Ma’ruza. Tutash muhitlar mexanikasining predmeti, asosiy

TA’RIF 1. Xuddi dr

3. 
   Vektor va tenzorning ta’riflari _→
   

ga o’xshash bazis vektorlari orqali A=A^{i э}_i

kabi tasvirlanuvchi va A ⁱ

komponentalari (4.20) formulalar bilan almashtiriluvchi

_A ' j
 b_i^j A ⁱ

hamda koordinatalarni almashtirishga nisbatan invariant

→
→
А  А ⁱ э_i
i
' j ^→'

 A э
j

(4.21)
→

ob’yekt vektor deyiladi. Bu yerda A
kattaliklar koordinat sistemasiga bog’liq bo’ladilar, ^э_i
bazis

^{vektorlari esa A}i ^{kattaliklar yordamida yangi ob’yekt- A vektorni bunyod qiladilar.}
Chiziqli koordinatalar sistemasida tenzorning ta’rifini berish uchun bundan keyin bizga vektorlarining diad ko’paytmalari tushunchasi bilan tanishish zarur bo’ladi (diad – ikki vektor ko’paytmasi, poliad ko’p vektorlar ko’paytmasi demakdir). Bazis vektorlarining quyidagi diad
ko’paytmalarini kiritamiz

_{E } → → → → → →
→ → → → → →

₁ э₁э₁ , E ₂  э₁э₂ , E ₃  э₁э₃ , E ₄
 э₂э₁ , E ₅  э₂э₂ , E ₆  э₂э₃ ,

_{E } → → → → → →

₇ э₃э₁ , E ₈  э₃э₂ , E ₉  э₃э₃ .
va

i
T  T ⁱ E ,


(i  1,9)

(4.22)

^{ob’yektni qaraymiz. Bu yerdagi T i sonlar T ning E}i ^{bazisdasi komponentalari deyiladi. Bazis} vektorlarining diad ko’paytmalari chiziqli bog’lanmaganlar. U holda T=0 tenglik faqat T ⁱ =0 ( ⁱ =1,9 )
^{munosabat i ning hamma qiymatlari uchun bir varakayiga bajarilsa o’rinli bo’ladi. Odatda E}i^{lar o’rniga}
→ →
^э_i ^э _j belgilashlarni ishlatish va (4.22) ni

_{i j} → →

T = T

→ →

э_i э _j

→

ko’rinishda yozish ancha qulayroq. Diad
э_i э _j
ko’paytmalar ham xuddi ^э_i
bazis vektorlarining o’zlari

kabi koordinatalar sistemasini tanlashga, boshqacha aytganda koordinatalar sistemasiga bog’liq bo’ladi. Bu esa o’z navbatida koordinatalarni almashtirganda diadlarni almashtirish formulasini chiqarishni taqozo

→_ →_

qiladi. Yuqorida keltirilgan (4.19) formula asosida
э_i э _j
diad ko’paytma uchun

^→' ^→ ' ^{p q}

э_i ^э _j ^{ a} _j ^a _j э_p э_q
(4.23)

ifodaga ega bo’lamiz. Demak, _{→ →}

T = T ^ij
э_i э _j

ob’yekt invariant bo’lishligi uchun va (4.23) formulaga asosan T ^ij kattaliklar kontravariant yo’l bilan almashtirilishlari zarurligi kelib chiqadi, ya’ni

_{T }ij _{ b} i _b j_T pq
(4.24)

p q

→ →

TA’RIF 2. T = T ^{ij э}_i ^э _j - invariant ob’yekt ikkinchi rang tenzor deyiladi. Tenzorning rangi deb uning komponentalarining indekslari soniga aytiladi.
Yuqorida ta’kidlanganidek vektor birinchi rang tenzordir. Ikkinchi rang tenzorga o’xshash ixtiyoriy
rangli tenzor tushunchasini kiritsh mumkin. Masalan
→ → _{→ →}

_{T = T} i j k l
^{эi э j} э_k э_l
→ → _{→ →}

ob’yekt to’rtinchi rang tenzordir. Bu yerdagi T ^ijkl larni
^{k l} komponentalar xuddi (4.24) kabi almashtiriladilar.
э_i э _j
э_k э_l
poliad ko’paytmalar boshqaradi; T ^{i j}

