Mantiğin alani a. Mantiğin konusu

MANTIĞIN ALANI

A. MANTIĞIN KONUSU

Mantık, doğru düşünmeyi konu edinen normatif (kuralcı) bir disiplindir. Doğru düşünme, kendini akıl yürütmede gösterdiğinden, akıl yürütmelerde kullanılan ve dil ile ifade edilen yargılar (önermeler) mantığın konusuna girer.

1 < 2

2 < 4

O halde 1 < 4
Bu şekilde oluşturulan akıl yürütme ve akıl yürütmede geçen yargılar mantığın inceleme alanındadır. Mantık akıl yürütmelerde aklın işleyiş kurallarını belirlemeye çalıştığından normatiftir. Olgulara dayalı deneylemeler yapmaz.
B. MANTIĞIN YARARLARI

1. Dilin doğru kullanılmasını sağlar.

2. Muhakeme gücünü geliştirir.

3. Bilimlere metotluk yapar.

4. Bilgisayar gibi elektrikli devrelerde kullanılır.
C. AKIL İLKELERİ
1. Özdeşlik

Bir şey ne ise odur. Herşey kendisidir. A, A’dır.

2. Çelişmezlik

Bir şey hem kendisi hem de kendisinden başka bir şey olamaz. A, A olmayan değildir. Televizyon hem açık, hem kapalı olamaz. Aksi halde çelişki oluşur.

3. Üçüncü Hâlin İmkânsızlığı

Birşey ya kendisidir, ya da kendisinden başka bir şeydir. A ya da A olmayandır. Televizyon ya açıktır ya da açık değildir. Bunun dışında bir olasılık yoktur.

4. Yeter Sebep İlkesi

Bir akıl yürütmenin doğru sonuç vermesi için yeterli bir sebebe dayanması gerekir.

1< 2 ve 2 < 4 ise buradan 1 < 4 sonucuna ulaşmak için yeterli bir sebep var demektir.
Yeter sebep ilkesi iki ayrı ilkeyle bütünleşir.
a. Amaçlılık: Herşeyin bir amacı vardır. Amaçsız hiç bir şey yoktur. Bu kitabın yazılmasının bir amacı olduğu gibi.
b. Sebeplilik: Herşeyin bir sebebi vardır. Sebepsiz hiç bir şey yoktur. Bu kitabın yazılması belli sebeplere dayanır.
Not: Akıl ilkeleri doğru düşünebilmek için uyulması gereken temel ilkelerdir.

KLASİK MANTIK (ARİSTOTALES MANTIĞI)

A. KAVRAM

Varlıkların zihindeki tasarımı kavram olarak ifade edilir. “Ağaç”, “kuş”, “çiçek”, “insan” tek tek varlıkların tasarımıyla ortaya çıkmış kavramlardır. Kavramlar genel olduklarından tek bir varlığın zihindeki tasarımı olan hayâlden farklıdır. (Kavram genel, hayal ise özeldir.) Örneğin ev hayali, bir tek evin hayalidir; oysa “ev” kavramının içine bütün evler girer.

Kavramlar dil ile ifade edilirse terim adını alır. Mantık’ta terim, kendi başına bir anlam ifade eden en küçük birimdir. (Buna göre önermelerdeki terim sayısı kendi başına bir anlamı olan ifadelerin belirlenmesiyle bulunur.)
1. Terim Çeşitleri

– Tümel terim (Bütün şehirler)

– Tikel terim (Bazı şehirler)

– Tekil terim (İstanbul)

– Genel terim (Şehir)

– Somut terim (İnsan)

– Soyut terim (İnsanlık)

– Olumlu terim (Canlı)

– Olumsuz terim (Canlı olmayan)

– Kollektif terim (Meclis)

– Distribütif terim (Milletvekili)
2. Kavramlar Arası İlişkiler

a. Eşitlik: İki kavramdan her biri diğerinin bütün elemanlarını kapsıyorsa, bu iki kavram arasında eşitlik vardır. (Canlı – Beslenen)

Her canlı beslenendir.

