Maruza «Yirtqich-o‘lja» sistemasining o‘zaro munosabat modeli. Beylining epidemiya modellari. Mikroorganizmlarning diffuziyasi modeli, biosintez modellari

N(0)=N
0
 M(0)=M
0
 
populyasiya sonini vaqtni xar xil 
momentiga aniqlash mumkin. 
1. Sistemani tekshirish uchun, 1-tenglamani 2-tenglamaga bo‘lamiz: 
(2) 
va 
larda (1) va (2) tenglamalar muvozanat xolatlaridi bo‘ladi. 
(vaqtga bog‘liq bo‘lmaydi) 
2. Tenglamani quyidagi xolga keltiramiz: 
2 tomonini NM ga bo‘lib chap tomonga o‘tkazib, 
quyidagini xosil qilamiz: 

---

(3) 
(3) ni Integrallab quyidagini xosil qilamiz: 
bu 
erda 
konstanta 
dastlabki 
N
0
va 
M
0
xolatlar bo‘yicha aniqlanadi. Demak, (1) sistema 
echimga ega bo‘ladi, yoki bu erdan 
4) ni olamiz 
(4) dan quyidagi xulosa qilish mumkin: 
1. Agar 
N(0)=N
0
 M(0)=M
0
boshlang‘ich xolatda bo‘lsa, populyasiyalar soni 
vaqtning 
xar 
qaysi 
holatida 
o‘zgarmaydi. 
2. O‘lja va yirtqichlar sonining muvozanat xolatidan kichik cheklanishlarida vaqt 
o‘tishi 
bilan 
o‘z 
muvozanat 
xalatiga 
qaytmaydi. 
3. Muvozanat xolatidan cheklanish katta bo‘lsa, N(t) va M(t) funksiyalar uchun 
sistemaning o‘zgarish vaqt o‘tishi bilan muvozanat xolatiga qaytmaydi. 
O‘lja va yirtqichning populatsiyalar sonlari muvozanat xolati atrofida davriy 
tebranishlarn hosil qilishni bildiradi, bunda tebranish amplitudasi bir-biriga qarama 
qarshi 
fazoalrda 
joylashadi. 
Tebranishlar 2 xil ko‘rinishdagi populayasion sistemalarda juda murakab 
jarayonlar paydo bo‘lishini bildiradi. 
Masalan: O‘lja populyasiyasining to‘yinishni xisobga olgan xolda logistik hat 
paydo bo‘ladi va u quyidagi ko‘rinishni oladi. 
Muvozanat holatida atrofida bo‘lgan holalrda troektorilar spiral ko‘rinishida 
bo‘ladi, tebranishlar amplutudasi 
vaqt o‘tishi bilan kamayib boradi. 
Biologik jarayonlarni matematik modellashtirish ekologik tizimning birinchi eng 
oddiy modellarini yaratish bilan boshlandi. 

---

Aytaylik, silovsin va quyonlar ma'lum bir yopiq hududda yashaydi. Lynxlar faqat 
quyonlar bilan, quyonlar esa cheksiz miqdorda o'simlik ozuqasi bilan oziqlanadi. 
Populyatsiyalarni tavsiflovchi makroskopik xususiyatlarni topish kerak. Bu 
xususiyatlar populyatsiyadagi individlar sonidir. 
Yirtqichlar va yirtqichlar populyatsiyalari o'rtasidagi munosabatlarning logistik 
o'sish tenglamasiga asoslangan eng oddiy modeli (turlararo raqobat modeli kabi) 
uning yaratuvchilari Lotka va Volterra nomi bilan ataladi. Ushbu model 
o'rganilayotgan vaziyatni sezilarli darajada soddalashtiradi, ammo baribir yirtqich-
o'lja tizimini tahlil qilishda boshlang'ich nuqta sifatida foydalidir. 
Faraz qilaylik, (1) o'lja populyatsiyasi ideal (zichlikka bog'liq bo'lmagan) muhitda 
mavjud bo'lib, uning o'sishi faqat yirtqich borligi bilan cheklanishi mumkin, (2) 
yirtqich mavjud bo'lgan, populyatsiyasining o'sishi faqat cheklangan muhitda. 
yirtqichlarning ko'pligi ham xuddi shunday idealdir, (3) har ikkala populyatsiya 
ham eksponensial o'sish tenglamasiga muvofiq doimiy ravishda ko'payadi, (4) 
yirtqichlarning o'lja iste'mol qilish tezligi ular orasidagi uchrashish chastotasiga 
proportsionaldir, bu esa o'z navbatida aholi zichligi funktsiyasidir. Bu taxminlar 
Lotka-Volterra modeli asosida yotadi. 
Yirtqichlar yo'qligida o'lja populyatsiyasi eksponent ravishda o'sib borsin: 
dN / dt = r 1 N 1
Bu erda N - son, r - jabrlanuvchi populyatsiyasining o'ziga xos bir lahzali o'sish 
sur'ati. Agar yirtqichlar mavjud bo'lsa, ular yirtqichlarning individuallarini, 
birinchidan, yirtqichlar va o'ljalarning uchrashish chastotasi bilan belgilanadigan 
tezlikda yo'q qiladilar, bu ularning soni ko'payishi bilan ortadi, ikkinchidan, 
yirtqichning aniqlagan samaradorligi bilan belgilanadi. va uchrashganda o'ljasini 
ushlaydi. Bitta yirtqich N c tomonidan uchrashgan va egan o'lja soni ovning 
samaradorligiga mutanosib bo'lib, biz uni C 1 koeffitsienti orqali ifodalaymiz; 
jabrlanuvchi N ning soni (zichligi) va qidiruvga sarflangan vaqt