paytirish;
   
3. 
   Qator (ustun) barcha elementlarini biror songa ko‘paytirib boshqa qotor (ustun) elementlariga qo‘shish.
   

Agar 𝐵 Matritsa 𝐴 Matritsa ustida elementarshakl almashtirishlar asosida xosil qilingan bo‘lsa, u holda 𝐴 → 𝐵 kabi belgilanadi.
1-teorema. Elementar shakl almashtirishlar matritsa rangini o‘zgartirmaydi. Har qanday matritsani elementar shakl almashtirishlar yordamida zinasimon ko‘rinishga keltirish mumkin. Biror satrning barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, bunday satr nol satr deyiladi va aksincha, biror noldan farqli satr nol bo‘lmagan satr deyiladi.
2-teorema. Zinasimon matritsaning rangi uning nol bo‘lmagan satrlari soniga teng

Misol

1. 
   2 −1 3 2
   
2. 
   −1 3 0 ¹] matritsaning rangini toping
   

𝐴 = [

3. 
   1 2 3 3
   

1 2 3 1 1
𝐴 matritsani zinasimon ko‘rinishga keltiramiz. Buning uchun quyidagi tartibda elementar shakl almashtirishlar bajaramiz. Buning uchun 1- satrning barcha elementlarini:

1. 
   – 2ga ko‘paytirib, 2 – satrga qo‘shamiz;
   
2. 
   – 3ga ko‘paytirib, 3 – satrga qo‘shamiz;
   
3. 
   – 1 ga ko‘paytirib, 4 – satrga qo‘shamiz va natijada quyidagi matritsani hosil qilamiz:
   

1 2 −1 3 2
0 −5 5 −6 −3]
𝐴 → [
0 −5 5 −6 −3

1. 
   0 4 −2 −1
   

Hosil bo‘lgan matritsani 2- satrini -1ga ko‘paytirib 3 – satrga qo‘shamiz

2. 
   2 −1 3 2
   

0 −5 5 −6 −3
𝐴 → [ ]
0 0 0 0 0
0 0 4 −2 −1
3 – va 4 – satr o‘rinlarini almashtirib zinasimon matritsa hosil qilamiz
1 2 −1 3 2
0 −5 5 −6 −3 ] = 𝐵
𝐴 → [
0 0 4 −2 −1
0 0 0 0 0
1-teoremaga ko‘ra 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐵).
2-teoremaga ko‘ra 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐵) = 3.
Tartibi matritsaning rangiga teng minor bazis minor deyiladi.
Matritsaning rangi uning bog‘liqmas ustunlari (satrlari) sonini ifodalaydi
Xossalari
1^o. Nol matritsaning rangi nolga teng;
2^o. Birlik matritsaning rangi matritsaning tartibiga teng;
3^o. Agar 𝑛 tartibli 𝐴 matritsa xosmas matritsa bo‘lsa, ya’ni 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0 bo‘lsa, 𝑟(𝐴) = 𝑛;
4^o.Matritsa va transponirlangan matritsalar ranglari teng.
Matlab tizimida matritsaning rangini 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) funksiyasi orqali hisoblanadi Misol