Her beslenen canlıdır.

b. Ayrıklık: İki kavramdan hiçbiri diğerinin hiçbir elemanını kapsamıyorsa, bu iki kavram arasında ayrıklık vardır. (Deve – Kuş)

Hiçbir kuş deve değildir.

Hiçbir deve kuş değildir.

c. Tam girişimlilik: İki kavramdan sadece biri diğerinin bütün elemanlarını kapsıyorsa bu iki kavram arasında tam girişimlilik vardır. (Çiçek – Lâle)

Bütün laleler çiçektir.

Bazı çiçekler laledir.
d. Eksik girişimlilik: İki kavramdan her biri diğerinin bazı elemanlarını kapsıyorsa bu iki kavram arasında eksik girişimlilik vardır.

Bazı insanlar çalışkandır.

Bazı çalışkanlar insandır.

3. İçlem – kaplam ilişkisi

a. İçlem: Bir kavramın içine aldığı bireylerin ortak özellikleri o kavramın içlemini gösterir. “Kuş” kavramının içleminin ortak özellikleri olan “hayvan”, “canlı”, “varlık” vs. gösterir.


b. Kaplam: Bir kavramın içine aldığı bireyler o kavramın kaplamını gösterir. “Hayvan”, “kuş”, “serçe” kavramları “canlı” kavramının kaplamında yer alırlar ve “canlı” kavramının kaplamını gösterirler.



Not 1: İçlem ile kaplam arasındaki ilişki ters orantılıdır. Kaplam arttıkça içlem azalır.

“Varlık” daha geneldir kaplamı çok, içlemi azdır. “Kuş” az geneldir, kaplamı daha az, içlemi daha çoktur.
Not 2: İçlem ile kaplam arasındaki ilişki cins tür ilişkisinde olan kavramlarda belirlenir.
c. Beş tümel

1. Cins

2. Tür

3. Ayırım

4. Özgülük

5. ilinti

“Akıl”, insana özgüdür. (Özgülük) Çünkü insandan başka akıllı varlık yoktur. “Uyuma”, insanda ilintidir; çünkü insandan başka uyuyan varlıklar da vardır.
4. Tanım

Bir şeyin ne olduğunun belirtilmesidir; içleminin verilmesidir. Örnek olarak önermenin tanımını verelim:

“Önerme, iki veya daha fazla terimden oluşmuş yargı cümleleridir.”
a. Tanımın şartları

– Tanım, tam olmalıdır.

– Tanım, kendisinden daha açık olmayan kavramlarla yapılmamalıdır.
b. Tanımlanamazlar
– Duygular (Aşk, kin, ümit, vs.

– Deneyin doğrudan verileri (Renk, koku, ses, vs.)

– Üstün cinsler (Zaman, mekân, vs.)
B. ÖNERMELER
En az iki veya daha fazla terimden oluşmuş yargı cümleleridir. Önermeyi oluşturan terimler önerme bağıyla bağlıdır. Yargı belirttiklerinden bir doğruluk değerine de sahiptir. Önermenin doğruluk değeri “doğru” ya da “yanlış” olmasıdır.
“Dünya gezegen dir” ifadesi bir önermedir.
Terim     Terim     Bağ
Yargı belirtmeyen dua, istek, emir, soru, duygu belirten ve belgisiz zamirle başlayan cümleler önerme değildir. Bu ifadelerin doğruluk değeri de yoktur.
“Bu gün nasılsınız? gibi bir soru ifadesi,
“Ah bir çocuk olsaydım” gibi bir duygu ifadesi yargı belirtmediklerinden önerme değildirler.
1. Önerme Çeşitleri

a. Niceliğine göre

– Tümel önerme: Bütün insanlar beslenir.

