Maruza «Yirtqich-o‘lja» sistemasining o‘zaro munosabat modeli. Beylining epidemiya modellari. Mikroorganizmlarning diffuziyasi modeli, biosintez modellari

T:
N C = C 1 NT
(1) 
Ushbu iboradan yirtqichning o'lja iste'mol qilishning o'ziga xos tezligini aniqlash 
oson (ya'ni, vaqt birligida bitta yirtqich tomonidan iste'mol qilingan o'lja soni), bu 
ko'pincha yirtqichning o'lja populyatsiyasining zichligiga funktsional reaktsiyasi 
deb ataladi. : 
Ko'rib chiqilayotgan modelda 
C 1
doimiydir. Bu shuni anglatadiki, yirtqichlar 
tomonidan populyatsiyadan olingan o'ljalar soni uning zichligi oshishi bilan 

---

chiziqli ravishda oshadi (1-toifa funktsional javob deb ataladi). Yirtqichning 
barcha shaxslari tomonidan yirtqichlarning umumiy iste'mol qilish darajasi 
quyidagicha bo'lishi aniq: 
(3) 
qayerda 
R -
yirtqichlar populyatsiyasining kattaligi. Endi o'lja populyatsiyasining 
o'sish tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin: 
O'lja bo'lmasa, yirtqichlarning odamlari och qoladi va o'ladi. Aytaylik, bu holda 
yirtqichlar populyatsiyasining hajmi tenglamaga muvofiq eksponent ravishda 
kamayadi: 
(5) 
qayerda 
r 2
- yirtqichlar populyatsiyasidagi o'ziga xos lahzali o'lim. 
Agar qurbonlar mavjud bo'lsa, ularni topib eyishi mumkin bo'lgan yirtqichlar 
ko'payadi. Ushbu modeldagi yirtqichlar populyatsiyasining unumdorligi faqat 
ikkita omilga bog'liq: yirtqichning o'ljani iste'mol qilish tezligi va iste'mol qilingan 
oziq-ovqatni yirtqichning avlodlariga qayta ishlash samaradorligi. Agar biz ushbu 
samaradorlikni s koeffitsienti bilan ifodalasak, tug'ilish darajasi quyidagicha 
bo'ladi: 
C 1 va s doimiy bo'lganligi sababli, ularning mahsuloti ham doimiy bo'lib, biz uni 
C 2 deb belgilaymiz. Keyin yirtqichlar populyatsiyasining o'sish sur'ati tenglamaga 
muvofiq tug'ilish va o'lim nisbati bilan aniqlanadi: 
(6) 
4 va 6 tenglamalar birgalikda Lotka-Volterra modelini tashkil qiladi. 
Biz ushbu modelning xususiyatlarini raqobat holatida bo'lgani kabi tekshirishimiz 
mumkin, ya'ni. faza diagrammasini qurish orqali, bunda yirtqichlar soni ordinata 
bo‘ylab, yirtqichniki esa abtsissa bo‘ylab chiziladi va unga doimiy populyatsiya 
soniga mos keladigan izoklin chiziqlari chiziladi. Bunday izoklinlar yordamida 
yirtqich va yirtqichlarning o'zaro ta'sir qiluvchi populyatsiyalarining xatti-harakati 
aniqlanadi. 
Jabrlanuvchi aholi uchun 

---

Shunday qilib, r va S 1 konstantalar bo'lganligi sababli, o'lja uchun izoklin 
yirtqichning soni bo'lgan chiziq bo'ladi. 
(R)
doimiy, ya'ni. abscissaga parallel va 
ordinatani nuqtada kesishadi 
P = r 1 /
1 dan. Bu chiziqdan yuqorida qurbonlar soni 
kamayadi, undan pastroqda esa ko'payadi. 
Yirtqichlar populyatsiyasi uchun: 
Shu darajada 
r 2
va S 2 doimiydir, yirtqich uchun izoklin o'lja soni (N) doimiy 
bo'lgan chiziq bo'ladi, ya'ni. ordinataga perpendikulyar va abscissani N = r 2 / C 2 
nuqtada kesib o'tadi. Uning chap tomonida yirtqichning soni kamayadi, o'ngda esa 
ko'payadi. 
Agar biz ushbu ikkita izoklinni birgalikda ko'rib chiqsak, yirtqichlar va yirtqichlar 
populyatsiyalarining o'zaro ta'siri tsiklik ekanligini osongina payqashimiz mumkin, 
chunki ularning soni cheksiz konjugat tebranishlarini boshdan kechiradi. 
Yirtqichlar soni ko'p bo'lsa, yirtqichlar soni ko'payadi, bu esa o'lja populyatsiyasiga 
yirtqichlik bosimining oshishiga va shu bilan uning sonining kamayishiga olib 
keladi. Bu kamayish, o'z navbatida, yirtqichlar uchun oziq-ovqat tanqisligiga va 
ularning sonining kamayishiga olib keladi, bu esa yirtqichlar bosimining 
zaiflashishiga va o'lja sonining ko'payishiga olib keladi, bu esa yana o'lja 
populyatsiyasining ko'payishiga olib keladi. va boshqalar. 
Ushbu model "neytral barqarorlik" deb ataladigan xususiyat bilan tavsiflanadi, 
ya'ni populyatsiyalar bir xil tebranishlar tsiklini cheksiz vaqt davomida ba'zi tashqi 
ta'sirlar o'z sonlarini o'zgartirmaguncha amalga oshiradilar, shundan so'ng 
populyatsiyalar turli parametrlarga ega tebranishlarning yangi tsiklini amalga 
oshiradilar. ... Tsikllar barqaror bo'lishi uchun populyatsiyalar tashqi ta'sirdan 
keyin bo'lishi kerak 
asl tsiklga qaytishga intiling.
Lotka-Volterra modelidagi 
neytral barqaror tebranishlardan farqli o'laroq, bunday tsikllar odatda 
deyiladi. 
barqaror chegara davrlari.
Ammo Lotka-Volterra modeli foydalidir, chunki u yirtqich va o'lja 
munosabatlaridagi asosiy tendentsiyani, ularning populyatsiyalari hajmidagi tsiklik 
konjugat tebranishlarini ko'rsatishga imkon beradi. 
Populyatsiya dinamikasi matematik modellashtirishning bo'limlaridan biridir. 
Qizig'i shundaki, u biologiya, ekologiya, demografiya, iqtisodiyotda o'ziga xos 
ilovalarga ega. Ushbu bo'limda bir nechta asosiy modellar mavjud, ulardan biri 
Predator-Prey modeli ushbu maqolada muhokama qilinadi. 

