Remerciements table des Matières Introduction 1


Extraction de Points de Forte Courbure : Implantation de différentes Méthodes



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5. Extraction de Points de Forte Courbure : Implantation de différentes Méthodes

Cette partie présente l'implantation de deux méthodes permettant la détection des points de fortes courbures.

La première méthode, issue des travaux de Noble (présentés à la page précédente) est une des plus répandue dans le monde du traitement d'image, notamment pour son utilisation en imagerie couleur. C'est la méthode de Harris. L'inconvénient de cette méthode réside dans la faible précision de la localisation de ces points.

C'est pourquoi une autre méthode a été implantée, permettant de supprimer ce problème de précision : la méthode de Beaudet développée par Deriche.



5.1 Méthode de Harris



Fonctionnement

Le détecteur d'angle développé par Harris et Stephen [HARRIS 88] est une version légèrement modifiée du détecteur d'angle appelé 'Plessey Corner detector' et développé par Moravec, Barnard et Thomson [MORAVEC 77].

Cet opérateur R est défini par :

[5.1]

avec [5.2]

est l'image filtrée de I par une opération de lissage.

étant la dérivée première suivant x de l'image filtrée au carré…
Harris donne une valeur de k égale à 0.04 pour effectuer une discrimination à l'encontre des contours à forts contrastes (k peut fluctuer, dans les autres approches, de 0 à 1).
Dans notre implantation du filtre de Harris, toutes les dérivées sont estimées à l'aide du filtre de Deriche (filtre linéaire séparable décrit plus en détail dans le chapitre 5.2 : 'Méthode de Beaudet').
Après cela, la sortie de l'opérateur est seuillée pour la détection d'angle. Harris a essayé de trouver un invariant pour le problème de stéréoscopie mais n'en donne aucun détail, tout comme sur la précision de localisation de l'angle.

En fait, quand on lance l'algorithme sur des images de synthèses, le filtre de Harris détecte de façon convenable (par rapport à d'autres filtres tels que le filtre développé par Smith et Brady [SMI 95], le 'USAN's detector' et le filtre développé par Jolion et Bres [JOLION 98]) les angles présents dans l'image, et ce pour tout type de géométrie. Les résultats obtenus montrent que les angles ne sont pas bien localisés.


En ce qui concerne la robustesse :

  • Au bruit codé (image compressée en 'jpeg' puis décompressée)

  • Au bruit dû au mouvement de la caméra par rapport à la scène,

Le filtre de Harris est stable.

Par ailleurs, il l'est moins pour les bruits additifs impulsionnels, à cause de l'utilisation trop importante des dérivées.

La figure 5.1 donne un exemple de détection de points de fortes courbures sur une image test, la fenêtre d'application du filtre est définie autour de la culasse (pièce géométriquement complexe). Les tests de validation du filtre sur images de synthèses avant essais sur images réelles sont présentés en annexe 2.





Figure 5.1 : Détection de points de fortes courbures

sur une pièce géométriquement complexe


5.2 Méthode de Beaudet (implantée par Deriche) :

Deriche, à partir de l'étude comparative des divers filtres extracteurs de points caractéristiques, a proposé une implémentation de la méthode de Beaudet [DERICHE 92], méthode lui apparaissant la plus performante.


Deux points importants sont à noter :

  • La position exacte d’un angle peut être détectée par un passage par 0 stable dans l’échelle spatiale

  • Le maximum local dans les approches de Beaudet et Nagel se déplace dans l’échelle spatiale le long de la bissectrice passant par la position exacte de l’angle, déplacement dû à la dérivation standard du processus de filtrage.

En fonction des avantages et inconvénients des approches précédentes, Deriche a proposé une méthode optimale de détection de points caractéristiques :


1/ Filtrage récursif Gaussien
2/ Calcul du Laplacien de l’image
3/ Calcul de deux images DETs suivant 2 facteurs d’échelles et (de l'opérateur

Gaussien récursif), avec >


4/ Détection et seuillage des maxima elliptiques par masque 5*5
5/ Autour de chaque extremum (A) détecté sur DET2 (échelle ), appariement de ce point avec son homologue (B) sur DET1. Appariement en spirale par masque 7*7.
6/ Calcul de la ligne (AB)
7/ Plaquage de cette ligne sur image Laplacien et déplacement le long de cette ligne en partant de A vers B jusqu’à la localisation d’un passage par 0.
Les coordonnées de ce passage par 0 étant les coordonnées exactes du point caractéristique.