– Tikel önerme: Bazı insanlar düzenlidir.

– Tekil önerme: Ali çalışkandır.

– Belirsiz önerme: İnsan canlıdır.
b. Niteliğine göre

– Olumlu önerme: Hava bulutludur.

– Olumsuz önerme: Hava bulutlu değildir.
c. Nicelik ve niteliğine göre

– Tümel olumlu (A): Bütün kuşlar kanatlıdır.

– Tümel olumsuz (E): Hiçbir kuş dört ayaklı değildir.

– Tikel olumlu (İ): Bazı kuşlar ötücüdür.

– Tikel olumsuz (O): Bazı kuşlar göçmen değildir.

– Tekil olumlu: Ankara başkenttir.

– Tekil olumsuz: İstanbul başkent değildir.
d. Olgusal içeriğine göre

• 
  Analitik Önerme: Yükleminin öznesi hakkında yeni bir bilgi vermediği önermelerdir. Örnek: “Kara kediler karadır”. Analitik önermelerin doğruluk değeri, her zaman doğrudur.
  
• 
  Sentetik Önerme: Yükleminin öznesi hakkında bilgi verdiği önermelerdir. Örnek: “Bazı ülkeler gelişmiştir.” Sentetik önermelerin doğruluk değerinin belirlenmesi deney ve gözleme dayanır.
  

e. Yargı sayısına göre

•  Basit Önerme: İçinde tek yargı bulunduran önermeler basittir.

“Ateş yakıcıdır” önermesi tek yargısı olan basit bir önermedir.
•  Bileşik Önerme : İçinde birden fazla yargı bulunduran önermeler bileşiktir.

“Kant 1724 te doğmuştur ve 1804 te ölmüştür.” önermesi iki yargı dile getirdiğinden, bileşiktir.

“İnsan huzur istiyorsa ruh sukunetine ermelidir.” yargısı da bileşik bir önermedir.
2. Önermeler Arası İlişkiler

a. Karşı olma ilişkisi: Özne ve yüklemleri aynı terimlerden oluşmuş iki önerme, sadece nitelik, sadece nicelik veya hem nitelik hem nicelik bakımından farklı ise, bu iki önerme arasında karşı olma ilişkisi vardır.
“Bazı insanlar zekidir.”

“Bazı insanlar zeki değildir.”

Terimleri aynı olan fakat nitelikleri farklı olan bu önermeler arasında karşı olma ilişkisi vardır.

– Üst karşıt

Terimleri aynı, nitelikleri farklı olan iki tümel önerme üst karşıttır.

Bütün çiçekler güzeldir. (Tümel olumlu)

Hiçbir çiçek güzel değildir. (Tümel olumsuz)

– Alt karşıt

Terimleri aynı nitelikleri farklı olan iki tikel önerme alt karşıttır.

Bazı çiçekler güzeldir. (Tikel olumlu)

Bazı çiçekler güzel değildir. (Tikel olumsuz)

– Altık

Terimleri aynı nicelikleri farklı olan önermeler altıktır.

Bütün çiçekler güzeldir. (Tümel olumlu)

Bazı çiçekler güzeldir. (Tikel olumlu)

Hiçbir çiçek güzel değildir. (Tümel olumsuz)

Bazı çiçekler güzel değildir. (Tikel olumsuz)
– Çelişik

Terimleri aynı nicelik ve nitelikleri farklı olan önermeler çelişiktir. Çelişik önermelerin yargısı ve doğruluk değeri değişir. Çelişik önermelerden biri doğru ise diğeri zorunlu olarak yanlıştır.

