Propuesta para Trabajo de Grado

15. Fuerzas internas en mallas 2-simplex

Las fuerzas internas, se aplican para mantener la estabilidad de la malla, en cuanto a su geometría y continuidad de la superficie. Ésta última depende principalmente del ángulo simplex, y varía dependiendo del grado de continuidad que se quiera.

Para cada , la fuerza interna que se aplica se compone de otras 2 fuerzas: la fuerza norma , la cual tiene una dirección igual u opuesta a la normal del triángulo generado por los 3 vértices vecinos de ; y la fuerza tangente , la cual tiene una dirección perpendicular a la normal del plano [3]. Entonces:

En la figura 11, se puede observar la dirección de estas 2 fuerzas aplicadas a , y la fuerza resultante :



Figura 11. Fuerzas en mallas simplex
La fuerza tangente se calcula a partir de las coordenadas baricéntricas [] de la siguiente manera:


La fuerza normal, se calcula a partir del ángulo simplex:

Dónde:

• 
  está definido como:
  

• 
  es el radio del círculo circunscrito en el triángulo .
  
• 
  es la distancia entre la proyección de en el triángulo , y el centro del círculo circunscrito.
  

• 
  es la distancia entre el punto deseado de proyección en el triángulo , y el centro del círculo circunscrito.
  

• 
  depende del nivel de continuidad geométrico:
  
  • 
    Continuidad de la posición (C0): .
    
  • 
    Continuidad en la orientación de la superficie (C1): .
    
  • 
    Continuidad en el ángulo simplex (C2): se define como el promedio de los ángulos simplex en un vecindario sobre :
    

Dónde:

• 
  es la profundidad del vecindario.
  
• 
  es el vecindario de profundidad .
  
• 
  es el número de vértices que pertenecen al vecindario .
  
• 
  Restricción de la forma (C3): .
  

16. Fuerzas externas en mallas 2-simplex

Las fuerzas externas dependen de un modelo aplicado a la malla, el cual define como se quiere deformar la malla. No se preocupa por la estabilidad de la malla, ya que de este trabajo se encargan las fuerzas internas. Este es el punto principal de este proyecto, y del modelo se hablará más adelante, durante el desarrollo principal del trabajo.

17. Sopa de polígonos

Una sopa de polígonos es una estructura de datos para representar mallas poligonales, en la cual se tiene [14]:

• 
  Una lista con los vértices que pertenecen a la malla, donde cada vértice normalmente se define a partir de un identificador, y las coordenadas de su posición espacial.
  
• 
  Una lista con las líneas que forman la superficie de la malla, donde cada línea se compone de 2 identificadores de vértices; y/o una lista de caras, donde cada cara se compone de un conjunto de identificadores de vértices.
  

En algunos casos, la estructura contiene tanto la lista de líneas, como la lista de caras. En otras representaciones se utiliza solo una de las 2 listas.

18. QuadEdge

QuadEdge es una estructura de datos para representar mallas poligonales, que se basa en un conjunto de elementos, donde cada elemento tiene una dirección. Así, un elemento es un vértice o una cara; mientras que la dirección representa una posible conexión de un elemento con otro, sin llegarse a conocer su destino. Si la malla es abierta, el espacio fuera de la malla se tomará como una cara [4].

En la figura 12, se muestra una malla de una sola cara triangular, indicado los componentes antes mencionados:

Figura 12. QuadEdge

Se puede observar que los puntos blancos representan un elemento, ya sea un vértice o una cara (tomando el espacio fuera de la malla como una cara); y las flechas en color rojo representan la dirección del elemento.

Existen diversos operadores que partiendo de un elemento Origen, permiten desplazarse a través de la malla [15]:

• 
  Sym: Se posiciona en el elemento destino al cual apunta la dirección. La nueva dirección apuntará al nodo Origen.
  
• 
  Rot: Se posiciona en el elemento de la derecha. La nueva dirección apuntara a la izquierda, desde el punto de vista de la dirección origen. Cabe destacar que si se aplica desde un vértice, el nuevo elemento será una cara; y viceversa.
  
• 
  InvRot: Se posiciona en el elemento de la izquierda. La nueva dirección apuntara a la derecha, desde el punto de vista de la dirección origen. Cabe destacar que si se aplica desde un vértice, el nuevo elemento será una cara; y viceversa.
  
• 
  Onext: El elemento se mantiene. La nueva dirección apuntará al siguiente elemento realizando una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj.
  
• 
  Oprev: El elemento se mantiene. La nueva dirección apuntará al siguiente elemento realizando una rotación en sentido de las manecillas del reloj.
  
• 
  Lnext: Se posiciona en el elemento destino al cual apunta la dirección. La dirección se posiciona sobre la cara de la izquierda, respecto a la posición origen. Se puede realizar desde el origen aplicando primero Sym, y luego Oprev.
  
• 
  Rprev: Se posiciona en el elemento destino al cual apunta la dirección. La dirección se posiciona sobre la cara de la derecha, respecto a la posición origen. Se puede realizar desde el origen aplicando primero Sym, y luego Onext.
  

Existen otros operadores además de estos. Sin embargo, todos se pueden representar mediantes los más básicos que son Sym, Rot, Onext y Oprev. La figura 13 muestra los operadores anteriormente mencionados, desde el punto de vista de 2 caras triangulares, tomando como elemento origen un vértice:



Figura 13. Operadores QuadEdge