Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Ana Bilim Dalı

T.C.

Marmara Üniversitesi

Eğitim Bilimleri Enstitüsü

Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Ana Bilim Dalı

Matematik Öğretmenliği Bilim Dalı

MATEMATİK EĞİTİMİNDE KULLANILAN ÇOKLU TEMSİLLERE BİR BAKIŞ; TEMSİL TERCİH VE BECERİLERİNE ÖĞRETMEN BİLGİSİNİN ETKİSİ

Matematiksel Bilginin Zihinsel Gelişimi Dersi Final Ödevi

Eyüp SEVİMLİ

Öğretim Üyesi: Yrd.Doç.Dr. Hatice AKKOÇ

İstanbul, 2009

Yazının omurgasını oluşturan tercih ve beceri arasındaki ilişki net değil

Dilbilgisi hataları: de’ler bazen ayrı yazılmamış, refernastan sonra virgülü tarihten sonra koyma
Kaynakça kısmının formatı gözden geçirilmeli

MATEMATİK EĞİTİMİNDE KULLANILAN ÇOKLU TEMSİLLERE BİR BAKIŞ; TEMSİL TERCİH VE BECERİLERİNE ÖĞRETMEN BİLGİSİNİN ETKİSİ
ÖZET
Matematik eğitimcilerinin öğrenmeyi etkilediği düşüncesi ile ele aldığı konulardan biri de çoklu temsillerdir. Matematik eğitimi araştırmalarında çoklu temsiller matematiksel bir ifadenin tablo, denklem, grafik, ya da diyagramlar gibi farklı biçimlerde ifade edilmesi olarak tanımlanmıştır;. Araştırmacılar çoklu temsillerin öğrenme ve problem çözmedeki pozitif etkisi üzerinde durmaktadır. Çoklu temsiller yaklaşımının önemine karşın öğrenme ortamındaki en önemli bileşenlerden biri olan öğretmen faktörü üzerine yapılmış çalışmaların azlığı dikkat çekmektedir. Öğretmenin temsil bilgisi, bu bilgisinin sınıf içi pratiğine dökülmesi öğrencilerin temsil kullanma ve dönüşüm becerilerini etkilemektedir. Öğrenci veya öğretmenlerin hangi tür temsilleri hangi problem türlerinde ağırlıklı olarak kullandıklarını inceleme gereği duyulmuştur. Bununla birlikte öğrenci ve öğretmenlerin hangi temsil türlerinde temsil içi ve temsiller arası geçişlerde zorluk yaşadıklarını araştırmak üzere çalışmaya başlanmıştır. Bu çalışmada literatürde var olan çoklu temsil yaklaşımı temsil içi ve temsiller arası geçiş becerileri yönüyle ele alınmış; bu becerilerin gelişimine öğretmen pratiğinin etkisi üzerinde durulmuştur. Bu bağlamda çoklu temsil yaklaşımı ile ilgili yapılan çalışmalar ve özel olarak da temsil içi geçiş ve temsiller arası dönüşüm becerilerini ele alan araştırmalardan bir literatür sentezi oluşturulmaya çalışılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Çoklu Temsiller, Öğretmen Bilgi ve Pedagojisi, Temsil Dönüşüm Becerisi

1-GİRİŞ

Bir dili anlamak için o dilin yazılmış olduğu alfabeyi ve yazım kurallarını bilmek gerekir. Bu bağlamda matematikte bir dil gibi düşünülebilir. Matematiğin alfabesini rakamlar, tablolar, grafikler oluşturmaktadır. Aynı dili konuşan insanların birbirini daha kolay anlayabileceği gerçeğinden yola çıkarak aynı temsillerden yararlanarak yapılan matematik öğretiminin anlamlandırmayı kolaylaştıracağı düşünülebilir. Matematik öğretiminde farklı temsillerden yararlanılması birçok eğitimci ve Amerikan Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi tarafından desteklenmektedir (NCTM, 2000). Ayrıca, yapısalcılık (constructivism) öğrencilerin bilgilerini etkin bir biçimde ve kendi çevreleri ile etkileşimde bulunarak, kendi yöntemleri ile kurmalarını önerir. Dolayısıyla, herkesin bir temsilden aynı kavramı anlamasını ya da bir temsilin herkese aynı oranda anlamlı gelmesini düşünmek hatalıdır ( Özgün-Koca, 1998). Matematik eğitimi alanındaki yenilik çalışmalarında öğrencilerin matematik yapmayı öğrenmeleri için bilişsel olarak güçlendirilmesi gereği üzerinde durmaktadır (Thomas ve diğ., 2002). Son yıllarda mevcut teknolojilerin kullanımıyla matematik eğitiminde çoklu temsil yaklaşımı önemli avantajlar sunmaktadır. Bir matematiksel ilişkinin, kavramın değişik biçimlerde ifade edilmesi olarak tanımlayabileceğimiz çoklu temsil yaklaşımı günümüzde birçok eğitimci tarafından kullanılmakta ve kullanımı önerilmektedir. Çoklu temsil yaklaşımı matematik öğretimi ve öğrenimini etkileyen önemli bir faktördür. Bu yaklaşım, matematiksel ilişki, kavram veya kuralın sözle, grafikle, tabloyla ya da cebirsel sembol olarak sunulması diye düşünülebilir.

Bu çalışmayla; öğretmen ve öğrencilerin çoklu temsil bilgisi, geçiş ve dönüşüm becerisi ve öğretmenin kullandığı temsillerin öğrenci tercihine etkisine yönelik yapılan çalışmaların incelenmesi hedeflenmektedir. Öncelikle temsil kavramı ve çeşitlerini bilmenin faydalı olacağı düşünülmüştür.

2- KURAMSAL ÇERÇEVE

2.1- TEMSİL

Matematik doğanın dilidir. Bilim adamları doğa olaylarını matematik dilini kullanarak açıklama ve anlamlandırma ihtiyacı hisseder. Matematik dilinin de tıpkı diğer diller gibi gösterim biçimleri mevcuttur. Matematik eğitimcileri kullanılan bu farklı dillerin hepsine birden “temsil” ya da “gösterim” demektedir. Temsil kelimesi genel anlamda soyut kavram veya sembolleri, gerçek dünya içinde somut şeyler olarak modelleme işlemi olarak tanımlanabileceği gibi matematiksel psikolojide, nesneler ya da semboller arasındaki ilişkinin tanımı anlamına gelmektedir. Temsiller, durumların kişiler tarafından anlaşılmasıdır (Kaput,1989).

Matematiği öğrenmek ve uygulamak için sadece matematiksel sembolleri yönlendirebilmek yeterli değildir; ayrıca koordine edebilmek ve matematiksel ilişkileri yorumlayabilmek ve özel durumlara uygun dili, sembolü, grafiği veya diğer temsilleri kullanabilmek gerekeceği gibi problemi açıklama, sonuç çıkarma ve uygun materyali geliştirebilmeye bağlıdır (National Research Council,1989; Akt. Brown, 1996). Bruner matematik öğretimi ve öğreniminde farklı tipte temsillerin kullanılmasını vurgulayan eğitimcilerin öncülerindendir. Halen birçok eğitimci farklı temsillerin öğrenciye soyut matematik kavramları anlamasında yardımcı bir ortam hazırlayacağını savunmaktadır (Dienes, 1960; Harel, 1989; Yerushalmy, 1991).
2.2- ÇOKLU TEMSİL

1923’te Amerika’daki ulusal bir komitenin raporu cebirsel ve geometri problemlerinin çözümünde farklı temsillerin kullanılmasının anlama yeteneğini geliştirdiğini belirtmiş ve çoklu temsil kavramı öğretim sürecinde ilk kez dile getirilmiştir. Matematik eğitimi tarihinde çoklu temsilleri vurgulayan pek çok teorem olmasına rağmen Diene in s (1960)'in "çoğul somutlaştırma prensibi (multiple embodiment principle)" ile bu konu daha da büyük bir önem kazanmıştır. Bu prensip, öğrencilerin kavramsal öğrenmelerinin birden fazla değişik somut gösterimler yolu ile zenginleştirilebileceğini savunur. Ayrıca, yapısalcılık (constructivism) öğrencilerin bilgilerini etkin bir biçimde ve kendi çevreleri ile etkileşimde bulunarak, kendi yöntemleri ile kurmalarını önerir. Dolayısıyla, herkesin bir temsilden aynı kavramı anlamasını ya da bir temsilin herkese aynı oranda anlamlı gelmesini düşünmek hatalıdır. Birçok matematik eğitimcisi birden fazla temsilin bulunduğu ortamlardaki öğrenmenin tabiatını ve bileşenlerini incelemiştir (Özgün-Koca,2004). Bu bileşenler bir araya getirilip özetlenecek olursa, çoklu temsil yaklaşımına göre düzenlenen öğrenme ortamı aşağıdaki hedef-davranışları kapsamaktadır: Farklı gösterimlerdeki matematiksel kavramı belirleyebilmek ve kullanabilmek, bir gösterimdeki kavramı diğer bir gösterime taşıyabilmek, uygun gösterime karar verebilmek, bir kavramın değişik gösterimlerinin etkinliğini ve bu gösterimlerin farklılıklarını belirleyebilmektir (Dufour-Janvier, Bednarz ve Belanger, 1987, Lesh, Post, ve Behr, 1987; Kaput, 1998).  Temsiller içsel ve dışsal temsiller diye iki ana başlık altında incelenmektedir.