Bütün çiçekler güzeldir. (Tümel olumlu)

Bazı çiçekler güzel değildir. (Tikel olumsuz)
Bazı çiçekler güzeldir. (Tikel olumlu)

Hiçbir çiçek güzel değildir. (Tümel olumsuz)
b. Döndürme ilişkisi

– Düz döndürme

Bir önermenin olumlu ve olumsuzluğuna ve doğruluğuna dokunmadan öznesini yüklem, yüklemini özne yapmaktır.
Bütün kuşlar kanatlıdır. D

Bazı kanatlılar kuştur. D

– Ters döndürme
Bir önermenin niteliğine ve doğruluğuna dokunmadan öznesinin karşıt halini yüklem, yükleminin karşıt halini özne yapmaktır.
Bazı şehirler düzenli değildir.

Bazı düzenli olmayanlar şehir olmayan değildir.

C. ÇIKARIM
Verilen önermelerden bir sonuç çıkarma işlemidir. “O halde”, “öyleyse” ile başlayan bir sonuç önermesine ulaşılması halinde, verilen önermeler kümesi bir çıkarımdır.
1 < 3, o halde 3 > 1 (çıkarım)
Canlılar beslenir. O halde bitkiler beslenir. (çıkarım) Çıkarımda sonuçtan önce gelen ve sonuca bilgi sağlayan (veri olan) önermelere öncül denir. Çıkarımlar, öncül ve sonuç gibi en az iki yargıdan oluşurlar.
1. Çıkarım Çeşitleri
a. Analoji: Özelden özele yapılan akıl yürütmedir. Konya İç Anadolu’dadır ve karasal iklimi vardır. Ankara da İç Anadolu’dadır. O halde Ankara’da da karasal iklim görülür.
b. Tümevarım: Özelden genele yapılan akıl yürütmedir. Somali ve Yeni Gine gelişmemiştir ve milli gelir düşüktür. O halde, gelişmemiş ülkelerde milli gelir düşüktür.
c. Tümdengelim: Genelden özele yapılan akıl yürütmedir.
Her canlı beslenir.
O halde, bitkiler de canlı olduğundan beslenir.
2. Kıyas
Verilen önermelerden zihnin zorunlu olarak bir sonuç çıkarmasıdır.

a. Kıyas kuralları

• 
  Her kıyasta büyük, küçük ve orta terim bulunur.
  
• 
  Orta terim sonuçta yer almaz.
  
• 
  Orta terim öncüllerin en az birinde bütün kaplamıyla alınmalıdır.
  
• 
  İki tikel öncülden sonuç çıkmaz.
  
• 
  İki olumsuz öncülden sonuç çıkmaz.
  
• 
  Öncüller olumlu ise sonuç olumsuz olmaz.
  
• 
  Sonuç öncüllerin zayıf olanına bağlıdır. (Olumsuz ve tikel olana) Buna göre öncüllerden biri tikel ise sonuç ta tikeldir, öncüllerden biri olumsuz ise sonuç da olumsuzdur.
  

b. Kıyas çeşitleri
ba. Basit kıyas
İki öncül ve bir sonuçtan oluşur. ikiye ayrılır.
– Kesin kıyas
Kıyasın sonucu öncüllerde sadece anlam bakımından vardır. Örnek

Bütün insanlar ölümlüdür. Aristo insandır. O halde Aristo ölümlüdür.

(Öncül) (Öncül) (Sonuç)

– Seçmeli kıyas

Sonuç öncüllerde hem şekil, hem de anlam bakımından vardır. Örnek:

Sayı tektir ya da sayı çifttir. Sayı tek değildir. O halde sayı çifttir.

(Öncül) (Öncül) (Sonuç)

bb. Bileşik kıyas
İkiden fazla öncülü bulunan kıyaslardır.
bc. Düzensiz kıyas
Basit ve bileşik kıyas türüne uymayan kıyaslardır. Örneğin:
Düşünüyorum.  (Öncül)

O halde, varım.  (Sonuç)

Bu kıyas düzensiz kıyaslardan entimem’e örnektir.
bd. Zincirleme kıyas
İkiden fazla öncüle sahip bileşik kısaylara zincirleme kıyas denir. Birden fazla basit kıyastan oluşur.
Bütün omurgalılar kırmızı kanlıdır.