Explications :
1° étape : Implantation Récursive du Filtre Gaussien  [DERICHE 93]

L’opération de convolution d’image par le filtre Gaussien est une opération très courante dans le domaine du traitement d’image. Cette opération est ainsi effectuée à des fins de réduction du bruit présent dans l’image. Toutefois, dans un contexte multi-échelle où existe un grand besoin de disposer de filtre présentant une large étendue spatiale, cette opération se révèle particulièrement inefficace de part le grand nombre d’opérations à effectuer en chaque point de l’image.

C’est pourquoi il est fait appel à la puissance de la récursivité pour résoudre cet important problème. L’idée principale est d’approximer l’opérateur Gaussien :

[5.3]

par un polynôme pondéré par des filtres exponentiels et indépendants du même paramètre , que celui qui joue le rôle d’échelle dans l’opérateur Gaussien.

Une mise en œuvre récursive et exacte de l’opérateur approximant ce filtre est alors effectuée.

Le grand avantage de cette approche provient du fait qu’une mise en œuvre récursive permet d’effectuer l’opération de convolution en un nombre fixe d’opérations par point, indépendamment de l’étendue spatiale de l’opérateur original.


Application :

L’opérateur Gaussien G(x) est alors approximé par le polynôme suivant :



[5.4]
La mise en œuvre récursive s’effectue alors grâce au système suivant [5.5] :

k = 1,…,N

k = N,…,1

k = 1,…,N
avec et des coefficients constants, k étant la position en un pixel donné de l’image, l’image initiale et le résultat du filtrage Gaussien récursif au pixel k sur .

Ces calculs sont représentés pour le cas 1D, mais le filtre Gaussien étant séparable, il est nécessaire de le répéter dans la direction orthogonale et de sommer les deux sorties pour travailler sur une image 2D.



2° étape : Calcul du Laplacien de l'image filtrée 

Pour cette étape, il a été choisit d'approximer le Laplacien par le filtre optimal de Deriche. [COCQUEREZ 98]



Implantation Récursive de l’opérateur Optimal de Deriche :

Ce filtre possède une réponse impulsionnelle infinie dont l’expression analytique permet une implantation récursive exacte.

L’intérêt de cette mise en œuvre récursive est le faible nombre d’opérations : 5 multiplications et 5 additions pour l’opérateur 'dérivée première'. De plus, le nombre d’opérations est indépendant de la valeur de la résolution utilisée pour détecter les contours. En effet, la forme du filtre peut varier mais le nombre d’opération par point reste identique.

Dans le cas 2D, la mise en œuvre récursive de l'opérateur optimale de Deriche permet d'effectuer les opérations de lissage, de différenciations directionnelles suivant x et y ainsi que d'approximer le calcul du Laplacien d'une image.

L'opérateur fonctionne toujours de la même façon :


  • dans une première phase, un filtrage récursif et appliqué à chaque ligne de l'image x(m,n) à traiter comme suit :


pour n=1,..,N et m=1,…,M



[5.6]

pour n=N,..,1 et m=1,…,M


pour n=1,..,N et m=1,…,M


  • Une seconde phase applique alors au résultat r(m,n) le second filtre au niveau de chaque colonne pour obtenir le résultat final y(m,n) :


pour m=1,…,M et n=1,..,N



[5.7]

pour m=M,…,1 et n=1,..,N


pour n=1,..,N et m=1,…,M

Cette méthode permet d'approximer efficacement les opérations de lissage, gradient directionnel et Laplacien, simplement en modifiant les valeurs des coefficients ….



3° étape : Calcul des 2 images DETs

Dans cette étape deux images DETs sont calculées suivant deux valeurs de .

Rappel : une image DET (déterminant de la matrice Hessienne [4.18] associé à l'image d'intensité en niveaux de gris) est calculée par l'opérateur DET [4.19] :

H = et DET = Ixx.Iyy – Ixy²

où Ixx correspond à la dérivée seconde suivant x, Iyy dérivée seconde suivant y …

Les images DET sont ici aussi calculées par le filtre optimal de Deriche implanté de façon récursive. étant un paramètre entrant dans le calcul des coefficients




4° étape : Détection et Seuillage des maxima Elliptiques

Pour chaque image DET, un masque 5*5 est déplacé sur l'image, il détecte les maxima puis élimine tous les autres points.