Bundan oldingi keltirilgan mulohazalar fazoning bitta ixtiyoriy, ammo fiksirlangan nuqtasiga oid edi. Bunday mulohazalarni butun fazoga yoyish uchun nuqtaning ixtiyoriyligidan tashqari qaralayotgan fazo uchun metrika (o’lchov) tushunchasini ham kiritish zarur bo’ladi. Ma’lumki fazoning metrikasi deganda odatda shu fazoda uzunlikni aniqlash usuli tushuniladi. Biror vektorning uzunligini
aniqlash uchun uning o’zini-o’ziga skalyar ko’paytirish yetarli, ya’ni

→ 2 ₂ → →
_i → _j →
_{i j} → →

d r  ds  dr dr  d
→
э_i d  э _j
 d d э_i э _j

Bu yerdagi ^э_i
^{bazis vektorlarining skalyar ko’paytmasini g}ij ^{lar orqali belgilaymiz, yani}

_{g } → →

U holda d r vektorning uzunligi uchun

ij ^эi ^эj
^→ 2
dr
 d ⁱ d ^j g _ij


(5.1)

^{formulaga ega bo’lamiz. Kiritilgan yangi g}ij ^{kattaliklar yordamida ixtiyoriy} quyidagicha yozish mumkin:
A vektorning uzunligini

→ ₂
A  A ⁱ A
^{j g} ij

Ushbu ifoda istalgan vektorning uzunligini uning komponentalari va bazis vektorlarining skalyar ko’paytmasi orqali ifodalashga imkon beradi.
→
Vektorning dr uzunligi koordinat sistemasini tanlashga nisbatan invariantdir. Ushbu faktni o’tgan
ma’ruzada ham ta’kidlagan edik va bunday invariantlik ifodasi (2.21) dan iborat edi. Ana shu ifodaga asosan vektorning uzunligi

^{→ 2} i j ' p q ^→' ^→'

16. 
    q i j ^{→ →} p q
    

i j p q

dr  g_ijd d  g _pqd d
 э_pэ_q  d d  a_pa_q э_i э _j d d
 g_ija_pa_q d d

ko’rinishni oladi. Bundan


g ^'  g


_ai _a j

(5.2)

pq ij p q

^{ya’ni kiritilgan g}pq ^{- kattaliklar kovariant yo’l bilan almashtiriladilar. Ko’rinib turibdiki g}ij ^kattaliklar uchinchi tartibli matrisani tashkil qiladilar. Bu matrisaning determinanti noldan farqli bo’lishini talab qilamiz, yа’ni

  Det
g _ij  0

bo’lsin. U holda elementlari
^g ij
ga teskari
_g ij
matrisa mavjud bo’ladi va algebra kursidan malumki uning


g ^ij = k ^ij /  (5.3)

formuladan topiladi, bu yerda k^ij -
^g ij
^{matrisaning to’ldiruvchi minorlari, g}ij ^{kattaliklar (5.2) formulaga}

asosan kovariant yo’l bilan almashtiriladilar. U holda g ^ij kattaliklar xuddi ikkinchi rang tenzorning
T^ijkomponentalari singari (2.24) formulaga ko’ra kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar, ya’ni

_g 'ij
_{ b} i _b j _g pq
(5.4)

p q

Hosil qilingan g ^ij kattaliklari va э_i
bazis vektorlari yordamida

_ij → →

g  g
э_i э _j

ikkinchi rang tenzorga ega bo’lamiz, hamda birorⁱkoordinatalari sistemasida

i



g
→ _ij →
э э _j
(5.5)

obyektlarni kiritamiz. Bu yerda masalan ixtiyoriy g¹ⁱ э_i vektor quyidagiga teng
1j ^→ 11 ^→ 12 ^→ 13 ^{→ →}1
g э _j  g э₁  g э₂  g э₃  э
ya’ni g^1jlarga ko’paytirilgan uchta э₁,э₂ va э₃ bazis vektorlarining yig’indisidan iborat.
Shunga o’xshash boshqa ¹, ², ³ koordinatalari sistemasida ham

э

 g э
^→' p ' pq ^→'
k

kabi ifodani qabul qilish mumkin. Oxirgi (5.4), (5.5) va (2.19) formulalarga asosan almashtirish formulalarini keltirib chiqaramiz
э_i bazis vektorlarini