2.2.1- İçsel Temsiller: İç temsiller kişinin etrafında gördüğü, formüle ettiği ve kendi bilgisi çevresinde yapılandırdığı zihinsel şekiller, beynindeki yapı ve bilgilerdir. Matematiksel kavramların ne anlama geldiğini kavramak için çalışmalarını bilginin içsel sunumu ve içsel temsil yapıları üzerine odaklayan Hiebert ve Carpenter (1992) hipotezlerini Piaget ve diğer bilişsel çalışmalar yapan araştırmacıların bulgularına dayandırmaktadırlar. Çalışmalarını bilgi ağları (network) üzerine kuran araştırmacılar bu ağlar ile kavramlar arasında oluşturulan içsel temsil ilişkilerinin kuvvetlendirilmesi ile bilginin etkili ve kalıcı hale gelebileceğini belirtmişlerdir.

Yeni bilgilerin gelmesi ile oluşan ağların bağlantıları eskisine oranla daha yavaş kurulur. Önceki bilgi ilişkilendirilmemiş ise ağlar arasında zayıflık bulunur dolayısıyla iç temsillerin yeterliliğinden söz edilemez (Hiebert & Carpenter, 1992). Matematiksel bir kavramın anlaşılması zihinsel temsildeki bağların bir parçası olması ile ölçülebilir ve anlamanın derecesi ilişkideki bağların sayısı ve kuvveti ile belirlenebilir. Hiebert ve Carpenter (1992) bilgi çatısını direk gözlemlenemeyen içsel temsiller üzerinde temellendirmiştir. Çalışma sonuçlarında bu iç bağların dışsal aktivitelerden etkilendiği ve dışsal temsiller arasındaki ilişkilerin inşa edilmesi ile uyarıldığını belirtmektedir. Bu iç bağlantıların doğrudan gözlemlenemeyeceğinden dolayı, bunlar bazı dış temsil biçimleri ile ilişkilendirilerek sunulması gerekir. İçsel temsillere örnek olarak imajsal, formal gösterimsel, güdümsel, heuristic, duyuşsal temsiller verilebilir. İç temsiller dış temsillerin ürününe bağlı olarak çıkarılabilir, kolaylıkla gösterilemez ve diğer insanlara iletilemezler. Örneğin bir çocuğun 2 sayısının bir iç temsilini oluşturmasını bilmenin yolu, sayıya ait bir dış temsil üretebilmesiyle olur. İç ve dış temsiller öğretim ve öğrenimde birlikte rol oynarlar (Hähkiöniemi, 2004).

2.2.2- Dışsal Temsiller

Dış temsiller matematiksel kavram ve fikirler anlaşılması ve aktarılmasını sağlayan yardımcı bir araç, problemler ve çözüm yolları üzerinde konuşulmasına olanak sağlayan bir dildir. Dış temsiller gözlemlenebilir, diğer kişilere iletilebilir. Bruner (1966) dış temsil kavramını eğitim literatründe ilk kullanan araştırmacılar arasındadır. Bruner herhangi bir bilginin üç tür dışsal temsiller ile temsil edilebileceğini iddia eder. Enaktive (durağan), ikonik ve sembolik dışsal temsiller. Enaktive temsiller bilginin etki gösterdiği alandaki bir dizi eylemi karakterize eder. İkonik temsiller etki alanının tüm tanımını içermeksizin imaj ya da grafiksel özetini içeren şekilsel ifadeler anlamına gelir. Son olarak sembolik temsiller bir takım mantıksal ya da sembolik önerileri kural ve prosedürler içerisinden geri çağırma anlamına gelir. Bruner alışılmış konulardaki bilişsel gelişimin temsiller dünyasındaki aktif olmayan form yardımı ile ikonikten semboliğe doğru hareket etmesi ile oluşabileceğini iddia eder; ve etkili bir öğretimin bu direktifler doğrultusunda geliştirilebileceğini önerir.

Bruner (1966), Dienes ve Jeeves (1965) dışsal temsillerin matematiği öğrenme üzerindeki rolü ile ilgili tartışmalarda bulunmuşlardır.

Bruner ve Dienes in çalışmalarını genişleten Lesh, Post, ve Behr (1987) dış temsiller arasında hem tanılama hem yorumlamanın yapılabileceği bir model geliştirmişlerdir. Lesh’in temsilleme modeli aşağıda resmedilmiştir. Lesh ve Doerr (2003) dış temsil sisteminde 8 farklı öğenin bulunduğunu ifade eder. Bunlar; grafik, tablo, denklem, diyagram, tecrübe-temelli metaphor, konuşulan dil, somut modeller, yazılı sembollerdir.

Lesh ve diğ, (1987) sadece temsiller arası farlılıkların önemini vurgulamaz, ayrıca farklı tiplerdekilerin temsiller arasındaki ve aynı temsil modeli içerisindeki dönüşümlerinin önemini de vurgular. Lesh ve diğ. (1987) öğrencilerin farklı dış temsiller arasındaki dönüşümlerinin, aynı dış temsil içerisindeki geçiş becerilerinin analiz etmek için bir dönüşüm modeli kullanmıştır, böylece öğrencilerin öğrenmesinden sonuç çıkarmıştır. Onlar çalışmalarının bir parçasında şu soruya açıklık getirmişlerdir; öğrencilerin matematiksel kavramları anlamaları ne demektir?

Öğrenci kavramın içerdiği farklı tür temsilleri mutlaka tanıyabilmeli; kavramın içerdiği temsil içerisinde dönüşümler yapabilme esnekliğine sahip olmalı, ve kavramı bir temsil modelinden diğerine dönüştürebilmelidir (Lesh ve diğ.1987). Benzer olarak Hiebert ve Carpenter (1992), ayrıca öğrencilerin bir kavramı anlamayı geliştirirken, bilgi ağı dönüşümlerin çok karmaşık bir yapıda olduğunu vurgulamaktadır. Lesh ve diğerleri öğrencilerin öğrenme zorluklarını teşhis etme veya öğretimsel fırsatların tanılanması, öğretmenin düşüncesini sınıfa yansıtabilmek için bir dizi kullanışlı sorular hazırlayarak sınıfa sunmasını önerir. Kullanılan soru tiplerinin bir temsil modelini içermesi, soruların sınıfta yansıtılması-açıklanması ve öğrenci tercihlerini dikkate alan çoklu temsillere olanak sağlayan bir model ile öğretimin gerçeklenmesi gerektiği belirtilmektedir.

2.3- TEMSİL TEORİSİ

1923’te Amerika’daki ulusal bir komitenin raporu cebirsel ve geometri problemlerinin çözümünde farklı temsillerin kullanılmasının anlama yeteneğini geliştirdiğini belirtmiş ve çoklu temsil kavramı öğretim sürecinde ilk kez dile getirilmiştir (Bidwell ve Clason, 1970, pp.). 1960’ların öncesine kadar matematiksel kavram ve ilişkilerin olabildiğince farklı şekilde sunularak öğrencilerin matematiksel soyutlamalarını geliştirme amacı taşımıştır. Dienes (1960) çeşitli temsillerin kullanımının matematiksel kavramları daha büyük öğrenci grubunun öğreneceği biçimde geliştireceğini iddia eder.1980 lerin sonundan itibaren NCTM (1989 )in yayınladığı okullar için program ve değerlendirme standartlarında matematik öğretim ve öğrenimi süreci boyunca programda vurgulanması gereken anahtar öğelerden biri olarak çoklu temsilleri göstermiştir. Ayrıca aynı matematiksel kavram ya da problemlerde temsiller kendi içerisinde ya da birbirleri ile geçişlerin yapılabildiği durumlarda problem çözümü için kullanışlı ve esnek bir araç olarak kullanılabilir (Monaghon, Sun ve Tall, 1994)

Kaput sembol sistemleri ve temsil sistemlerinin önemi ile ilgili referans gösterilen teorisyenlerdendir, o bu zorlukları öğrencilerin matematiksel düşünceleri farklı temsiller arasında dönüşümlerindeki deneyimlerin azlığına bağlamaktadır. Ayrıca yeni teknolojinin gelişmesi ile ortaya çıkan çeşitli temsil türlerin de bu zorluğu arttırıcı bir durum izlediğini ifade eder. “Geleceğin öğrencileri için verilen ilişkiler doğrultusunda bir temsil seçmek ve bu aradaki ilişkilere göre bir temsil oluşturma ya da seçme becerisi, hesaplama becerisinden daha önemli olacaktır” diyen Kaput (1998) bir bağlamda geleceğin matematik okuryazarlığında temsil kullanma becerisinin önemini göstermiştir.

