Remerciements table des Matières Introduction 1

approximés.

%%%%%%%%%%%%%%% Approximation Polygonale par des segments de droite %%%%%%

%%% Cette fonction effectue l'approximation polygonale par des segments %%%

%%% de droite. Elle appelle tab1 (liste de tous les pixels issus du %%%

%%% chaînage et tableaufin, liste de tous les pixels successifs formant %%%

%%% des segments de droites inférieurs à une erreur donnée. %%% %%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function tableauapprox = polygon (tab1,tableaufin,final)
figure(5);

imshow(final);

title('Approximation Polygonale par des Segments de Droites');

hold on;

axis ij;

grid;
%%%%%%calcul des dimensions de tab1 et tableaufin

[ligne,colonne]=size(tableaufin);

[lignetab,colonnetab]=size(tab1);

L=1; %%% L : indice de ligne sur tableaufin

while L

if (tableaufin(L,1)~=0)

indice1=tableaufin(L,7); %%% indice1 : indice de ligne sur tab1

indice2=tableaufin(L,8); %%% indice2 : indice de ligne sur tab1

nb=abs(indice1-indice2-1); %%% nombre de pixels du segment scruté

%%% seg : tampon contenant le segment issu de tab1

seg(1:nb,1:2)=tab1(indice1:indice2,1:2);

x1=tableaufin(L,1); %%% x1,x2,y1,y2 : extremités du segment

y1=tableaufin(L,2);

x2=tableaufin(L,3);

y2=tableaufin(L,4);

phin=tableaufin(L,5);

%%% appel de la fonction approximant cette chaine de pixels

[phi,d,x1,y1,x2,y2,d1] = approxdroite(seg, nb, x1, y1, x2, y2,phin);

if (x2~=x1 & phi~=pi/2) %% cas ou le segment est quelconque

xmin=min(x1,x2);

xmax=max(x1,x2);

x=xmin:.05:xmax;

y11=-(tan(phin)*x)+d/cos(phin);

y21=-(tan(phi)*x)+d1/cos(phi);

[a,b]=size(y11);

lim1=y11(a,1);

lim2=y11(a,b);

j=1;y3=0;

if (abs(lim1-y21(1,1))>5 | abs(lim2-y21(1,b))>5)

%%% cas ou le segment possède une pente quasi égale à pi/2

ymin=min(y1,y2);

ymax=max(y1,y2);

y31=ymin:.05:ymax;

[i1,j1]=size(y31);

x2=(y31-(d1/cos(phi)))/(-tan(phi));

figure(5);

plot(x2,y31,'r-');

tableauapprox(L,1)=x2(1);tableauapprox(L,2)=y31(1,1);

tableauapprox(L,3)=x2(j1);tableauapprox(L,4)=y31(1,j1);

tableauapprox(L,5)=phi;tableauapprox(L,6)=d1;

else %%% cas general

figure(5);

plot(x,y21,'r-');

tableauapprox(L,1)=x(1);tableauapprox(L,2)=y21(1,1);

tableauapprox(L,3)=x(b);tableauapprox(L,4)=y21(1,b);

tableauapprox(L,5)=phi;tableauapprox(L,6)=d1;

end

else %%% cas ou le segment est vertical

ymin=min(y1,y2);

ymax=max(y1,y2);

y=ymin:.05:ymax;

x2=(y-(d1/cos(phi)))/(-tan(phi));

figure(5);

plot(x2,y,'r-');

[i2,j2]=size(y);

tableauapprox(L,1)=x2(1);tableauapprox(L,2)=y(1,1);

tableauapprox(L,3)=x2(j2);tableauapprox(L,4)=y(1,j2);

tableauapprox(L,5)=phi;tableauapprox(L,6)=d1;

end

clear seg

end

L=L+1;

end

La fonction 'approxdroite' est utilisée pour approximer un nuage de pixel par une droite passant au plus près de chaque pixel.
%%%%%%%%%%%%% Approximation d'un nuage de pixel par une droite %%%%%%%%%%%

function [phi,d,x1,y1,x2,y2,d1]=approxdroite(seg, nb, x1, y1, x2, y2,phin)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Coord théorique du segments par calcul de la droite

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% passant par ces extremités

if (x1==x2)

phin = (pi/2);

else

phin = atan((y2-y1)/(x1-x2));

end

d = x1*sin(phin)+y1*cos(phin);

%%%%%%%%%%%%%%%%% coord approximées de la droite idéale passant

%%%%%%%%%%%%%%%%% au plus près de tous les pixels de la chaine

nb2=nb;