^→' p _
' pq ^→'
 b ^pb^q g ^ij  a^x  ^→
 b ^p b^q  a^k g ^ij  ^→ 

э g э_{q i j}

16. 
    ^эk
    

i j q ^эk

i

э
chunki
 b ^p 

^{g ij э} j
 b_i
p ^→i

b^q  a^k   ^k ,

demak
j q

э 
^→' p
→_i
j


p ^→i
b_i э
(5.6)

Ko’rinib turibdiki э
bazis vektorlari kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar va shuning uchun
→

ham kontravariant bazis vektorlari deb ataladilar. Mos ravishda ^эi
vektorlari deb yuritiladi.
bazis vektorlari kovariant bazis

Yuqorida aytilganlardan ma’lumki
→
_g ij
matrisa
^g ij
matrisaga teskari matrisadir. Shuni hisobga

olgan holda (5.5) ifodani ^эi
larga nisbatan yechib

→
э _j 
→_i
g _ij э

(5.7)

ifodaga ega bo’lamiz. Xuddi shunga o’xshash, ixtiyoriy boshqa ¹, ², ³ koordinatalari sisietmasida ham
^→' ' ^→'i

formula o’rinli bo’ladi va bu yerdagi

э_j  g_ijэ

ij

g
^' kattaliklar (5.2) formula yordamida almashtiriladilar.

Ko’rinib turibdiki g
→_i → _j
ifoda koordinat sistemasiga bog’liq bo’lmagan invariant obyekt

bo’ladi, chunki bu yerdagi

ij ^{э э}

i

j
→ →
э э

ko’paytma

→

i
э kontravariant bazis vektorlarining diad

ko’paytmalari va shuning uchun ham (5.6) formulaga asosan
^→' i ^→' j i j ^→k ^→l

э э  b_kb_l  э э
(5.8)

kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar. Bundan tashqari

_{g  ij} → →
ij ^→ p ^→q
ij ^→ p ^→q
→ _p →_q

g э_i э _j  g
g_ipэ g _jqэ
 g_ip g _jq g э э
 g _pq э э

bo’ladi, ya’ni qaralayotgan obyekt ikkinchi rang tenzorni tashkil etadi.
_{g } → _p →_q

Shunday qilib,

g_pqэ


g 
э


→_i → <sub>j 


pq</sub> → →
(5.9)

g _ij э э g э_p э_q
^{Hosil qilingan g- tenzor fundamental metrik tenzor deb ataladi, g}ij ^{kattaliklar- fundamental metrik}

i
→
tenzorning э
→
kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari, g^ij kattaliklar esa fundamental metrik

tenzorning ^эi
kovariant bazisdagi kontravariant komponentalari deyiladi.

Joyi kelganda biz o’quvchini Yevklid fazosining chuqurroq ta’rifi bilan tanishtirib o’tishni lozim deb hisoblaymiz. Yuqoridagi mulohazalarni fazoning fiksirlangan nuqtasi uchun olib bordik. Bu holda (5.1) kvadratik shaklning koeffisiyentlari o’zgarmas bo’ladi. Algebra kursidan ma’lumki, har qanday o’zgarmas koeffisiyentli kvadratik shaklni kanonik ko’rinishga keltirish mumkin, ya’ni fazoning har bir
tanlangan nuqtasi uchun shunday ¹, ², ³ koordinatalarni topish mumkinki, bunda (5.1) kvadratik shakl

ds²  d ¹ 2  d ² 2  d ³ 2
ko’rinishga, fundamental metrik tenzorning matrisasi esa quyidagi ko’rinishga keltiriladi
(5.10)

1 0 0
0 1 0
0 0 1
Umuman olganda bunday ishni fazoning har bir nuqtasi uchun bajarib bo’lmaydi, ya’ni (5.10) ko’rinishga keltiradigan ¹, ², ³lar topilmasligi mumkin. Lekin agar, biror fazoning hamma nuqtalari uchun shunday koordinat sistemasi mavjud bo’lsa bu fazo Yevklid fazosi, aks holda Yevklidmas fazo deyiladi.
Demak, YYevklid fazosi uchun fundamental metrik tenzorning matrisasi elementlari 1 lardan

iborat bo’lgan diagonal matrisadir. Bundan tashqari matrisalardir.
^g ij
ва g ^kp
matrisalar o’zaro teskari

Aytilganlarni hisobga olgan holda
→_i →
aralash diad ko’paytmalarning ba’zi xususiyatlari bilan

э э_p
tanishamiz. Yuqorida keltirilgan (5.5) formulaga asosan

→ _j →
ij ^{→ →} ij
^j ^{1, p  j;}

→

1

2

2
bu yerdan
э э_p  g
э_iэ_p  g g_ip   _p
^{ }_0, p  j.
(5.11)

1

_ →

→

1
э э₁  1, э
э₂  0, э
э₃  0, э
э₁  0, э
э₂  1, va h.k.