Bütün memeliler omurgalıdır.

Bütün memeliler kırmızı kanlıdır.

Bütün et yiyenler memelidir.

Bütün et yiyenler kırmızı kanlıdır.

Bütün kediler et yer.

O halde bütün kediler kırmızı kanlıdır.
Zincirleme kıyasta ortadaki sonuçlar çıkarılırsa, bu kıyas sorit olur.

SEMBOLİK MANTIK

Çıkarımları sembolik bir dille denetlemek için geliştirilmiştir. Çıkarım, eldeki bilgilerden bir sonuç çıkarma işlemidir. Eldeki bilgilerden beklenen sonuçların çıkıp çıkmadığını araştırmaya denetleme denir.

Sembolik mantık günlük dildeki önermeleri semboller yardımıyla çok anlamlılığa ve belirsizliğe yer vermeden denetleyebilmeyi sağlar.

A. ÖNERMELER MANTIĞI

1. Önermelerin Sembolleştirilmesi

Önermeler mantığında her bir yargı p, q, r… gibi sembollerle ifade edilir. Örnek:

Dünya gezegendir. Dünya’nın şekli elipstir.

p                            q

Güneş yakıcıdır.

r

2. Önerme Eklemleri : ~, Ú, Ù, Ş, Û

Dünya gezegen ise güneş yakıcıdır. (p Ş r)

p          Ş r

Dünya gezegendir ve şekli elipstir. (p Ù q)

p           Ù q

Ay, ışık kaynağı değildir. (~p)

p              ~

Bitkiler köklüdür. (p)

Dünya gezegendir veya güneş yakıcıdır. (p Ú r)

p               Ú r

Güneş doğduğunda ancak gündüz olur. (p Û r)

p               Û r

3. Önerme Çeşitleri

a. Basit önerme

Bir tek yargısı olan önermeler basittir.

Aristotales filozoftur.

p

Bazı çiçekler kokuludur.

q

b. Bileşik önerme

Birden fazla yargısı olan önermeler bileşiktir.

Aristotales filozoftur veya bilim adamıdır. (p Ú q)

p                               q

Yağmur yağıyor ise hava bulutludur. (r Ş s)

r                          s

Not: İçinde önerme eklemi taşıyan önermeler de birden fazla yargı taşıdıklarından bileşiktirler.

İstanbul başkent değildir (~ p)

p (bileşen)          ~

Kuşlar kanatlıdır ve iki ayaklıdır. (q Ù r)

q (bileşen)          r (bileşen)

Bileşik önermeyi meydana getiren önermelerin her birine bileşen denir. Hiçbir bileşeni olmayan önermeler basittir. Sadece değilleme (~) ekleminin tek bileşeni vardır. Kuşlar ötücüdür. (p) önermesi basittir. Kuşlar ötücü değildir. (~p) önermesi bileşiktir.

4. Ana Eklem – Ana Bileşen

Birden fazla bileşik önermeden oluşan önermelerde en son işleme katılan eklem, ana eklemdir.

Ana eklemin karşıladığı önermeler de ana bileşendir.



5. Temel Doğruluk Çizelgeleri

a. Değilleme eklemi (~)

Bilim faydalıdır. (p) Bilim faydalı değildir. (~ p) p             ~ Bilimin faydalı olmadığı doğru değildir. (~~p) ~P                          ~

b. Tikel evetleme eklemi (Ú)

Bileşenlerden en az birinin doğru olduğunu kabul eden önerme eklemidir.

Hava bulutludur veya hava yağmurludur. (p Ú q)

p                              q

c. Tümel evetleme eklemi (Ù)

Bileşenlerinin tümünün doğru olduğunu kabul eden önerme eklemidir. Bileşenlerin birlikteliğini ifade eden ile, kadar, hem-hem, da-da tümel evetleme eklemiyle belirtilir.