Vx = sum(seg(1:nb2,1))/nb2;

Vy = sum(seg(1:nb2,2))/nb2;

Vxx = 0;

Vyy = 0;

Vxy = 0;

for i=1:nb2

Vxx = Vxx + ((seg(i,1)-Vx)^2);

Vyy = Vyy + ((seg(i,2)-Vy)^2);

Vxy = Vxy + ((seg(i,1)-Vx)*(seg(i,2)-Vy));

end;

if (Vxx==Vyy)&(Vxy>0)

phi=-pi/4;

elseif (Vxx==Vyy)&(Vxy<0)

phi=pi/4;

elseif Vyy==0

phi = 0;

elseif Vxx==0

phi = pi/2;

else

if phin>-pi/4 & phin<0

phi = (0.5*atan(2*Vxy/(Vyy-Vxx)));

elseif phin>0 & phin

phi = (0.5*atan(2*Vxy/(Vyy-Vxx)));

elseif phin > pi/4 & phin

phi = (0.5*atan(2*Vxy/(Vyy-Vxx)))+pi/2;

elseif phin>pi/2 & phin<3*(pi/4)

phi = (0.5*atan(2*Vxy/(Vyy-Vxx)));

elseif phin<-pi/4 & phin>-pi/2

phi = (0.5*atan(2*Vxy/(Vyy-Vxx)))-pi/2;

elseif phin<-pi/2

phi = (0.5*atan(2*Vxy/(Vyy-Vxx)))+pi/2;

else

phi=phin;

end

end

if abs(phin-phi)>pi/3

phi=phi+pi/2;

end

d1 = (Vx*sin(phi)) + (Vy*cos(phi));

%%%% Calcul du facteur d'évaluation e1 pour le segment de droite %%%%

%%% calcul des paramètres cpt et longmax %%%%%%

%%% cpt : nombre de changements de signe de la séquence %%%%%%

%%% des vecteurs d'erreur %%%%%%

%%% longmax : longueur de la plus grande séquence de vecteurs %%%%%%

%%% d'erreurs ayant le même signe %%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
m=-tan(phi);% m: pente de la droite modélisés par les extremitès du seg

p=d1/cos(phi);

cpt=0;

long=1;

longmax=1;

for i=1:nb2-1

signe=sign(m*seg(i,1)+p-seg(i,2));

if sign(m*seg(i+1,1)+p-seg(i+1,2))~=signe

cpt=cpt+1;

long=1;

end

if sign(m*seg(i+1,1)+p-seg(i+1,2))==signe

long=long+1;

end

if longmaxlongmax=long;

end

end

e1=(cpt/nb)*(1-(longmax/nb));%facteur d'évaluation sur les seg de droite

La fonction 'approxcercle' est utilisée pour approximer un nuage de pixel par un arc de cercle passant au plus près de chaque pixel.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% approx d'arc de cercles %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% fonction permettant d'approximer un arc de cercle à partir d'un nuage %

%% de pixels %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [a,b,r,cptc,longmaxc,P1,P2,tableaupixel]= approxcercle (seg)
hold on;

axis ij;

grid;

[li,co]=size(seg);

%%%%%%%%% Calcul du cercle approximé %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%

Ux = sum(seg(1:li,1)); %

Uy = sum(seg(1:li,2)); %

Uxx = sum(seg(1:li,1).*seg(1:li,1)); %

Uyy = sum(seg(1:li,2).*seg(1:li,2)); %

Uxy = sum(seg(1:li,1).*seg(1:li,2)); %

Uxxx = sum(seg(1:li,1).*seg(1:li,1).*seg(1:li,1)); %

Uxxy = sum(seg(1:li,1).*seg(1:li,1).*seg(1:li,2)); %

Uxyy = sum(seg(1:li,1).*seg(1:li,2).*seg(1:li,2)); %

Uyyy = sum(seg(1:li,2).*seg(1:li,2).*seg(1:li,2)); %

%%%% Calcul des paramètres A,B,C utilisés pour le calcul de %

%%%% l'équation (x-a)²+(y-b)²=r² où A=-2a, B=-2b, C=a²+b²-r² %

M = [Uxx Uxy Ux ; Uxy Uyy Uy ; Ux Uy li]; %

X = [-Uxxx-Uxyy -Uxxy-Uyyy -Uxx-Uyy]'; %

P = inv(M)*X; %

%

a=P(1)/(-2);% a= coord x du centre du cercle %

b=P(2)/(-2);% b= coord y du centre du cercle %

r=sqrt(a^2+b^2-P(3));% r= ryon du cercle %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Calcul des points (x,y) constituant ce cercle %%%%%%%%