Bu çalışmada temsil teorisinin temellerinin atıldığı eski makaleler incelenerek son yapılan çalışmalara ışık tutulmuştur. Araştırmada dışsal çoklu temsiller diye nitelendirilen temsil tipleri nümerik, grafik ve cebirsel temsillerdir. Çoklu temsiller ile ilgili yapılan çalışmalar incelenmiş özel olarak nümerik, grafik ve cebirsel temsil türlerinin kendi içerisinde ve birbirlerine dönüşümleri sürecinde yaşanan zorlukların nedenleri ve dereceleri belirlenmeye çalışılmıştır. Son olarak öğretmen temsil bilgisi ve pratiğinin bu becerilerin kazandırılmasına etkisi üzerinde durulmuştur.

2.4- ÇOKLU TEMSİLLER İLE İLGİLİ YAPILAN MATEMATİK EĞİTİMİ ARAŞTIRMALARI

Birçok farklı araştırma çoklu temsillerin farklı öğretimsel faydaları üzerinde durmuştur. Özellikle Amerika Yüksek Öğretim müfredatında yapılan Analiz Reformu diye nitelendirilen değişiklikten sonra çoklu temsil kavramının tüm öğretim sürecine yayılması gerekliliği üzerinde durulmuştur. NCTM bu yaklaşımı okul programlarına indirilmesi yönünde ciddi adımlar atmıştır. NCTM 2000 standartları ile NCTM 1989 standartları arasındaki dikkate değer bir fark, yeni bir işlem standardı olan çoklu temsil yaklaşımının ele alınmasıdır. NCTM, 2000 standartlarında çoklu temsil yaklaşımını başlı başına ele almış ve kullanılma gerekliliğini açıklamıştır. Çoklu temsil yaklaşımı standardı, öğrencilerin matematiksel fikirleri organize etmede, kaydetmede ve iletmede temsilleri kullanmasını önerir. Ayrıca öğrenciler için problemleri çözerken matematiksel temsiller arasında seçim yapmak, uygulamak ve dönüştürmeyi mümkün kılar (Çelik, 2007). Bu konu ile ilgili Janvier (1987) yaptığı ve bir matematik eğitimi dergisinin de değindiği araştırmalar temsillerin matematik öğretimindeki karmaşık süreçleri üzerinde rolünü ve temsillerin temel ve pratik konular ile ilişkisini ele almaktadır. Dışsal görünüm ile kastedilen şey ‘araştırmayla doğrudan ulaşılabilen denklemler, veri tabloları, grafikler, geometrik figürler, diyagramlar, yazılı metinlerdir. Goldin (1998) matematiksel düşüncelerdeki detayların doğrudan gözlemlenebilir olmadığını, matematiksel bilişte birçok içsel temsil sisteminin yer aldığını vurgulamaktadır. Goldin ve Kaput içsel düzenlemeleri bireyin karakteristik algısı muhakemesi ile beyninde kodladığı sinir sistemi ve gözlemlerden sonuç çıkaracak olan bir yapıya benzetmektedir. Ayrıca Janvier (1987) temsiller arasındaki dönüşümsel süreçlere dikkat çekmektedir. Sembolik ve grafiksel temsiller için örnek olarak grafik-denklem, denklem-grafik dönüşümü farklı anlayışlarla ilişkilendirilmiştir. Daha genel olarak Kaput (1992) temsiller arasındaki geçişi okul matematiğinin dört ana kazanımından biri olarak göstermektedir. Çoklu temsiller terimini tanımlamadan önce temsilin ne anlama geldiğini bilmek gerekir, temsiller bireysel duygu, düşünce durumlarına göre anlamlandırılır (Kaput,1989). Belki kâğıt üzerinde yazılan şeylerin birleşimi, fiziksel nesnelerden ortaya çıkan şeyler veya kişinin zihninde düzenli biçimde yapılandırılmış her şey anlamına da gelir.

Son yıllarda mevcut teknolojilerin kullanımıyla matematik eğitiminde çoklu temsil yaklaşımı önemli avantajlar sunmaktadır. Keller ve Hirsch (1998) çoklu temsillerin birer avantaj olduğunu çünkü öğrencilerin çözümlere farklı yollardan yaklaşmasını sağladığını ve ‘temsillerin bilişsel ilişki kurması sayesinde’ kavramın anlaşılmasını kolaylaştırdığını belirtmiştir. De Jong vd. (1998) öğrencilerin çoklu temsillere matematik öğretiminde bilgileri farklı karakterizasyonlarla öğrenebileceği ve bu temsillerin sırasıyla kullanımının öğrenme sürecine faydalı olabileceği nedeniyle ihtiyaç duyulabileceğini ileri sürmüştür. Berdnarz ve Belanger (1987) öğrencilerin sahip olduğu kavram bilgilerinin öğretimsel anlamda geliştirilebilmesinin çoklu temsil kullanımıyla sağladığını düşünmektedir. Çoklu temsil kullanımı öğrencilerin çözülecek problem durumuna göre aleyhinde olan bir temsilden lehine olan somut, kolayca işlem yapabileceği ve süreci anlamlandırabileceği bir biçime dönüştürerek önceki etkisiz ve sınırlı temsilin reddedilebilmesine yardım ederek bilginin yeniden kendine öz biçimde yapılandırmasını sağlayacak beynin bir işletim sistemi olarak düşünülebilir (Adu-Gyamfi, 2000). Kaput (1992) çoklu temsillerin kullanımının matematiksel bir kavramın daha iyi bir görüntüsünün canlandırılmasında ve bir kavramın farklı biçimlerde somutlaştırılmasında öğrencilere yardımcı olduğunu belirtmiştir. Matematiksel bir kavramın bir temsilden diğerine dönüştürülmesi, başarılı problem çözümü için, bir ön varsayımdır (Elia,2002:Duval:2002). Pek çok çalışma göstermiştir ki, öğrenciler kazanılan bir bilgiyi bir bağlamdan diğerine dönüştürürken zorluklarla karşılaşmaktadırlar.

Matematik eğitiminde çoklu temsil yaklaşımını ele alan araştırmalar incelendiğinde çeşitli konular üzerinde çeşitli öğretim teknolojisi, materyal vb. araç gereçlerin kullanıldığı görülmektedir. Çoklu temsil konusunda çalışmalar yapan araştırmacıların temsilleri iç ve dış temsiller diye birbirinden ayırıp birini ağırlıklı olarak işledikleri görülmektedir. Dış temsiller ile ilgili çalışmalarda temsil bileşenleri arasında farklılıklar görülmektedir. Araştırmalarda kullanılan dışsal temsil bileşenlerinden bazıları grafik, tablo, denklem, diyagram, tecrübe-temelli metaphor, konuşulan dil, somut modeller, yazılı sembollerdir. Araştırma üç dışsal temsil türüyle ilgili yapılan çalışmaların sentezini ortaya koymayı hedefleyen tarama çalışmasıdır. Nümerik temsiller ile tablo, grafiksel temsiller ile grafik, sembolik temsiller ile denklem kullanımı içeren ilgili araştırmalar ortak özelliklerine göre sınıflandırılmıştır. Bu çalışmada nümerik, grafik ve sembolik temsiller ile ilgili yapılan araştırmalar iki başlık altında incelenmiştir bunlar; öğretim teknolojisinin kullanıldığı ve kullanılmadığı çoklu temsil yaklaşımını temele alan araştırmalardır. Bu iki başlığı kendi arasında tekrar ikiye ayırmak mümkündür. Bu alt başlıklarda temsiller arası geçiş becerilerinde öğrenci zorlukları ve öğretmen pratiği, bilgisinin rolü üzerinde durulmuştur.

