Ko’rsatkichli funksiya Ta’rif

Ko’rsatkichli funksiya


Ta’rif: , ya’ni asosi o‘zgarmas, daraja ko‘rsatkichi o‘zgaruv-chi bo‘lgan funksiya, ko‘rsatkichli funksiya deyiladi, bu yerda a- berilgan son bo‘lib, a>0 va
a ≠ 1.
Bu funksiyaning xossalarini ko‘rib chiqamiz:

1. 
   Bu funksiya ning barcha qiymatlari uchun aniqlangan, ya’ni funksiyaning aniqlanish sohasi haqiqiy sonlar to‘plamidan iborat.
   
2. 
   -ning barcha qiymatlari uchun , chunki , . Shu-ning uchun funksiyaning qiymatlar sohasi barcha musbat sonlar-dan iborat , ya’ni .
   
3. 
   bo‘lsin.
   

a) bo‘lganda, bo‘ladi. Haqiqatda, bu tengsizlikning ikkala tomonini ga bo‘lamiz va ni yoki ni hosil qilamiz. Shartga ko‘ra va bo‘lganidan bu tengsizlik-ning tog‘riligiga ishonch hosil qilamiz:
b) 0<a<1 bo‘lsa, bo‘ladi, chunki yoki (birdan kichik sonning musbat ko‘rsatkichli darajasi birdan kichikdir). Bu xossa-dan bo‘lganda, o‘suvchi va bo‘lganda – kamayuvchi funksiya ekanligi kelib chiqadi.
4. bo‘lganda bo‘ladi, demak funksiyaning gra-figi a ning har qanday qiymatlarida (0,1) nuqtadan o‘tadi.
5. bo‘lganda o‘sib borsa, y nolga yaqinlashib boradi, ya’ni funksiyaning grafigi Ox o‘qiga yaqinlashib boradi, lekin gra-figi u bilan kesishmaydi. Xuddi shunday, bo‘lganda, funksiyaning grafigi Ox o‘qining manfiy qismiga yaqinlashib boradi. Bu funksiyaning grafigi quyidagicha bo‘ladi.
y y

x x
0 0

1-rasm 2-rasm
1-rasmda o‘suvchi, 2-rasmda kamayuchi funksiyalarning grafiklari tasvirlangan.
1-misol. va funksiyalarning grafiklari yasalsin.
Yechish: Keltirilgan xossalardan foydalanib, grafikning aniqroq chiqishi uchun har bir grafikda bir necha nuqtalarni aniqlab, grafiklarni yasaymiz (44, 45-rasmlar).
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish: va funksiyalarning grafiklarini bitta
y y
9 9


3 3
1

0 1 2 x -2 -1 0 x

1-rasm. 2-rasm.

chizmada chizamiz. Ularning kesishish nuqtasining abssissasi berilgan tenglamaning yechimi bo‘ladi. Bu tenglamani dan boshqa yechimi yo‘q, chunki agar bo‘lsa va , agar bo‘lsa, . Bu chizmadan ham yaqqol ko‘rinadi: to‘g‘ri chiziq va egri chiziq faqat bitta nuqtada kesishadi.
Misollar.
1. (Og‘zaki) Ko‘rsatkichli funksiyaning o‘sish yoki kamayish xossasidan foydalanib, quyidagi sonlarni taqqoslang:
1) va ; 2) va ; 3) va ;
4) va ; 5) va ; 6. va ;
7) va ; 8) va .
2. (Og‘zaki) Berilgan funksiyalarni o‘suvchi yoki kamayuvchi ekanligini aniqlang:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
3. Hisoblang: 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
4. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) funksiyalarning grafiklarini yasang.
5. funksiyaning grafigidan foydalanib
1) ; 2) ; 3) ; 4) ning qiymatlarini taqribiy hisoblang.
6. Quyidagi funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalarining koordinatalarini toping:
1) va ; 2) va ;
3) va ; 4) va .
7. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) .
10) funksiyalarning grafiklarini yasang.