if (r~=inf & r<500 & imag(r)==0 & a~=inf)

xmin = a-r;% borne de calcul xmin

xmax = a+r;% borne de calcul ymin

i=1;

for x=xmin:0.1:xmax

Y(i)=r^2-(x-a)^2;%calcul de (y-b)²=r²-(x-a)²

i=i+1;

end

k=1;

for j=1:i-1

temp=(2*b-sqrt(4*Y(j)))/2;

temp2=(2*b+sqrt(4*Y(j)))/2;

if imag(temp)==0

yi(k)=temp;%calcul de y par rapport à (y-b)²=Y(i)

yii(k)=temp2;

xi(k)=xmin+(j-1)*0.1;

k=k+1;

end

end

%%% Création du tableau 'tableaupixel' contenant les coords

%%% (x,y) des points constituants le cercle approximé

XI=rot90(xi);

YI=rot90(yii);

tableaupixel=[xi' yi';xi(k-1) b; XI YI];

[lignetableau,colonnetableau]=size(tableaupixel);

tableaupixel(lignetableau+1,:)=tableaupixel(1,:);

lignetableau=lignetableau+1;

%plot(tableaupixel(:,1),tableaupixel(:,2),'k');

%%%% Calcul des pixels les plus éloignés de la chaine de pixel seg %%%

distmax=1;

for i=1:li

for j=1:li

dist=((abs(seg(i,1)-seg(j,1)))^2+(abs(seg(i,2)-seg(j,2)))^2);

if dist > distmax

indice1=i;

indice2=j;

distmax=dist;

end

end

end

x1=seg(indice1,1);

x2=seg(indice2,1);

y1=seg(indice1,2);

y2=seg(indice2,2);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%% calcul des points d'intersections entre cercle et droite %%%%

[phin,d] = coefdroite(x1,y1,x2,y2);

if (phin~=pi/2)%% cas ou la droite est quelconque

m=-tan(phin);%m:pente de la droite modélisée par les extremités du seg

p=d/cos(phin);%p:ordonnée à l'origine

%% résolution de (x-a)²+(y-b)²-r² avec y=m*x+p %%

c1=1+m^2;

c2=(-2*a)+(2*m*(p-b));

c3=a^2+p^2-2*p*b+b^2-r^2;

delta=((c2^2)-(4*(c1*c3)));

xi=(-c2-sqrt(delta))/(2*c1);

yi=m*xi+p;

xii=(-c2+sqrt(delta))/(2*c1);

yii=m*xii+p;

P1=[xi,yi];%% 1° intersection

P2=[xii,yii];%% 2° intersection

else %%% cas ou la droite est verticale

c1=1;

c2=-2*b;

c3=b^2+(x1-a)^2-r^2;

delta=((c2^2)-(4*(c1*c3)));

yi=(-c2-sqrt(delta))/(2*c1);

yii=(-c2+sqrt(delta))/(2*c1);

P1=[x1,yi];%% 1° intersection

P2=[x1,yii];%% 2° intersection

end

%plot(P1(1),P1(2),'go');

%plot(P2(1),P2(2),'go');

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%% calcul des paramètres cptc et longmaxc %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% cptc : nombre de changements de signe de la séquence %%%%%%

%%% des vecteurs d'erreur %%%%%%

%%% longmaxc : longueur de la plus grande séquence de vecteurs %%%%%%

%%% d'erreurs ayant le même signe %%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

if imag(P1)==0 & imag(P2)==0%(imag(delta) == 0 &

cptc=0;

longc=1;

longmaxc=1;

for i=1:li-1

intersection = intersec (a,b,r,seg,li,i);

if intersection ==1

cptc=cptc+1;

longc=1;

end

if intersection ==0

longc=longc+1;

end

if longmaxc

longmaxc=longc;

end

end

e2=(cptc/nb)*(1-(longmaxc/nb));%facteur d'évaluation sur les seg de droite

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

else%% si pas d'intersection entre le cercle et la droite %%

a=0;b=0;r=0;longarc=0;cptc=0;

longmaxc=0;P1=0;P2=0;tableaupixel=0;

end

else%% si cercle avec rayon à partie imaginaire ou infinie

a=0;b=0;r=0;longarc=0;cptc=0;longmaxc=0;

P1=0;P2=0;tableaupixel=0;

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A.Chedebois : Traitements d'images appliqués à la supervision d'un processus d'usinage