1. 
   GELENEKSEL SINIF ORTAMINDA KULLANILAN ÇOKLU TEMSİLLER
   

Sınıf ortamında Çoklu temsil merkezli bir yaklaşımın oluşturulabilmesi için öğretim sürecinin en temel unsurlarından biri olan öğretmene önemli roller düşmektedir. Bir öğretmenin alan bilgisi ve mesleki yeterlilikleri sınıf içerisindeki öğretme-öğrenme ortamını etkilemektedir. Tıpkı bunun gibi öğrencilerde sınıf ortamına ön bilgi, tecrübeleri doğrultusunda gelir ve kendi bilgileri kadar birbirinin tecrübe ve bilgilerinden de etkilenir(????). Araştırmacılar herhangi bir öğretimsel model uygulanmaksızın öğrencilerin sınıf ortamına geldikleri durumlardaki temsil bilgi ve yönelimlerini merak etmiş, araştırma gereği duymuşlardır. Herhangi bir araç ya da yazılım kullanmaksızın geleneksel anlamda yapılan öğretimde temsil bilgisi ve becerisi üzerine öğrencinin kendisinin etkisi kadar öğretmen inançlarının da etkisini inceleyen araştırmalar bulunmaktadır. En basit anlamda tahta kullanılarak yapılan öğretimde öğretmenlerin sınıf ortamına birden fazla temsil tipi içeren problemleri getirmesinin sınıftaki öğrenme ortamını zenginleştireceği çeşitli araştırmaların sonuçlarından bilinmektedir(????). Araştırmalar incelendiğinde herhangi bir öğretim teknolojisi kullanmaksızın yapılan çoklu temsil temelli çalışmalarda farklı bir bileşenin (uzamsal yetenek, kavramsal anlama, müfredat farklılıkları…) temsil kullanımına etkisi üzerinde durulduğu görülmektedir().Yapılan araştırmalar sadece bir öğretim sürecine çoklu temsillerin etkisi yada bir araç, yazılımla yapılan öğretimin çoklu temsiller bağlamında incelenmesi üzerine değildir, bazen de çoklu temsil yaklaşımına etki eden, kullanımını etkileyen bileşenlerin araştırılması gereği bazı araştırmacılar tarafından hissedilmiştir.

Fonksiyon konusunda öğrencilerin kullandıkları çoklu temsillere başarı ve uzamsal yeteneklerin etkisini inceleyen Erbilgin ve Fernández (2003) 8. sınıf düzeyindeki 16 öğrenci üzerinde görüşmeler yolu ile çalışmıştır. Bu çalışmada araştırmacı bu yaklaşımı her hangi bir deney kontrol guru ayrımına tutmadan, herhangi bir aracın etkinse bağlı kalmaksızın durum çalışması yoluyla incelemiştir. Farklı uzamsal yetenek ve başarı seviyesine sahip öğrenciler dört gruba ayrılarak incelenmiştir. Çalışma bulguları öğrencilerin başarı ve uzamsal yetenek farklılıklarının kullandıkları temsillerde farklılaştırdığını göstermiştir. Yüksek uzamsal yeteneğe sahip öğrencilerin temsil geçişlerini düşük yetenekliklere göre daha kolay sağladığını gösteren araştırma benzer olarak yüksek başarıya sahip öğrencilerinde bu geçişleri daha rahat yaptığı sonucuna ulaşmıştır. Ayrıca düşük uzamsal yetenek ve başarıya sahip öğrencilerde farklı temsil kullanımının diğerlerine oranla daha az olduğu ve bu farklılıkların matematiksel düşünme ve problem çözme sürecini etkilediği belirtilmektedir. Son olarak farklı temsil kullanımının tüm bu farklı gruplara yardım sağladığı görülmüştür

Öğrencilerin türev kavramının anlamasını değerlendirmek için çoklu temsil kullanılması gerekliğine vurgu yapan Amoah ve Laridon (2004) analiz konularındaki kavramsal ve işlemsel anlama üzerine durmuştur. Eğitimciler öğrencilerin kavramsal anamla seviyelerinin yükseltilmesi ile başarılı olunabileceğini belirtmekte ve bunun yollarını aramaktadır. Çalışmasında durum analizi ile analiz öğrencilerin türev konusunu anlamasına grafik, nümerik ve sembolik temsillerin etkisi bağlamında inceleyen araştırmacı anlamanın geliştirilebileceği bir sınıf ortamı düzenlemeye çalışmıştır. Çalışmasında öğrencilerin kullandıkları temsillerle göre anlama düzeyini irdelemeye çalışan araştırmacı herhangi bir temsil ile kavramsal anlama arasında net bir ilişki bulamazken kavramsal anlamayı temsiller arası geçiş becerilerinin arttırdığı, öğrencilerinde bu becerilerden yoksun olduklarını belirtmiştir. Özellikle nümerik gösterimler ile verilen problemler ve problem uygulamalarında zorluklar yaşandığına değinen araştırma temsil ilişkilendirilmesini kavramsal anlamanın ölçütü olarak göstermiştir.

Çoklu temsil vurgulanmasının analiz öğrencilerinin türev kavramını anlamaları üzerine etkilerini inceleyen Goerdt (2007) geleneksel müfredat ve reform müfredatının kullanıldığı iki sınıf ortamını karşılaştırmıştır. Geleneksel programın çoklu temsilleri içerdiği buna karşın öncelikli olarak sembolik temsiller üzerinde odaklandığı belirtilirken, reform müfredatının ve kitaplarının tüm temsilleri içermesinin yanında temsil içi ve temsiller arası geçişlere ve kavramın somutlaştırarak uygulanmasına yönelik bir içerik bulunmaktadır. Çalışmanın nicel bulguları reform ve geleneksel sınıf ortamları arasında türev kavramının anlaşılmasıyla ilgili olarak istatistiksel olarak anlamlı farklılıklar bulurken; reform sınıfındaki öğrencilerin türev kavramının anlamlandırılmasında daha esnek olduğu, konun uygulamalarında başarılı oldukları ve temsil geçişlerinde daha esnek oldukları sonucuna ulaşılmıştır. Araştırmada görüşmeler le yapılan nitel bulgular geleneksel sınıf ortamındaki öğrencilerin sembolik temsiller üzerinde çözüme ulaşmaya çalıştıkları bununla birlikte reform öğrencilerinin problem türüne göre uygun temsili seçme ve dönüştürme işlevini daha etkin kullandıkları görülmüştür. Bir diğer sonuçta hem klasik, hem reform öğrencilerinin verinle bir fonksiyonun ikinci türevinde iç ve dış geçişlerde büyük zorluklar yaşadığını göstermektedir.

Analiz öğrencilerinin türev konusunda temsil kullanımının belirlenmesine yönelik Hacıömeroğlu (2007)’nun yaptığı çalışmada özel olarak grafik kullanımı üzerinde duran araştırmacı çalışmasını üç üniversite 2. sınıf öğrencisi üzerinde durum çalışmasıyla yürütmüştür. Temsil kullanımıyla analiz konularının bir nevi görselleşeceğini ve bununda soyut kavramları somutlaştırarak kavramsal anlamayı geliştireceğini belirten araştırmacı dışsal temsillerden sembolik, grafik nümerik temsilleri ele almıştır. Bu çalışmada araştırmacı üç katılımcının zihinsel imajları, temsil kullanımı ve özel olarak türev konusundaki grafik temsilinin kullanılarak oluşturulan anlamın incelenmesine yönelik bir durum çalışması yapılmıştır. Araştırma iki soru üzerine odaklanmıştır.

Analiz öğrencilerinin türev grafiklerini ne olarak tanımlamakta (grafiklerden ne anlamaktadır), analiz öğrencileri Türev grafikleri için nasıl bir anlam oluşturur. Yapılan klinik mülakatlar boyunca katılımcıların zihinsel süreçleri ve kullandıkları temsilleri anlamak için fonksiyon türevlerinin grafikleri sunulmuş ve türevlenemeyen fonksiyonların grafiklerini çizmeleri istenmiştir. Araştırma bulgularında farklı öğrencilerin temsil tercihlerinin farklı olmasından ötürü türev grafiklerini yorumlama ve kavram haritalarının farklı oldukları görülmüştür. Çalışma sonucunda katılımcı bilgilerinin kullandıkları bir temsil ve bir düşünme biçimi (matematiksel süreç) ile kuvvetli bir bağa sahip oldukları ve diğer süreç ve temsiller ile bağlantılarının kopuk olduklarını göstermektedir. Bir düşünme biçimini bir temsilin karşılaması ve bunlar arasındaki geçişlerin kopuk olmasının anlamayı zorlaştırdığını belirten araştırmacı türev grafiklerinde zorlukların düşünme süreçlerinin tersine çevrilmesinin önemi, analitik ve görsel düşünmelerine ve çoklu temsillerin bir arada birleştirilmesini anlamayı etkileyebileceğinin önemine değinmektedir. Sonuç olarak türevlenebilen ve türevlenemeyen fonksiyon grafiklerini öğrenciye farklı düşünme biçimleri ve temsil tercihleri ile öğretilmesinin analiz öğrenimini kolaylaştıracağı ve zihinsel yapıların kuvvetlendirilebileceği üzerinde durulmaktadır.