_ →

_ →

_ →

_ →

→

→

→

1

1
→
Bu tengliklar э
vektorining
э₂ va
э₃ vektorlari tekisligiga,
^→ vektorning ^→
→

3
va э

э₂

э
vektorlari tekisligiga va h.k. ortogonalligini ko’rsatadi. Ana shu faktlar asosida quyidagi munosabatlarni isbot qilish qiyin emas:

1. 
   kontravariant bazis vektorlari uchun
   




→₁ э₂  э₃ → ₂

э₃  э₁ →₃

э₁  э₂

э  _{→ →}
э₁ э_2
→ ; э
э₃
^ → →
э₁ э_2
→ ; э
э₃
^ → → → ^;
э₁ э₂ э₃

2. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   kovariant bazis vektorlari uchun
   

2

э

3

э

1

э

э

э

э

э

э

э



э

э

э
→ ^→  ^→3 →
э
→ _ →_{1 →}

→ _ → ₂

^{1 →}1 _^→ 2 _ ^→3 _^{;
э2  →}1 _^→ 2 _ ^→3 _^{;
э3  →}1 _^→ 2 _ ^→3 _^;

э

э

э
^{bu yerda “} ^{” belgisi bilan oddiy vektor ko’paytma belgilangan.}
Fundamental metrik tenzordagi kabi bundan oldingi bo’limlarda kiritilgan vektor va tenzorning ta’riflarida ishlatilgan Aⁱ va T^ij komponentalar vektorning va tenzorning kovariant bazisdagi kontravariant komponentalari deyiladi.
Endi vektor va tenzorning kovariant komponentalarini kiritish masalasi bilan tanishamiz. Buning

→
uchun (5.7) formuladan foydalanamiz. Ushbu formulaga asosan ixtiyoriy vektorni

kabi yozish mumkin. Bu yerda
→
A  А ⁱ э_i
 А ⁱ
→ _j
g _ij э
→

_ j
А _j э

 _→

kattaliklar А vektorining э
A _j = A ⁱ g_ij (5.12)

j
kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari deyiladi. Demak, bu

kattaliklar kovariant yo’l bilan almashtiriladilar.
^{Umumiy holda Ai  A}i ^{.Oxirgi (5.12) formuladan ko’rinadiki metrik tenzorning g}ij^{komponentalari} yordamida vektorning Aⁱkontravariant komponentalarining indeksini pastga tushirish mumkin. Xuddi
^{shunday gijkomponentalar yordamida A}j^{larning indeksini yuqoriga ko’tarish mumkin ekan. Vektor uchun} qilingan mulohazalarni tenzor uchun ham qo’llash mumkin, ya’ni

_{T  ijkl} → → → →
ijkl ^→ p ^→ q
→ _m → _n
→ _p → _q → _m → _n

bu yerda

T э_i э_j э_k э_l  T
g_ip э g _jq э
g_km э g_ln э
 T_pqmng_ip э э э э

T  T g g g g
ijkl
pqmn ip jq km ln
→_i
(5.13)

kattaliklar to’rtinchi rang T tenzorning э
kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari deyiladi.

Qaralayotgan T tenzor uchun (5.7) formulani qisman qo’llab

_{T  ijkl} → → → →
ijkl ^{→ → →} p
→ _{q ij} → → → _p → _q

T э_i э_j э_k э_l  T
ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerda
э_i э_j g_kp э
 g_lq э  T_pqэ_i э_j э э

..pq

pq

T

kp
ij _{ T} ij .. _{ T} ijkl _g
^g lq
(5.14)

g
kattaliklar tenzorining aralash komponetalari deyiladi. Yuqoridagi (5.11) formulalardan fundamental

i
metrik tenzorning aralash komponentalari qilishini ko’rish qiyin emas
^j lar ixtiyoriy koordinat sistemasida birlik matrisani tashkil

g

g
1 1
1 2

g

g



g
j 2 2
i 1 2

g

g
2 3
1 2
1

g

1

0

0
3

i



0

1

0



3

g
2 _ j _.

g

0

0

1
3
3

(5.15)

1.