---

Matematik ekologiyada modelning birinchi namunasi V.Volterra tomonidan taklif 
qilingan model edi. Yirtqich va o'lja o'rtasidagi munosabatlar modelini birinchi 
bo'lib u ko'rib chiqdi. 
Muammo bayonotini ko'rib chiqing. Ikki xil hayvonlar bo'lsin, ulardan biri 
ikkinchisini yutadi (yirtqichlar va o'lja). Bunday holda, quyidagi taxminlar qabul 
qilinadi: o'ljaning oziq-ovqat resurslari cheklanmagan va shuning uchun yirtqich 
bo'lmaganda, o'lja populyatsiyasi eksponent ravishda o'sib boradi, yirtqichlar esa 
o'z o'ljasidan ajralib, asta-sekin ochlikdan nobud bo'ladi. eksponensial qonunga 
ko'ra xuddi shunday. Yirtqichlar va yirtqichlar bir-biriga yaqin yashashni 
boshlashlari bilanoq, ularning populyatsiyalari sonining o'zgarishi o'zaro bog'liq 
bo'ladi. Bunday holda, aniqki, o'lja sonining nisbiy ko'payishi yirtqichlar 
populyatsiyasining hajmiga bog'liq bo'ladi va aksincha. 
Ushbu modelda barcha yirtqichlar (va barcha o'ljalar) bir xil sharoitda ekanligi 
taxmin qilinadi. Shu bilan birga, qurbonlarning oziq-ovqat resurslari cheksizdir va 
yirtqichlar faqat qurbonlar bilan oziqlanadi. Ikkala populyatsiya ham cheklangan 
hududda yashaydi va boshqa populyatsiyalar bilan o'zaro ta'sir qilmaydi va aholi 
soniga ta'sir qiladigan boshqa omillar yo'q. 
"Yirtqich - o'lja" matematik modeli bir juft differensial tenglamalardan iborat 
bo'lib, ular yirtqichlar va o'ljalar populyatsiyalarining dinamikasini eng oddiy 
holatda, yirtqichlarning bir populyatsiyasi va yirtqichlarning bir populyatsiyasi 
mavjud bo'lganda tavsiflaydi. Model ikkala populyatsiyaning kattaligidagi 
tebranishlar bilan tavsiflanadi, yirtqichlar sonining cho'qqisi yirtqichlar sonidagi 
cho'qqidan biroz orqada qoladi. Bu modelni populyatsiyalar dinamikasi yoki 
matematik modellashtirish bo'yicha ko'plab ishlarda topish mumkin. U keng 
yoritilgan va matematik usullar bilan tahlil qilingan. Biroq, formulalar har doim 
ham nima bo'layotgani haqida aniq tasavvurga ega bo'lmasligi mumkin. 
Ushbu modelda populyatsiyalar dinamikasi boshlang'ich parametrlarga qanchalik 
aniq bog'liqligini va uning haqiqatga va sog'lom fikrga qanchalik mos kelishini 
aniqlash va uni murakkab hisob-kitoblarga murojaat qilmasdan grafik tarzda 
ko'rish qiziq. Shu maqsadda Volterra modeli asosida Mathcad14 muhitida dastur 
yaratildi. 
Birinchidan, modelning haqiqiy sharoitlarga muvofiqligini tekshiramiz. Buning 
uchun populyatsiyalardan faqat bittasi berilgan sharoitda yashasa, degeneratsiya 
holatlarini ko'rib chiqing. Nazariy jihatdan, yirtqichlar yo'q bo'lganda, o'lja 
populyatsiyasi vaqt o'tishi bilan cheksiz o'sib borishi va yirtqichlar populyatsiyasi 

---

o'lja yo'qligida nobud bo'lishi ko'rsatildi, bu odatda modelga va real vaziyatga mos 
keladi (muammoning belgilangan formulasi bilan). ).