2.4.2- ÖĞRETİM TEKNOLOJİSİ DESTEKLİ ÇOKLU TEMSİL ORTAMLARI

Özellikle analiz reformu ile üzerinde daha ağırlıklı olarak durulan, öğretim ortamını zenginleştirdiği belirtilen çoklu temsil yaklaşımının daha etkin ve verimli kullanılabilmesi için öğretim teknolojileri yardımı ile desteklenmesinin önemi üzerinde durulmaktadır (Akkoç,2004; Porzio, 1994). Çoklu temsiller ile ilgili yapılan çalışmalar incelendiğinde Bilgisayar Cebir Sistemleri (CAS) kullanılarak Analiz veya Cebir öğretimi üzerine yapılmış araştırmaların çokluğu dikkat çekmektedir. Öğrencilerin sayısal işlem becerilerini grafiksel değişkenlere bağlı olarak görsellemesini sağlayan grafik hesap makineleri aynı zamanda sınıf ortamına birden fazla temsil sunması, temsiller arası geçiş becerilerini geliştirmesi yönüyle de ilgili araştırmalarda yer edinen bir araçtır. Aşağıda son on yılda matematik eğitimi literatüründe yapılan öğretim teknolojilerinin kullanılmasının çoklu temsillere etkisini inceleyen araştırmalara yer verilerek ilgili alandaki boşluğa değinilmiştir.

Keller ve Hirsch (1998) tarafından yapılan fonksiyon temsillerinde öğrenci tercihleriyle ilgili çalışma üniversite öğrencilerine uygulanmış; deney grubuna kontrol grubundan farklı olarak grafiksel hesap makineleri yardımı ve çeşitli sınıf etkinlikleri ile fonksiyonlar konusunun öğretimi sağlanmıştır. Fonksiyonlar konusunda öğrencilerin kullanma eğiliminde oldukları temsiller ve bunların öğretim ortamı ve soru tipleri bağlamında etkisinin incelenmesi amacıyla yapılan çalışma sonucunda deney grubu yönüyle anlamlı farklılıklara rastlanılmıştır. Grafiksel hesap makineleri kullanan öğrencilerin teknoloji kullanmayanlara oranla hem bağlamsal hem de bağlamsal olmayan konularda grafiksel temsilleri kullanma yönüyle anlamlı değişiklikler gösterdikleri çalışmadaki bir başka sonuçtur. Teknolojinin sınıf ortamına getirilmesi ile farklılıkların minimize olması sonucu Hart (1992) in çalışma sonuçları ile benzerlik göstermektedir.

Patterson ve Norwood (2004)’un Ööğretmen inançlarının öğrencilerin temsil inançlarına etkisi üzerine yapılan çalışmada teknoloji (grafiksel hesap makinesi) kullanmaya açık ve öğrencileri de bu konuda cesaretlendiren bir öğretmen ile yönergeler doğrultusunda yine kullanan ancak daha çok klasik eğitime meyilli iki öğretmenin ders işleyişi ve öğrencilerin durumları karşılaştırılmıştır. Araştırma sonucunda çoklu temsilleri grafik destekli hesap makinesi ile kullanan öğretmenin öğrencilerinin de bu eğilimde olduğu ve klasik eğitimle ders alan gruba göre daha başarılı olduğu bulgularına rastlanılmıştır.

Çıkla (2004) çalışmasında çoklu temsil temelli öğretimi, geleneksel öğretim yöntemiyle karşılaştırarak yedinci sınıf öğrencilerinin cebir performanslarına, matematiğe karşı tutumlarına ve temsil tercihlerine olan etkisini araştırmayı amaçlamıştır. Çalışma iki devlet okulundan alınan dört yedinci sınıf üzerinde 2003–2004 öğretim yılında gerçekleştirilmiş ve 8 hafta sürmüştür. Deney grubuna kontrol grubundan farklı olarak cebir dersi çoklu temsillerin kullanılmasına olanak sağlayan öğretim teknoloji ve materyal desteği ile yapılmıştır. Öğretim süreci ve sonunda uygulanan testlerde deney grubu yönüyle anlamlı sonuçlara ulaşılmıştır. Deney, öğrencilerin temsil tercihlerini manidar olarak değiştirmiştir. Öğrencilerle yapılan görüşmeler sonucunda, deney grubu öğrencilerinin verilen cebir problemleri için farklı temsil biçimlerini kullanabildikleri ve bunlardan verilen duruma en uygun olanını seçebildikleri ortaya çıkmıştır.

Girard’ın (2002)’ın yaptığı grafiksel hesap makinelerinin analiz problemlerini çözmesine yönelik çalışmada öğrencilerin problem çözme süreçleri çoklu temsil merkezli bir yaklaşım içerisinde ele alınmıştır. Çoklu temsil desteğinin grafiksel hesap makinesi desteği ile sağlandığı sınıflarda öğrencilerin limit ve türev konularındaki problem çözme süreçleri incelenmiştir. Çalışmada hesap makinesi keşfettirmeyi veya doğrulamayı sağlayan bir araç olarak kullanılmıştır. Çalışma analiz dersinde 65 öğrenci üzerinde yürütülmüştür. Öğretim içeriği çoklu temsil yaklaşımını ve hesap makinesi kullanımını vurgulamaktadır. Öğrencilere grafiksel hesap makinesi kullanma fırsatı verilmiştir ama hesap zorunluluğu olacak nitelikteki sorulara yer verilemiştir. Bu sayede öğrencilerin hesap makinesi hangi durumlarda ne amaçla kullanma gereği hissettikleri belirlenmeye çalışılmıştır. Hesap makinesinin doğrulayıcı ya da keşfettirici olarak kullanıldığı bu çalışmada, nümerik grafik, sembolik ve bu temsillerin birleşimi ele alınmıştır. Öğrencilerin grafiksel destekli hesap makinelerini nasıl kullandıkları hangi temsil ya da temsil birleşimlerini seçtikleri ve bunların öğrenci başarısıyla ilişkisinin ele alındığı çalışma sonuçları incelendiğinde grafiksel hesap makinelerinin limit ve türev problemlerinde keşfettirmeye yönelik bir araç olarak kullanıldıkları görülmektedir. Grafiksel hesap makinelerinin kullanımı ve doğruluğu yönüyle belirgin bir fark bulunmamasına karşılık hesap makinesinin alışılmadık limit problemlerinde keşfetmeye yönelik kullanılması yönüyle anlamlı ve doğrusal farklılıklar bulunmuştur. Ayrıca sonuçlar göstermiştir ki öğrenciler limit ve türev problemlerini farklı biçimlerde çözmektedirler, limit problemlerinde kullanılan temsil çeşitliliğinin türevden daha fazla ve farklı olduğu görülmüştür. Çok başarılı öğrencilerin iki temsili kullanarak çözüme ulaşma çabası gösterdikleri, baskın olarak cebirsel temsilleri diğerleri ile ilişkilendirdikleri (limit problemleri için nümerik, türev problemlerinde ise grafiksel kullanım) bulunmuştur. Çoklu temsil merkezli yaklaşımı alan öğrencileri sonraki integral konusunda da grafiksel hesap makinesi yardımı ile bu kavramı kullandığı, öğrencilerin çoklu temsil bilgilerinin problem çözme ve grafiksel hesap makinelerini analiz problemlerinde kullanma becerileri gösterdikleri bulunmuştur. Çalışmadaki bulgular ve sonuç bu yaklaşımın öğretimsel pratikte kullanılması gerekliliğini vurgulamaktadır.

