1-teorema. Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi b≤a bo’lganda va faqat shunda mavjud bo’ladi.
Isbot. Agar a – b bo’lsa, u holda a - b = 0 bo’ladi va, demak, a - b ayirma mavjud bo’ladi.
Agar b < a bo’lsa, u holda «kichik» munosabati ta’rifiga ko’ra shunday natural son mavjud bo’ladiki, bunda a = b + c bo’ladi. U holda ayirmaning ta’rifiga ko’ra c = a - b, ya’ni a - b ayirma mavjud bo’ladi. Agar a - b ayirma mavjud bo’lsa, u holda ayirmaning ta’rifiga ko’ra shunday butun nomanfiy c son topiladiki, a = b + c bo’ladi. Agar c = 0 bo’lsa, u holda a = b bo’ladi; agar c > 0 bo’lsa, u holda «kichik» munosabatining ta’rifiga ko’ra b < a bo’ladi. Demak, b ≤ a.
2-teorema. Agar butun nomanfiy a va b sonlarining ayirmasi mavjud bo’lsa, u holda u yagonadir.
Isbot. a-b ayirmaning ikkita qiymati mavjud bo’lsin deb faraz qilaylik:
a - b = c1 va a - b = c2 U holda ayirmaning ta’rifiga ko’ra a = b + c1 va a = b + c2 ga ega bo’lamiz. Bundan b + c1 = b + c2 va, demak c1 = c2 ekani kelib chiqadi.
105
Sodda tenglamalar va ularni echish algoritmlarini keltiring.
106
Qo’shish algoritmi keltiring.
Qo’shish amalining ta’rifi German Grossman (1809—1877) tomonidan berilgan qo’shish amalining induktivlik ta’rifiga asoslanadi. Bu ta’rif ikki qismdan iborat bo’lib, quyidagicha:
1) ixtiyoriy a natural songa 1 ni qo’shish, bevosita a dan keyin keladigan sonni beradi. Ya’ni .
2) amali, a songa bevosita b sondan keyin keladigan b’ sonni qo’shish natijasida a + b sondan bevosita keyin keladigan natural sonni beradi. Ya’ni [ ].
Peanoning ikkinchi aksiomasidan ma’lumki, n — natural son bo’lsa,
n + 1 ham albatta natural son bo’ladi. Bunda a va a + b lar natural son bo’lganda a + b’= (a + b)’ ham natural son bo’lishi kelib chiqadi. Shuningdek, a + 1 = a’ dan Peanoning aksiomasiga asosan a natural son bilan b natural sonning yig’indisi to’la aniqlangan va natural sondan iborat bo’ladi.
Demak, qo’shish amali natural sonlar to’plamida hamma vaqt bajariladigan bir qiymatli amal ekan.
Natural sonlarni qo’shish ta’rifidan ko’rinadiki, har qanday natural son o’zidan oldingi natural son bilan birning yig’indisiga teng bo’lar ekan. Ya’ni
bo’ladi. Natijada biz 1 ni qo’shish jadvalini hosil qildik. Endi 2 ni qo’shish jadvalini tuzaylik:
Demak, 2 ni qo’shish jadvali:
,
3 ni qo’shish jadvalini tuzsak:
Xuddi shu yo’l bilan bir xonali sonlarni qo’shish jadvalini tuzishimiz mumkin. Yuqoridagilardan ko’rinadiki, agar natural sonlar qatorida a dan bevosita keyin keladigan b ta sonni sanasak, natijada oxiri sanalgan son a va b sonlarning yig’indisi bo’ladi va u a + b ko’rinishda belgilanadi. Bunda a — birinchi qo’shiluvchi, b — ikkinchi qo’shiluvchi, a + b esa yig’indi deb yuritiladi.
Qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:
1°. Guruhlash (assotsiativlik) xossasi.
[(a + b+c) = a + (b + c)].
Bu xossani matematik induksiya metodi yordamida isbotlaylik.
Isbot. 1) c = 1 bo’lsin. U holda (a + b) + 1 = a + (b + 1) (ta’rifga asosan).
