Ma’ruza. Tutash muhitlar mexanikasining predmeti, asosiy

Skalyar va vektor maydonning ta’riflari
Har bir nuqtasida to’la aniqlangan biror miqdorlar maydoni fazo deb ataladi. Agar bu miqdor skalyar bo’lsa, ya’ni u bitta son bilan xarakterlansa, u holda bu maydon skalyar maydon (masalan, zichliklar maydoni, temperaturalar maydoni va hokazo) deb ataladi. Fazoning har bir nuqtasida miqdori va yo’nalishi bilan xarakterlanadigan maydon vektorli maydon deb ataladi.

Tutash muhit zarrachasi tezlik va tezlanishining biror koordinata o’qidagi, masalan, Ox o’qidagi

mos u_x
va a_x
proyeksiyasini topish uchun uning x, y, z koordinatalar funksiyasi, va o’z navbatida,

umumiy holda t vaqtga ham bog’liq bo’lishini hisobga olishimiz zarur.
Radius-vektorga nisbatan esa
_→ → _→ → ₂ →

u  ^dr ,
_{a } du _ d r _.

d t d t d t ²
Tutash muhit butun massasining harakati ma’lum bo’ladi, agar quyidagi sistema ma’lum bo’lsa:

x  ₁(a,b, c,t), y  ₂ (a,b, c,t), z  ₃ (a,b, c,t),
(3.1’)

bunda ^{a , b , c} - zarrachalarning t=0 boshlang’ich vaqt momentidagi koordinatalari va ular zarrachalarni
belgilash uchun xizmat qiladi. Bu tenglamalardan t vaqtni yo’qotib zarrachaning traektoriyasi
tenglamasini hosil qilamiz. Bunda ^{a , b , c} va t miqdorlar Lagranj o’zgaruvchilari deyiladi. Lagranj
usuliga ko’ra suyuqlik yakka zarrachasining traektoriyasi bo’ylab harakati tekshiriladi. Ma’lumki, zarrachalar cheksiz ko’p, bunday holda traektoriyani berish uchun faqat traektoriyasi qarashli bo’lgan
zarrachani tekshirish lozim. Buning uchun esa zarrachaning xarakteristikasi sifatida ^{a , b , c}

koordinatalar t  t₀
boshlang’ich vaqt momentida tanlab olinadi. Shunday qilib, suyuqlik zarrachasining

x, y, z koordinatalari ^{a , b , c} miqdorlar va t vaqtdga bog’liq bo’ladi.
Berilgan funksiyalar uchun zarrachalar v tezlik vektori va a tezlanish vektorining koordinat o’qlaridagi proeksiyalari quyidagilarga teng:

v  ^x , v
x _{ t} y
 ^y , v
 t ^z
_ z _,
 t

a_x 
Radius-vektorga nisbatan esa
v_x
 t
 ² x


,
 t ²


a_y 

→
v_y

 t


_→
 ² y


,
 t ²


₂ →


a_z 
v_z
 t
_ ^ 2 ^z . (3.2’)
 t ²

→ _ r _{a } ^v _ ^{ r
v}  t ^,  t  t ^{2 .}
Harakatning har ikkala koordinat usullari uchun to’la tezlik, to’la tezlanish va yo’naltiruvchi
kosinuslar mos ravishda quyidagicha hisoblanadi:
^{u } , ^{a } ,

^{cos  ux} ,
u
cos   ^uy ,
u

cos
^{ uz} .

u

^{(x , y , z )} koordinatalardan va t vaqtga bog’liq funksiya uchun zarracha traektoriyasi bo’ylab vaqt
bo’yicha differensiallash operatorini (hosilani) kiritamiz:

d _ 
dt t



^vx x



^vy y



^vz z
 ^  ^→  grad  . (3.3)

v
t

Bu erda ^ belgi qavs ichidagi miqdorlarning skalyar ko’payt-masini anglatadi. Bu kiritilgan (3.3)

operator to’la yoki individual (ba’zida substansional) hosila deb ataladi.
dA(r ,t) dt

to’la hosila

zarrachadagi A miqdorning vaqt o’zgarishi bo’yi-cha tezligidir. Shunga ko’ra, to’la yoki substansional

hosila lokal ((3.3) ning o’ng tarafidagi birinchi qo’shiluvchi) va kon-vektiv (undagi ikkinchi qo’shiluvchi) hosilalar yig’indisiga teng ekan.