Bilgisayar ortamındaki çoklu temsillerin öğrencilerin matematiksel kavramları öğrenmeleri üzerine etkilerini inceleyen Özgün-Koca’nın (1998)’nın örneklemini 16 lise birinci sınıf öğrencileri oluşturmaktadır. Bu çalışmanın amacı, yarı-bağlantılı gösterimlerin bağlantılı gösterimler kadar etkili olduklarını ve her iki tip gösterime farklı eğitim düzeylerinde ve de farklı matematik konularında ihtiyaç olabileceğini göstermektir. Bu çalışmada, farklı gösterim biçimlerinin yer aldığı bilgisayar programları ile eğitilen iki öğrenci grubu karşılaştırılmıştır. Sınıf, aynı dersi izlemek üzere iki farklı bilgisayar grupları ayrılmıştır. Yapılan öğretimin sonunda bulgular önceki bilgi ve tecrübelerin ve kişisel tercihlerin matematiksel temsil tercihlerini etkileyen ana başlıklar olduğunu göstermiştir. Denklem kullanımının baskın olduğu, grafik çizmek için dahi denklemler ile yapılan çözümlere ihtiyaç duyulduğunu belirtmiştir. Çalışma ayrıca öğreticilerin sınıf ortamında belirli bir temsili değil farklı temsilleri kullanarak öğrencilere seçme fırsatı tanımanın olumlu sonuçlar doğuracağını belirtmektedir. Öte yandan birden fazla temsili kullanmak için teknoloji desteğinin şart olmadığını belirten araştırmacı normal sınıf ortamında çoklu temsil kullanımın anlamayı geliştireceği zira bu çalışmada teknoloji desteğinin beklenenin aksine etkili kullanılamadığı ve dezavantajlarının da olduğu gerçeğinin unutulmaması gerekliliği üzerinde durulmaktadır (Özgün-Koca, 2004)

Türev konusunun öğrenim ve öğretiminde CAS kullanımı ile ilgili yaptığı çalışmada öğretmen etkililiğinin çoklu temsil yaklaşımına etkisi üzerine odaklanmıştır. Kendal (2002) Analiz dersinde iki farklı öğretmenin sınıf içerisinde CAS yardımı ile farklı ağırlıklarda kullandıkları temsillerin öğrencilerin türev konusunu anlama düzeylerine etkisini incelemiştir. Geliştirilen türev yeterlilik testinde tek temsil kullanımı ve temsiller arası geçiş becerilerine yer veren araştırmacı öğretmen tercihlerinin öğrenci tercihlerine etkisi ve temsil içi ve temsiller arası geçiş becerilerin kavramın öğrenilmesi üzerindeki etkilerini incelemeyi amaçlamıştır. İki farklı öğretmenden A öğretmeninin nümerik, grafik, sembolik temsiller aynı ağırlıkta vermiş B öğretmeni ise ağırlıklı olarak sembolik temsil üzerinde dururken, grafiksel temsil ile de konuyu ilişkilendirmiştir, bunun yanında nümerik temsillere değinmemesinin öğrenciler açısından bir dezavantaj oluşturmadığı görülmüş hatta anlama düzeylerinde A öğretmeninin sınıfına göre pozitif yönde farklılıklar olduğu belirtilmiştir. Çalışma sonucunda türev kavramının anlaşılmasında çoklu temsil kullanımının önemi üzerine durulmuş, fakat literatürde belirtildiği gibi tüm temsillerin eşit ağırlıkta kullanılması değil ağırlıklı olarak sembolik ve grafiksel temsillerin kullanılması ve birbiri ile ilişkilendirilmesi gerekliliği vurgulanmıştır. Öğretmen tercihleri ve temsil bilgilerinin öğrenme ortamını etkilediği belirtilmiştir (Kendal ve Stacey, 2003).

Porzio (1994) tarafından yapılan öğrencilerin Analiz konularını nümerik grafik ve sembolik temsillerle anlamaları üzerine grafiksel hesap makinelerinin etkisinin sınanmasına yönelik yapılan çalışmada üç öğretim ortamı karşılaştırılmıştır. Bu ortamların ikisinde grafiksel hesap makinesinin kullanımına daha az değinilmiş ve ders süresince sembolik temsil dışındaki temsillere daha az zaman ayrılmıştır. Diğer sınıfta ise öğretim, ders içerikleri sembolik ve grafiksel temsillerin grafiksel hesap makinesi yoluyla kullanılması ve ilişkilendirilmesi sağlanmıştır, iki temsil türüne de düzenli olarak aynı oranda yer verilmeye çalışılmıştır. Sonuçlarda hesap makineli sınıf ortamında grafiksel ve sembolik temsillerin öğrencilere analizin farklı konularında kavramların yapılandırılmasına iç ağların oluşturulmasında yardımcı oldukları, farklı konular arasında geçişleri sağladıkları, belirtilmiş, öğrencilerin problem çözümü için gerekli temsil bilisi yapısının az olduğu ve bununda soyut problemlere yansıtma fırsatının tanımlamasının bir sonucu olduğu ifade edilmiştir. Grafiksel hesap makinesi ile çalışan öğrencilerin sembolik kullanırken ve grafiksel temsiller ile ilişkilendirirken zorlandıkları, buna neden olarak da grafiksel hesap makinelerinin analiz konularının öğretilmesinde kullanımı sırasında sadece grafiksel temsiler ile çalışması, sembolik gösterim ile ilişkilendirilmemesi olduğu belirtilmiştir. Bu çalışma öğrencilerin bilgilerindeki içsel bağlantılar ile sembolik temsilleri arasındaki geçişin algılanmasının geliştirilmesinin önemi ve grafik ve sembolik temsiller arasındaki bağlantının tanımlanabilmesi yönüyle öneme sahiptir. Çalışma analiz öğretiminde sadece grafiksel hesap makineleri gibi teknoloji kullanımı ile sağlanamayacağını belirtmekte sınıf ortamına iyi seçilmiş problemlerin getirilmesi ve probleme uygun teknolojinin de bu noktada sadece araç olarak kullanılması ile farklı temsiller arasında bağlantıların kurulmasının önemi üzerinde durmaktadır. Çalışma teknolojinin analiz öğreniminin geliştirilmesinde gerekli olmadığını belirtmektedir.

Hwang ve diğ. (2007) çalışmasında akıllı tahtayla desteklenen mikro öğretim ortamında Çoklu temsil becerilerinin ve yaratıcılığın Matematiksel problem çözmede üzerindeki etkisini incelemeyi amaçlamıştır. Bu bağlamda 6. sınıf seviyesindeki başarısı yüksek öğrenciler seçilmiştir. Nümerik ve geometrik problemlerle karşılaştırılan öğrencilerin çözüm süreçlerini geliştirmek üzere akıllı tahtalı sistem ile destek veriliştir. Bulgular öğrencilerin çoklu temsil becerilerinin başarılı bir problem çözümü için anahtar işlevi gördüğü, yüksek ayrıntı yeteneğine sahip öğrencilerin akran etkileşiminden daha çok faydalanabildiği, öğretmen rehberliğinin çeşitli ve farklı fikirler, matematiksel problemlere çözüm geliştirdiği bulgusuna varılmıştır. Tersine düşük düzeyde ayrıntı yeteneğine sahip öğrencilerin temsil becerilerinde zorluklar yaşadıkları görülmektedir. Çalışma sonucunda temsil becerilerinin ayrıntı yeteneğine sahip yaratıcı düşünebilen öğrencilerde bulunduğu ve temsilleme becerileri için önemli bir şart olduğu vurgulanmıştır. Çalışma öğretmenlerin matematiksel problem çözme aktivitelerini akıllı tahta sistemi ile geliştirmelerinin öğrencilerdeki temsil becerilerini ve temsil geçişlerini destekleyeceği ve güçlendireceğini önermektedir. Ayrıca yaratıcılıkta ayrıntı yeteneğinin, öğrencinin çeşitli temsil becerilerini etkileyen kritik bir faktör olduğu belirtilmiştir

