b). Teng uzoqlashgan interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Interpolyatsion tugunlar orasidagi masofa h = xi+1 – xi = const oʻzgarmas boʻlsin. U holda ixtiyoriy tugunni quyidagicha yozish mumkin:
xi = x0+ih, .
Yangi oʻzgaruvchi kiritamiz: . U holda
x – xi = x0 + th – x0 – ih = (t – i)h . (6. 15)
(6.15) ayirmani (6.11) tenglikka qoʻyib, quyidagini hosil qilamiz:
Soʻngra, xj– xi= (x0 + jh) – (x0 + ih) = (j – i)h ekanligidan, (6.15) dan foydalanib, Lagranj formulasini hosil qilamiz:
, (6.16)
bunda .
(6.16) ning nazariy xatoligini aniqlash mumkin: .
Misol. Jadval bilan berilgan y=f(x) funksiya qiymatini x=0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj interpolyatsion formulasidan foydalanib hisoblang:
i
0
1
2
3
xi
0
0,1
0,3
0,5
yi
–0,5
0
0,2
1
Yechish: (6.14) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:
;
Bizning holda n = 3 gacha, shu sababli:
x = 0,4 boʻlganda y L(x) = 0,3999.
Berilgan jadval asosida n=1 va xT = 0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj koʻphadini tuzamiz:
Bu esa chiziqli interpolyatsion formula bilan ustma-ust tushadi. Berilgan jadval asosida n=2 va xT = 0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj koʻphadini tuzamiz:
y L(x) =
Qaralayotgan [x1, x3] intervalda x0 = 0,1; x1 = 0,3; x2 = 0,5;
y0 = 0; y1 = 0,2; y2 = 1
qiymatlarni olamiz. U holda 2–tartibli Lagranj interpolyatsion koʻphadi hosil boʻladi:
Bu tenglik kvadratik interpolyatsiya formulasi bilan bir xil.
Nazorat uchun savollar:
Approksimatsiyalash deganda nimani tushunasiz?
Nuqtaviy approksimatsiyalash va uning turlari.
Interpolyatsion koʻphad qanday tuzilishga ega?
Lagranj interpolyatsion koʻphadi va uning nazariy xatoligi qanday aniqlanadi?