Yuqoridagi (3.3) to’la differensial formulasiga ko’ra suyuqlik zarrachasining a tezlanish vektorining to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi o’qlaridagi proeksiyalari quyidagilarga teng:

_{a } dv_x
^x dt
_ v_x
t

• 
  v_x
  

v_x
x

• 
  v_y
  

v_x
y

• 
  v_z
  

v_{x ,}
z

_{a } dv_y
^y dt
_ v_y
t

• 
  v_x
  

v_y
x

• 
  v_y
  

v_y
y

• 
  v_z
  

v_y
z ^,

yoki
_{a } dv_z
^z dt
_ v_z
t

• 
  v_x
  

v_z
x

• 
  v_y
  

v_z
y

• 
  v_z
  

v_z
z

^{a  vx } ( v ∙ grad v ),
^x t ^x

_{a } v_y
^y t

• 
  ( ^v ∙ grad v_y ),
  

_{a } v_z
^z t

• 
  ( v ∙ grad v_z
  

). (3.4)

Bu ifodalardan ko’rinadiki, suyuqlik zarrachasining a tezlanishi ikkita tezlanishlar yig’indisiga teng ekan:
→ → →

bu erda

a  a_lok

• 
  ^akonv^,
  

→ ^v_x ^→

v_y ^→

v_z ^→

a_lok  _t i  _t j  _t k
-tezliklar maydonining vaqt bo’yicha o’zgarishiga asoslangan lokal tezlanish. Lokal tezlanish nostatsionar jarayonni bildiradi. Bundan kelib chiqadiki, agar harakat statsionar (barqaror) bo’lsa, u holda lokal tezlanish bo’lmaydi, ya’ni

→
^alok
 0 (yoki
v_x
t
 0 ,
v_y
t
 0 ,
v_z
t
 0 );

→  ^v_x
v_x
v_x ^{→ }

v_y

v_y
^vy  ^→

 v_z

v_z
v_z  ^→

^akonv ^{  v}x
_x  v_y
y  v_z
z ^i  ^ v_x
x  v_y
y  v_z
z ^ j   ^ v_x
x  v_y
y  v_z
z ^k

^{ }   ^{ }
- tezliklar maydonining bir jinslimasligiga asoslangan konvektiv tezlanish. Bu tezlanish tezliklar maydonining tekis emasligidan, ya’ni tezliklarning tekis taqsimlanmaganligidan kelib chiqadi.
Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilariga, va aksincha, o’tish uchun (3.1) va (3.1’) tenglamalar sistemalarini yechamiz, mos ravishda o’rniga qo’yishlarni bajaramiz. Qolgan kinematik parametrlar yuqoridagi formulalardan topiladi.

1. 
   Tutashmuhitningstatsionarvanostatsionarharakati
   

Tutash muhitning harakati barqaror (statsionar) harakat deb ataladi, agar berilgan nuqtada vaqt o’tishi bilan oqimning asosiy parametrlari (tezlik, bosim, zichlik) o’zgarmasa, ya’ni


^{→  f x, y, z;} p  f x, y, z;   f x, y, z. (3.5)
^v u p 

Agar bu shart bajarilmasa va nuqtadagi parametrlar vaqt o’tishi bilan o’zgarib borsa, bunday harakat

nobarqaror (nostatsionar) harakat deb ataladi, ya’ni
^{→  f x, y,z,t;} p  f x, y, z, t;   f
x, y, z,t. (3.6)

^v u p 

Bu tuchunchalarda gap nuqtadagi parametrlar to’g’risida borayotganligiga e’tibor beriskerak. Buni tushuntirish uchun 3.1-chizmada tasvirlangan kanalni qaraylik. Gidromexanikada oqim harakati bo’ylab kesim yuzasi kamayib boradigan kanallar konfuzorlar deb
ataladi. Bunday kanal yo’li bo’ylab oqim oshib boradi va unda suyuqlik harakati barqaror bo’ladimi, degan savol tug’iladi. Tabiiyki, bunday bo’lishi uchun A va B nuqtalardagi parametrlar vaqt otishi bilan o’zgarmasligi kerak. Harakat ko’rinishining ta’rifi А, В va С nuqtalardagi parametrlarning bir xil bo’lishini talab qilolmaydi.
3.1-chizma. Konfuzordagi oqimning sxematik
tasviri.

2.