2.5- ÇALIŞMALARA GENEL BİR BAKIŞ VE ARAŞTIRMACININ YORUMU

1960’ lardan sonra matematik eğitimi araştırmalarına yön veren ve özellikle 1987’ de Janvier’in yaptığı ve Journal of Mathematical Behaviouer Dergisinin yayınladığı çalışmalardan sonra eğitim çalışmalarında kendine daha somut yer bulan çoklu temsiller yaklaşımı Analiz reform sürecinin başlamasında da önemli bir role sahiptir. Çoklu temsil yaklaşımı içsel ve dışsal temsiller diye ayrılmakla birlikte temelde birbirinden etkilenmektedir. Dışsal temsillerin sekiz başlıkta incelenmesine karşın (Lesh ve diğ., 1987) analiz öğretiminde özellikle nümerik, grafik ve sembolik temsiller ile ilgili çalışmaların yoğunluğu açıkça görülmektedir (Kaput, 1994; Kendal, 2002; Özgün-Koca, 2004). Araştırmalar genelde çoklu temsil ortamlarının CAS, grafik destekli hesap makineleri, öğretim materyalleri ile zenginleştirilebileceği üzerinde dururken bazı çalışmalar bu ortamların her ders veya her konu üzerinde sağlanamayacağı nedeniyle sınırlılıklarının olduğunu belirtmekte, çözümü müfredat değişimi ve öğretmenin yeterliliğinde aramanın gerekliliğine dikkat çekmektedir. Bazı çalışma bulguları öğretim teknolojilerinin araç olmaktan öte amaç gibi kullanılmasının öğrenme ortamını olumsuz etkilediğini ortaya koymakta, öğretmen bilgi, pedagoji yetersizliğinin çeşitli sınırlılıklar doğurduğunu göstermektedir. Bu bağlamda literatürde öğretmen yeterliliği ile ilgili yapılan çalışmaların sınırlılığı araştırmacının dikkat çekmiştir. Öğretmen etkililiğinin çoklu temsil yaklaşımına etkisi üzerine odaklanan çeşitli çalışmalarda öğretmen bilgi, tutum ve inançlarının öğrencinin temsil tercihine etkisine bakılmıştır. Çalışma sonuçları öğretmen inançlarının öğrenci inançlarını etkilediği, öğrencilerin öğretmenin tercih ettiği temsiller doğrusunda şekillendiğini belirtmektedir (Patterson ve Norwood, 2004; Kendal ve Stacey, 2003). Çoklu temsiller ile ilgili yapılan çalışmalar kendini en çok Analiz dersinde ve özellikle türev konusunda göstermektedir. Araştırmacılar genelde türevin üç farklı gösteriminin öğrenciler tarafından yorumlanması ve problem çözmedeki başarısına etkisi üzerinde odaklanmıştır. Çalışmalar incelendiğinde genelde reform müfredatıyla yapılan öğretim sürecinin geleneksel olana göre daha başarılı olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Çalışmalardaki ortak bulgular öğrencilerin en çok zorlandığı temsil türünün nümerik temsiller olduğuna işaret etmektedir. (inginç, grafik diye bekleniyor genelde) Hatta analiz konularının anlaşılmasına yönelik yapılan bazı araştırma sonuçlarında nümerik temsil kullanmayan öğretmenin ders verdiği sınıfta olumlu sonuçlara rastlanılmıştır. Çoklu temsiller ile ilgili literatür incelendiğinde nümerik temsillerin geliştirilmesi gerekliliği ve hangi problem türlerinde daha etkili kullanılabileceği yönünde araştırmalara rastlanılmamaktadır (Goerdt, 2007). Oysa nümerik gösterimler ya da değer tabloları eşliğinde verilen türev problemleriyle anlık değişim oranlarını bulma ve belirli bir zaman sonrakini tahmin etmeye yönelik uygulamalar değişen analiz müfredatının vurguladığı kazanımlar olarak karşımıza çıkmaktadır. Bağlamsal problem türlerinde kullanılmasının çözüm sürecini olumlu etkileyeceği düşünülen sembolik ve nümerik arasındaki dönüşüm becerisine yönelik bir çalışmada bulunmamaktadır. **

Temsil çeşitliliğinin kavramsal anlamayı geliştireceğini ifade eden araştırmalarda ortak bulgu temsil içi ve temsiller arası geçiş becerilerinin geliştirilmesinin derin ve etkili anlamayı sağlayabileceği yönündedir. Bazı çalışmalar grafiksel hesap makinelerinin sadece grafiksel becerilere hitap ettiğini ve hatta işlem becerisini yavaşlattığını belirtmektedir (Porzio,1999; Özgün-Koca,1998; Girard, 2002). Bununla birlikte diğer bazı çalışmalar öğrenciye bu donanımların sağlanmasının yetmeyeceği, sınıf içerisine bu aktivitelerin kullanılmasına uygun problemlerin getirilmesi ve hangi durumlarda bu araçlardan yararlanabilineceğinin öğrencilere kavratılması ile öğretim kalitesinin arttırılabileceği vurgulanmaktadır. Öğrenci kavramın içerdiği farklı tür temsilleri mutlaka tanıyabilmeli; kavramın içerdiği temsil içerisinde dönüşümler yapabilme esnekliğine sahip olmalı ve kavramı bir temsil modelinden diğerine dönüştürebilmelidir (Lesh ve diğ.1987). **Temsiller arası geçiş becerisi yönüyle en çok zorlukların yaşandığı durum nümerik-grafik, nümerik-sembolik dönüşümleri olarak belirtilirken analiz öğretiminde kazandırılması gereken en önemli becerinin, sembolik-grafik dönüşüm becerisi olduğu ifade edilmektedir. Özel olarak öğretmenlerin çoklu temsil bilgisi ve hangi temsili hangi konularda kullanmaları gerekliliğinin farkındalığı üzerine çalışmaya rastlanılmamıştır (benim tübitak projesi ele aldı, yakında yayın çıkar bu konuda). Çalışmalar öğretmen temsil tercihinin öğrenci tercihine etkisi biçimindedir. Ayrıca türev kavramının öğretiminde kullanılan çoklu temsiller üzerine yapılan çalışmalara bakıldığında öğrencilerin cebirsel temsil içeren problemlerde daha başarılı oldukları görülmektedir. İşlemsel beceriler yönüyle başarılı olan öğrencilerde süreci anlamlandırma sıkıntısı bulunmaktadır. Problemi doğru çözebilen öğrenci bu çözümü geometrik olarak yorumlayamamakta, farklı problem türlerinde kullanamamaktadır. Bir fonksiyon grafiği verildiğinde öğrencilerin çok az bir kısmı bu fonksiyonun türevlenmiş biçimini grafiksel olarak gösterebilmektedir. Eğer problem günlük hayat metni biçiminde verilmişse öğrenci büyük zorluklar yaşamakta bununla birlikte aynı sorunun cebirsel ifadesinde sonuca kolaylıkla ulaşabilmektedir. Araştırmacılar bu eksikliği tek temsil türüne bağlı kalmanın sonucu olarak açıklamaktadır. Bunun yerine öğretim ortamları birden fazla temsil kullanımı ve temsiller arası dönüşüm becerilerinin geliştirilmesi gibi kavramsal anlamanın geliştirilmesine katkı sağladığı belirtilen uygulamalar eşliğinde tekrar düzenlenmelidir. Ayrıca öğrencilerin herhangi bir öğretim süreci uygulanmaksızın kullanma eğiliminde oldukları temsil çeşitleri ile akademik başarıları arasındaki ilişkiyi inceleyen çalışmalara literatürde rastlanılmamıştır. Yapılan çalışmalar düşünüldüğünde temsil beceri ve tercihlerinin genelde öğrenci bağlamında incelendiği görülmektedir. Bu süreçte aktif olan ve öğrenci tercihlerini etkileyen öğretmenlere yönelik yapılan çalışmaların sınırlılığı dikkat çekmektedir. Araştırmacı özellikle öğretmenlerin konu alanı bilgisi ile pedagojik alan bilgisinin öğrencilerin tercih ve becerilerini etkileyeceği düşünmektedir. Yapılan çalışmalarda gözden geçirildiğinde sınıf ortamında öğretimsel materyallerin kullanılmasının öğrenci başarısını arttırmaya yetmeyeceği, öğretmen konu alanı ve pedagojik alan bilgisinin geliştirilmesi gerektiği sonucuna varılmaktadır. Bu bağlamda öğretmen yeterliliğinin öğrenci temsil becerisine etkisi, üzerinde çalışılması gereken konulardan biri olarak araştırmacıların karşısına çıkmaktadır.

3- SONUÇ

Öğrenciler öğrenme ortamına kendi ön bilgi birikimleri ve deneyimleri ile gelirken bu tecrübelerini diğerleri ile paylaşma gereği hissederler. Bu bağlamda öğrenci herhangi bir problemin çözümünde kendisi için anlamlı temsilleri kullanma eğilimindedir. Kendilerine uygun temsillerle kendilerini ifade eden öğrencileri dersin öğretmeni desteklerse öğrenme- öğretme sürecinin zenginleştirilmesinden söz edilebilir. Araştırmalar incelendiğinde öğretmenin temsil bilgisi, bu bilginin öğrenme sürecine etkisine yönelik doğrudan bir araştırmaya rastlanılmamaktadır. Bu bağlamda yapılan çalışmaların farklı temsil kullanan öğretmenlerin öğrenci başarısına etkisi yönüyle sınırlı kaldıkları görülmektedir. Yine çalışmaların grafiksel hesap makinesi ya da CAS yardımı ile genelde grafiksel becerileri geliştirmenin başarıya etkisi konusu üzerinde sınırlı kaldıkları görülmektedir. Literatürde nümerik becerilerin geliştirilmesine yönelik araştırmaların azlığı dikkat çekmekle birlikte, bu boşluğun özellikle kavramın tanımı verilirken nümerik temsillere olan ihtiyaçların vurgulanması ile giderilebileceği düşünülmektedir. Sonuç olarak matematik eğitiminde yapılan çoklu temsil çalışmaları incelendiğinde “öğrencilerin temsil tercih ve dönüşüm becerilerine öğretmen etkisi” üzerinde durulması ve çalışılması gereken bir konu olarak araştırmacıların karşısına çıkmaktadır. Zaten çağdaş öğrenme teorileri bu bireysel farklılıklara saygı gösteren hatta sahip çıkan öğretmenlerin yetiştirilmesinin önemine değinirken farklı temsillerden faydalanmayı etkili bir öğretme ortamı oluşturmanın olmazsa olmaz şartı olarak göstermektedir.