Mevsim yazdır ve güneş yakıcıdır. (p Ù q)

p                        q

d. Koşul eklemi (Ş)

Yargının bir koşula bağlı olduğu önerme eklemidir.

Yağmur yağıyor ise hava bulutludur. (p Ş q)

p (ön bileşen)        q (ard bileşen)

Hava bulutlu değilse yağmur yağmaz. (~q Ş ~p)

~q                     ~p

önermesi, p Ş q önermesinin mantıksal sonucudur. Dolayısıyla aynı doğruluk değerlerine sahiptirler.

Yağmur yağmıyor veya hava bulutludur. (~ p Ú q)

~ p                            q

önermesi de, p Ş q önermesinin mantıksal sonucudur. Dolayısıyla doğruluk değerleri aynıdır.



e. Karşılıklı koşul eklemi (Û)

Yargının sadece tek bir koşula bağlı olduğu önerme eklemidir.

Güneş doğduğunda ancak ve ancak gündüz olur. (p Û q)

6. Denetlemeler

a. Tutarlılık

• 
  Bir önermenin tutarlılığı : Yorumlama tablosunda doğrulardan oluşan en az bir satırı bulunan önermeler tutarlıdır.
  

Mevsim kıştır. p

p D        Tutarlı Y        Geçersiz

Not 1:

1. Tutarlı önermeler geçersiz olabilir.

2. Geçersiz önermeler tutarlı olabilir.

Mevsim kıştır veya mevsim kış değildir. (p Ú ~ p)

p                            ~ p

Not : 2 Geçerli her önerme tutarlıdır.

Mevsim kıştır ve mevsim kış değildir. (p Ù ~ p)



Not 3:

• 
  Tutarsız her önerme geçersizdir.
  
• 
  Geçersiz bir önerme tutarsız olabilir.
  
• 
  Birden fazla önermenin birlikte tutarlılığı: Yorumlama tablosunda doğrulardan oluşan ortak bir yorumu bulunan önermeler birlikte tutarlıdır.
  

~ p Ú q, ~ p Ş q önermeleri birlikte tutarlıdır.

b. Geçerlilik:

Yorumlama tablosunda yanlışlardan oluşan hiçbir satırı bulunmayan önermeler geçerlidir. Yukarıda geçen önermelerin geçerliliğini inceleyelim,

• 
  Çıkarımların Geçerliliği: Bir çıkarımın geçerli olması, öncülleri doğruyken sonucun yanlış olmamasına bağlıdır. Buna göre öncülleri doğru iken sonucu yanlış olan çıkarım geçersiz, diğer hallerde geçerlidir.Örnek:
  

Güneş doğmuştur. (p) öncül

O halde gündüz olmuştur (q) sonuç

p Ş q olarak sembolleştirilebilen bu çıkarımın geçerliliğini inceleyelim.



c. Eşdeğerlilik:

Aynı doğruluk değerine sahip önermeler eşdeğerdir.

Not: Bütün geçerli önermeler eşdeğerdir.



Not: Bütün tutarsız önermeler eşdeğerdir.

A, B gibi iki ayrı önermenin eşdeğer olması (aynı doğruluk değerinde olması) A Û B önermesinin geçerli olmasına veya ~ (A Û B ) önermesinin tutarsız olmasına bağlıdır.

Buna göre ~ (A Û B) tutarsız ise, (A Û B) geçerlidir. Dolayısıyla A ile B eşdeğerir.

B. YÜKLEMLER MANTIĞI

İçinde “ (her), $ (bazı) gibi niceleyici geçen önermeler yüklemler mantığının konusunu oluşturur. Bu önermelere genel önerme denir. İçine niceleyici geçmeyen önermelere de tekil önerme denir.

