Fizika-matematika fakulteti

Kurs ishining dolzarbligi: Ushbu kurs ishi hozirgi kunda kompyuterda berilgan masalalarni tushungan holda, chegaraviy masalalarni sonli usulda yechishni amaliyotda tadbiq qilishni o’rgatadi .
Kurs ishining maqsadi: Chegaraviy masalalarni sonli usulda yechishni o’rganish.
Kurs ishining predmeti: Oddiy differensial tenglama uchun chegaraviy masalani yechishning sonli usullari. Oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun chegaraviy masalani yechishning sonli usullari.

I.BOB ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI YECHISHNING SONLI USULLARI

1.1 Masalaning qo’yilishi

Faraz qilaylik, quyidagi n-tartibli oddiy differensial tenglarna
(1)
berilgan bo‘lsin. Uning y = y(x) yechimini [a, b] oraliqda topish talab qilinsin. Bu oraliqda k ta (i = 1,2,...,k) nuqtalar olamiz:

Yechim y(x) va uning (n -1) -tartibgacha hosilalarini ( (i =1,2,...,k) nuqtalardagi qiymatlaridan qandaydir qoidaga binoan tuzilgan quyidagicha tenglamalar berilgan bo‘lsin:
(2)
va quyidagicha masalani qo'yamiz:
[a, b] oraliqda (1) tenglamaning (2) shartlami qanoatlantiradigan yechimi topilsin.
Bu k nuqtali masala deyiladi. Agar k = 1, = a bo‘lganda, Koshi masalasi kelib chiqadi. Agar k = 2, = a, = b bo‘lsa, bunday masala chegaraviy masala deyiladi. Va nihoyat qaralyatgan k ta nuqtalardan m tasi (2 Chegaraviy yoki ko‘p nuqtali (1), (2) masalaning yechimi mavjudligi hamda yechimning yagonaligi isbotlangan, deb faraz qilamiz.
Agar differensial tenglama va chegaraviy shartlar chiziqli bo‘lsa, (1), (2) masala chiziqli chegaraviy (k = 2) yoki ko‘p nuqtali chiziqli (k>2) masala deyiladi.
Differensial tenglama hamda chegaraviy shartlaming kamida bittasi nochiziqli bo‘lsa, (1), (2) masala nochiziqli chegaraviy (k = 2) yoki ko‘p nuqtali nochiziqli (k>2) masala deyiladi.
Chiziqli chegaraviy yoki ko‘p nuqtali masalada differensial tenglama va chegaraviy shartlar bir jinsli bo‘lsa, u holda (1), (2) bir jinsli chegaraviy yoki ko‘p nuqtali masala deyiladi. (1) yoki (2) ning birontasi bir jinsli bo‘lmasa, (1), (2) masala bir jinsli bo‘lmagan masala deyiladi.
Bir jinsli masala trivial (y(x)=0) yechimga ega. Lekin uning trivial bo‘lmagan yechimlarini topish ham ko‘p hollarda katta aha- miyatga ega. Buning uchun (l) ga yoki (2) ga biron parametr kiritib, shu parametrga bog‘liq bo‘lgan notrivial yechim topiladi.
Parametrning bu qiymatlari masalaning xos sonlaridir. Ularga mos keladigan yechimlar masalaning xos funksiyalari deyiladi.