5° étape : Appariement des maxima

Sur l'image DET2 obtenue avec , c'est à dire avec une meilleure détection que mais une moins bonne localisation), on apparie chaque maxima avec son homologue sur l'image DET1 obtenue avec .

Cet appariement se fait par la mise en place d'une spirale 7x7 (cf. figure 5.2) sur l'image DET1, au point ayant les coordonnée du maximum sur DET2. Ensuite, la recherche du point se fait en parcourant la spirale jusqu'à trouver les coordonnées maximum sur DET1.


Figure 5.2 : Spirale 7x7 utilisée pour apparier les maxima

6° étape : Calcul de Droite et 7° étape : Plaquage sur image Laplacien

Il est maintenant nécessaire de calculer la droite (AB) pour chaque maxima de DET2 (point B) apparié avec son homologue sur DET1 (point A).

Ce calcul de la droite se fait par l'algorithme de tracé de ligne de Bresenham [ABRASH 2000]. Il s'agit ici, de modéliser une droite passant par A et B, et de l'appliquer sur l'image Laplacien obtenue précédemment. En se déplaçant sur cette ligne de B vers A, le premier passage par zéro rencontré sur l'image du Laplacien correspondra, en théorie, à la position exacte du point de forte courbure sur l'image initiale.

La difficulté de cet algorithme est de bien comprendre que lorsque nous traçons une ligne sur le plan discret que représente l'écran, les pixels peuvent soit être exactement sur la ligne idéale que nous souhaitons représenter, soit être légèrement décalés sur un de ses côtés. Le taux de déviation de ces pixels par rapport à la ligne idéale forme le taux d'erreur en un point de la ligne à afficher.

Cas du tracé entre deux pixels d'extrémité :


Figure 5.3 : Tracé d'une droite entre deux pixels extrémité


Etude de la modélisation de la droite (AB) par l'algorithme de Bresenham :


Ici, le pixel initial B est affiché au point (0,0), le point de départ de la ligne. En ce point, la valeur de l'erreur de la ligne est égale à zéro.

Comme X est la plus grande dimension, le prochain pixel prend la valeur 1 pour la coordonnée X. La coordonnée Y de ce pixel sera soit 0, soit 1, c'est à dire la dernière coordonnée Y ou la coordonnée Y adjacente dans la direction du dernier point de la ligne. Le choix se fera en fonction de la coordonnée la plus proche de la ligne idéale pour cette coordonnée X. L'erreur courante à ce point est (B-A), comme le représente la figure 5.4.

Cette valeur est inférieure à ½, aussi la coordonnée Y ne prend pas la valeur X (égale à 1). Par conséquent, le pixel sera affiché au point (1,0).

Le troisième pixel à une coordonnée X=2. L'erreur en ce point est (C-A) ; elle est supérieure à ½ et donc plus proche de la prochaine coordonnée Y que de la coordonnée Y courante. Le troisième pixel est affiché au point (2,1), et 1 est soustrait de l'erreur courante pour compenser l'ajustement d'un pixel dans la coordonnée Y courante. L'erreur courante du pixel réellement affiché en ce point est (C-D).

Le quatrième pixel a une coordonnée X=3. L'erreur courante en ce point est égale à (E-D). Comme c'est inférieur à ½, la coordonnée Y ne change pas. Le quatrième pixel est affiché au point (3,1)…



Figure 5.4 : Le terme d'erreur dans l'algorithme de Bresenham


Résultas obtenus :

Après programmation et implantation de ce filtre, les résultats obtenus n'ont pas été à la hauteur de nos espérances. Les points de fortes courbures sont mal localisés et mal détectés. Les étapes de filtrage, de calcul du Laplacien et des images obtenues par l'opérateur DET ont été validées, ainsi que les étapes de seuillage et d'appariement, mais les résultats obtenus sont vraiment médiocre. Par manque de temps, il n'est donc pas possible d'utiliser cet opérateur pour la détection des points caractéristiques.


C'est pourquoi nous utiliserons par la suite le filtre de Harris pour la détection de points de fortes courbures. Il sera par ailleurs nécessaire de revenir sur l'opérateur de Beaudet qui semble permettre d'obtenir des résultats plus pertinents.



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