Yüklemler mantığında önermeler mantığından farklı olarak basit önermelerin iç yapıları da sembolleştirilebilmektedir. Örnek olarak:

“Bütün kuşlar kanatlıdır” önermesi önermeler mantığında p olarak sembolleştirilirken, yüklemler mantığında “xFx şeklinde sembolleştirilir. Bu ayrıntılı sembolleştirilmeden dolayı önermeler mantığında tutarlı olan bir önerme yüklemler mantığında tutarsız olabilmektedir.

1. Tanımlamalar

a. Değişmezler ve sembolleştirilmesi:

– Mantık değişmezleri

~, Ú, Ù, Ş, Û (önerme eklemleri)

“, $ (niceleyiciler)

– Özel değişmezler

a, b, c…(ad değişmezleri )

F, G, H …(yüklem değişmezleri)

Aristo filozoftur (Fa)

a          F

Aristo insandır. (Ga)

a        G

Sokrates insandır. (Gb)

b          G

Aristo filozof ise Aristo insandır. (Fa Ş Ga)

Fa         Ş Ga

b. Değişkenler: Belli bir değeri olmayan ve farklı değerler alabilen x, y, z… gibi sembolleredeğişken denir. içine x, y, z gibi değişken geçen önermelere de açık önerme denir. Örneğin;

“x < z”

“x + y = 4″

“z başkenttir.” birer açık önermedir.

Açık önermelerin doğruluk değeri yoktur.

c. Tümel Niceleme: “x katıdır” (Kx) açık önermesi E= {demir, cam} evreninde

“Demir katıdır.”

“Cam katıdır.” özellemeleri yapıldığında, evrendeki tüm elemanlar (Tümel niceleme gereği evrendekilerin hepsi) açık önermedeki x’i karşılarsa, Kx açık önermesi verilen evren için
“x K x olarak gösterilir.

““x (x başkenttir)” önermesinin E = {Ankara, İstanbul} evreninde;

“Ankara başkenttir.” D

“İstanbul başkenttir.” Y

özellemeleri yapıldığında, D Ù Y º Y sonucuna ulaşılır. Buna göre tümel niceleyici ile yapılan önerme verilen evrende gerçeklenmemiştir.

d. Tikel niceleme: “x sıvıdır.” (Sx) açık önermesi E= {su, taş} evreninde, “Su sıvıdır.”

“Taş sıvıdır.” özellemeleri yapıldığında; evrendeki bazı elemanlar (Tikel niceleme gereği evrendekilerden en az biri) açık önermedeki x’i karşılarsa, Sx açık önermesi verilen veren için $ x S x olarak gösterilir.

“$ x (tek sayıdır.)” önermesinin E = {0, 1, 2}} evreninde

“0 tek sayıdır.” Y

“1 tek sayıdır.” D

“2 tek sayıdır.” Y özellemeleri yapıldığında,

Y Ú D Ú Y º D sonucuna ulaşılır. Buna göre tikel niceleyici ile yapılan önerme verilen evrende gerçeklenmiştir.

Tümel niceleyici ile yapılan önermelerde, özellemelerin arasında tümel evetleme eklemi (Ù) kullanılır. Tikel niceleyici ile yapılan önermelerde, önermeler arasında tikel evetleme eklemi (Ú) kullanılır.

e. Niceleyici Değilleme Kuralları (Eşdeğerlilik)

~ “ x F x º $ x ~Fx

~ $ x F x º “ x ~Fx

~ “ x ~ F x º $ x Fx

~ $ x ~ F x º “ x Fx

Eşdeğerlilik Örnekleri

Her insanın fakir olduğu doğru değildir. Bazı insanlar fakir değildir.

Bazı insanların fakir olduğu doğru değildir. Hiçbir insan fakir değildir.

Hiçbir insanın fakir olmadığı doğru değildir. Bazı insanlar fakirdir.

Bazı insanların fakir olmadığı doğru değildir. Her insan fakirdir.