4- REFERANSLAR (düzeltilmeli)

Abram, J. P. (2001). Teaching mathematical modeling and the skills of representation. In A. A. Cuoco, & F. R. Curcio (Eds.), The Roles of Representation in School Mathematics (pp. 269-282). Reston: NCTM.

Adu-Gyamfi, K.(2000) External Multiple Representations in Mathematics Teaching Unpublished EdD, Pittsburg: University of Pittsburg.

Akkoç, H.(2004) Fonksiyon kavramının çoklu temsillerinin çağrıştırdığı kavram görüntüleri. Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi

Amoah, V. & Laridon, P. (2004). Using multiple representations to assess students’ understanding of the derivative concept, Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 24(1), 1- 6.

Bidwell, J. K., & Clason, R. G. (1970). Readings in the History of Mathematics

Education. (pp. 403-407). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics

Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction. Cambridge: Belknap Press of Harvard University.

Brown, R. (1996). Multiple representations, the TI-92 and the development of calculus. In B. Barzel (Ed.), Teaching mathematics with Derive and the TI-92. (Proceedings of the 2nd International Derive and TI-92 Conference (pp.105- 115). Schlob Birlinghoven, Germany: Zentrale Koordinatio Lehrerausbildung.

Çelik,D. (2007). Öğretmen adaylarının cebirsel düşünme becerilerinin analitik incelenmesi, Yayınlanmamış Doktora Tezi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon.

Çıkla,O.A., (2004) The effect of multiple representations-based instruction seventh grade students’ algebra performance, attitude toward mathematics, and representation preference, Yayınlanmamış Doktora Tezi, Orta DoğuTeknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.

De Jong, T ve diğ. (1998). Acquiring knowledge in science and mathematics: The use of multiple representations in technology-based learning environments. In N. Bennett, E. DeCorte, S. Vosniadou, & H. Mandl (Series Eds.) & M. W. Van Someren, P. Riemann, H. P. A. Boshuizen, & T. De Jong (Vol. Eds.), Learning with multiple representations (pp. 9-40). Oxford: Pergamon.

Dienes, Z. P. (1960). Building up mathematics. Great Britain: Anchor Press, Hutchinson Educational.

Dienes, Z.P. ve Jeeves, M.A. (1965). Thinking in Structures. London, England: Hutchinson Educational.

Dufour-Janvier, B., Bednarz, N. ve Belanger, M. (1987). Pedagogical considerations concerning the problem of representation. In Claude Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. Hillsdale, NJ: Erlbaum. 109-122.

Duval, R., 2002, Representation, vision and visualization: cognitive functions in mathematical thinking. Basic issues for learning. In: F. Hitt (Ed.) Representations and Mathematics Visualization (Me´xico: PMENA), pp. 311–336.

Erbilgin, E., Fernández, M. (2003) Spatial ability, achievement, and use of multiple representations in mathematics,

Elia ,I. ve Gagatsisi ,A.(2002 The Effects of different modes of reresentation on problem solving:two experimental programs.

Girard, N. R. (2002). Students' representational approaches to solving calculus problems: Examining the role of graphing calculators. Unpublished EdD, Pittsburg: University of Pittsburg.

Goldin, G. A. ve Janvier, C. (1998). Representations and the psychology of mathematics education. Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 1-4.

Goerdt, L. S., (2007) The Effect of Emphasizing Multiple Representations on Calculus Students’ Understanding of the Derivative Concept. Unpublished EdD, The Universty of Minnesota

Hacıömeroglu, S. E., (2007) Calculus students’ undersatanding of derivative graphs: Problems of representations in calculus. PhD., The Florida State University.

Hähkiöniemi, M. 2004. Perceptual and symbolic representations as a starting point of the acquisition of the derivative. In M. Høines & A. Fuglestad (Eds.) Proceedings of the 28th conference of the international group for the psychology of mathematics education (PME), Bergen, Vol. 3, 73-80.

Harel, G. (1989). Applying the principle of multiple embodiments in teaching linear algebra: Aspects o familiarity and mode of representation. School Science and Mathematics, 89(1), 49-57.

Hart, D. K. (1992). Building concept images: Supercalculators and students use of multiple representations in calculus (abstract). Unpublished Ph.D, (Oregon State University, 1992). Dissertation Abstracts International, 52: 4254A.

Heid, M. K. (1988). Resequencing skills and concepts in applied calculus using the computer as a tool. Journal for Research in Mathematics Education, 19(1), 3-25.

Hiebert, J. & Carpenter, T. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 65-100). Reston, VA.

Hwang, W.-Y., Chen, N.-S., Dung, J.-J. ve Yang, Y.-L. (2007). Multiple Representation Skills and Creativity Effects on Mathematical Problem Solving using a Multimedia Whiteboard System. Educational Technology & Society, 10 (2), 191-212.

Janvier, C. (Ed.). (1987). Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Kaput, J. J. (1989). Linking representations in the symbol systems of algebra. In S. Wagner, ve C. Kieran (Eds.), Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra (pp. 167–194). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Kaput, J.1. (1992). Technologyand Mathematics Education. In D. A. Grouws (Ed) NCTM Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 515-556.

Kaput, J. J. (1994). The representational roles of technology in connecting mathematics with authentic experience. In R. Biehler, R. W. Scholz, R. Strasser, & B. Winkelman (Eds.), Didactics in Mathematics as a Scientific Discipline (pp. 379-397). Netherlands: Kluwer Academic Publishers.

Kaput, J. J. (1998). Representations, inscripions, descriptions and learning: A kaleidoscope of windows. Journal of Mathematical Behavior, 17(2), 265-281.

Keller, B. A. ve Hirsch, C. R. (1998). Student preferences for representations of functions. International Journal in Mathematics Education Science Technology, 29(1), 1-17.

Kendal, M. (2002). Teaching and learning introductory differential calculus. Unpublished doctoral dissertation, The University of Melbourne, Australia. Available: http://thesis.lib.unimelb.edu.au/

Kendal, M., ve Stacey, K. (2003). Tracing Learning of Three Representations with the Differentiation Competency Framework Mathematics Education Research Journal, 15(1), 22-41.

Lesh, R., Post, T., ve Behr, M. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 33-40). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003). (Eds.). Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching. Mahwah, NJ:Lawrence Erlbaum.

Moseley, B. ve Brenner, M. E. (1997). Using multiple representations for conceptual change in pre algebra: A comparison of variable usage with graphic and text based problems. (ERIC Documentation Reproduction Service No. ED 413 184).

Monaghan, J. D., Sun, S. ve Tall, D. O.: 1994. Construction of the Limit Concept with a Computer Algebra System, Proceedings of PME 18, Lisbon, Portugal, III. 279–286.

NCTM (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author.

NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM Publications. National Research Council (NRC) (1996). National Science Education Standards. Washington DC: National Academy Press.

Patterson, N.; Norwood, K. (2004) A case study of teacher beliefs on students’ belief about multiple representation. International Journal of Science and Mathematics Education 2, 5–23.

Porzio, D. T. (1994). The Effects of Differing Technological Approaches to Calculus on Students' Use and Understanding of Multiple Representations when Solving Problems. PhD., The Ohio State University.

Porzio, D. (1999). Effects of differing emphases in the use of multiple representations and technology on students’ understanding of calculus concepts. Focus On Learning Problems in Mathematics, 21(3), 1-29.

Post, T., Behr, M. J., ve Lesh, R. (1988). Proportionality and the development of prealgebra understanding. In A. F. Coxford (Ed.), The Ideas of Algebra (pp. 78-91). Reston, VA: NCTM.

Thomas, N. D., Mulligan, J. T., ve Goldin, G. A. (2002). Children’s representation and structural development of the counting.

Özgün-Koca, S. A. (1998). Students' use of representations in mathematics education. North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, NC: Raleigh.

Özgün-Koca, S. A. (2004). Bilgisayar Ortamindaki çogu] Baglantili Gösterimlerin Ögrencilerin Dogrusal İlişkileri Öğrenmeleri Üzerindeki Etkileri, Hacettepe Üniversitesi Egitim Fakültesi Dergisi, sayı 26.

Yerushalmy, M. (1991). Student perceptions of aspects of algebraic function using multiple representation software. Journal of Computer Assisted Learning, 7, 42-57.