1-мавзу. Arifmetikaga oid qiziqarli masalalar tizimi. Matnli masalalarni yechishning arifmetik usuli

Dirixle printsipi
Quyonlar soni haqidagi masala. Faraz qilaylik, uchta qafasda 4 ta quyon joylashgan. Qandaydir qafasda 1 tadan koʻproq quyon borligini isbotlang.
Yechilishi.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni har bir qafasda koʻpi bilan 1 tadan quyon joylashgan boʻlsin. Bu holda barcha quyonlar soni eng koʻpi bilan 1 3 ta boʻlishi kerak. Ammo jami quyonlar soni 4 ta boʻlgani uchun, biz ziddiyatga keldik. Farazimiz notoʻgʻri ekan, ya’ni har bir qafasda koʻpi bilan 1 tadan quyon joylashgan boʻlishi mumkin emas. Shunay qilib, qandaydir qafasda 1 ta dan koʻproq quyon borligini isbotlandi.

Ixtiyoriy natural son uchun ham aytish mumkin:

Agar ta qafasda dan koʻproq quyon joylashgan boʻlsa, u holda qandaydir qafasda 2 ta quyon bor.

Yuqorida keltirilgan tasdiq mashhur fransuz olimi Dirixle sharafiga Dirixle prinsipi nomi bilan yuritiladi.
Izoh. Qafasda 1 tadan koʻproq quyon bor deyilganda qafasda 2, 3, … quyon boʻlishi mumkinligi degani. Bunda 2 ta quyon albatta bor ekanligi kafolatlanadi. Ayrim masalalarda “1 tadan koʻproq quyon bor” mulohazasi oʻrniga “2 ta quyon albatta bor”, “quyonlar soni 2 tadan kam emas” yoki “kamida 2 ta quyon bor” kabi iboralar ishlatiladi.
1-masala. Sinfda 30 nafar oʻquvchi oʻqiydi. Ular orasida familiyalari bir xil harfdan boshlanadigan kamida ikki nafar oʻquvchi mavjudligini isbotlang.
Yechilishi.
Alfavitda 29 ta harf bor (ularni shartli ravishda “qafas” deylik. Oʻquvchilar (“quyonlar”) soni 29 nafardan koʻproq boʻlgani uchun Dirixle prinsipiga asosan bir qafasga 2 nafar oʻquvchi tushadi (2 tadan koʻproq ham boʻlishi mumkin). Ya’ni, familiyalari bir xil harfdan boshlanadigan ikki nafar oʻquvchi albatta mavjud.
2-masala. Qopda bir nechta oq va bir nechta qora sharlar bor. Shu qopdan qaramasdan eng kamida nechta shar olganimizda, ular ichida albatta bir xil rangli sharlar mavjud boʻladi?
Javob: 3 ta shar.
1-usul. 2 ta sharni olaylik. Eng “noqulay sharoit”da ularning ranglari har xil (bittasi qora, ikkinchisi esa oq ) boʻladi. 3 - sharni olsak uning albatta yo qora yo oq rangda boʻladi, ya’ni oldin olingan sharlardan biri bilan bir xil rangda boʻladi.
2-usul. Dirixle prinsipiga tayanaylik. “Quyonlar” – olingan sharlar, “qafaslar” esa oq va qora ranglar boʻlsin (ya’ni qafaslar soni 2 ga teng). 3 ta shar olaylik. “Quyonlar” soni “qafaslar” sonidan katta boʻlgani bois Dirixle prinsipiga koʻra bir xil rangda ikkita shar bor. Shu bilan birga 2 ta sharni olish etarli boʻlmasligi mumkin, chunki ularning ranglari har xil boʻlishi mumkin.
3-masala. Oʻrmonda 800000 ta daraxt oʻsmoqda. Har bir daraxtda 500000 tadan kam yaproq bor. Yaproqlari soni bir xil boʻlgan ikkita daraxt mavjudligini isbotlang.
Yechilishi.
1,2,3,...,500000 sonlar bilan nomerlangan qafasga 800000 ta daraxtni quyidagicha joylashtiraylik: 1-qafasga 1 ta yaproqli daraxtlarni, 2-qafasga 1 ta yaproqli daraxtlarni,...., 500000 – qafasga yaproqlari soni 500000 ta boʻlgan daraxtlarni “joylashtiramiz”. Daraxtlar soni qafaslar sonidan koʻproq boʻlgani uchun, Dirixle prinsipiga koʻra qandaydir qafasga (ya’ni yaproqlari soni bir xil boʻlgan) 2 ta daraxt albatta tushadi.

Ayrim masalalarni yechishda Dirixle prinsipining umumlashganidan foydalanish maqsadga muvofiq.

Agar ta qafasda pn+1 ta quyon joylashgan boʻlsa, u holda qandaydir qafasda p+1 ta quyon bor.

4-masala. Koʻp qavatli uyda 40 nafar oʻquvchi yashaydi. 4 ta oʻquvchi toʻgʻilgan kunini nishonlaydigan biror oy mavjudligini isbotlang.
Yechilishi.
"Qafaslar" sifatida oylarni, "quyonlar" sifatida esa oʻquvchilarni qaraymiz. "Quyonlarni" "qafaslar" boʻyicha - tugʻilgan oylar boʻyicha joylashtiramiz. Oylar, ya’ni “qafaslar” soni 12 ga, oʻquvchilar, ya’ni “quyonlar” soni 40 = 12·3+4 ga teng boʻlgani uchun, Dirixlening umumlashgan prinsipiga koʻra qandaydir qafasda 3+1=4 ta “quyon”, ya’ni oʻquvchi bor.
5-masala. Doʻkonga 3 ta navdagi olmalar solingan 25 ta idish olib kelindi (har bir idishdagi olmalar bir xil navda) . Qandaydir navli olma solingan 9 ta idish mavjudligini isbotlang.
Yechilishi.
"Qafaslar" sifatida navlarni (ularning soni 3 ta), "quyonlar" sifatida esa idishlarni (ularning soni 25 ta) qaraymiz. "Quyonlarni" "qafaslar" boʻyicha joylashtiramiz. 25 = 3·8+1 ga teng boʻlgani uchun, Dirixle umumlashgan prinsipiga koʻra qandaydir “qafasda” (ya’ni navli) 8+1=9 ta “quyon”, ya’ni idish bor.